Elementární algebra rozšiřuje aritmetiku („počítání s čísly“, např. 3+5\cdot8) o práci s neznámými veličinami (např. x-4\cdot y). Tato oblast má uplatnění nejen v mnoha dalších částech matematiky, ale je klíčová třeba i pro porozumění fyzice.

téma ukázky pojmů a příkladů
Úměrnosti přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka
Poměry měřítko mapy, poměry surovin v jídle
Algebraické výrazy a jejich úpravy 3x - (x+2), (a+b)^2
Rovnice 4x + 3 = 27
Pokročilé rovnice 2x^2+6x=20
Úlohy s rovnicemi úlohy o směsích, společná práce
Nerovnice 2x + 5 \leq 8
Posloupnosti a řady aritmetická a geometrická posloupnost

Přímá a nepřímá úměrnost

Přejít ke cvičením na toto téma »

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x zvýší poměrně i hodnota veličiny y. Přímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=k\cdot x, kde k je koeficient úměrnosti. Grafem přímé úměrnosti je přímka, která prochází počátkem souřadnic (bodem [0, 0]).

Názorné příklady přímé úměrnosti

  • Nákup: Čím víc rohlíků koupím, tím víc zaplatím (koeficient úměrnosti je cena rohlíku).
  • Práce a plat: Čím více hodin pracuji, tím víc peněz vydělám (koeficient úměrnosti je hodinová mzda).
  • Čas a vzdálenost: Čím déle se pohybuji, tím větší vzdálenost urazím (koeficient úměrnosti je rychlost, o přímou úměrnost se jedná pouze při pohybu konstantní rychlostí)
  • Obvod: Čím delší strana čtverce, tím delší obvod čtverce (koeficient úměrnosti je 4).

Příklad výpočtu přímé úměrnosti

  • Osm dračích vajec stojí 40 zlaťáků. Kolik stojí dvacet dračích vajec?
  • Vypočítáme cenu za jedno vejce (koeficient úměrnosti k):
    40:8 = 5 zlaťáků.
  • Celkovou cenu vypočítáme prostým násobením (k\cdot x):
    5\cdot 20 = 100 zlaťáků.

Nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x sníží poměrně hodnota veličiny y. Nepřímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=\frac{k}{x}. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola.

Názorné příklady nepřímé úměrnosti

  • Doba práce a počet lidí: Čím více lidí pracuje na natírání plotu, tím rychleji je plot natřený.
  • Dort a děti: Čím více dětí je na oslavě, tím menší kus dortu každé z nich dostane.
  • Obdélník: Pokud uvažujeme obdélníky se stejným obsahem, pak mezi šířkou a výškou obdélníku platí nepřímá úměrnost.
  • Rychlost a čas: Čím rychleji jedu na kole, tím kratší dobu mi zabere dostat se do cíle.

Příklad výpočtu nepřímé úměrnosti

  • Pětihlavý drak sní všechny zásoby na hradě za 12 dní. Za kolik dní sní zásoby šestihlavý drak?
  • Nejdříve určíme, jak dlouho by jedla zásoby jedna hlava:
    5\cdot 12=60 dní.
  • Tento počet podělíme počtem hlav v otázce:
    60:6 = 10 dní.

Trojčlenka je grafický zápis výpočtu neznámého členu přímé nebo nepřímé úměry.

Na první řádek napíšeme dvě známé hodnoty, na druhý známou hodnotu a neznámou (např. x). První šipka povede od neznámé nahoru. Druhá šipka povede pro přímou úměru stejným směrem jako první a pro nepřímou úměru opačným směrem než první šipka.

Trojčlenka pro přímou úměru

Příklad: 10\,000 lumíků má dohromady stejnou hmotnost jako dva medvědi, kolik medvědů má dohromady stejnou hmotnost jako 40\,000 lumíků?

Na první řádek si zapíšeme, že 10\,000 lumíků odpovídá hmotnostně dvěma medvědům. Větší počet lumíků bude odpovídat většímu počtu medvědů, takže jde o přímou úměru. Obě šipky ukazují nahoru.

Zapíšeme dvě strany rovnice jako zlomky podle směru šipek a vypočítáme x.

První šipka vede od 40\,000 k 10\,000, druhá šipka vede od x k 2. Rovnice tedy je \frac{40\,000}{10\,000}=\frac{x}{2}.

Zjednodušený způsob, jak přímo zapsat výsledek: $x=2 $ zlomek zapsaný ve směru šipky na levé straně, tedy: x= 2 \cdot \frac{40\,000}{10\,000} = 2\cdot 4 = 8

Výsledek je: 8 medvědů má dohromady stejnou hmotnost jako 40\,000 lumíků.

Trojčlenka pro nepřímou úměru

Příklad: 100 mravenců sní bonbón za tři dny. Jak dlouho by stejný bonbón jedlo 500 mravenců?

Na první řádek si zapíšeme, že 100 mravenců potřebuje ke snědení bonbónu 3 dny. Čím víc je mravenců, tím kratší čas potřebují na snědení bonbónu, takže jde o nepřímou úměru. Šipka od neznámé ukazuje nahoru a druhá šipka opačným směrem.

Zapíšeme dvě strany rovnice jako zlomky vytvořené podle směru šipek a vypočítáme x.

První šipka vede od 100 k 500, druhá od x k 3. Rovnice je \frac{100}{500}=\frac{x}{3}.

Zjednodušený zápis výsledku: x = 3 \cdot zlomek zapsaný podle směru šipky na levé straně, tedy: x= 3 \cdot \frac{100}{500} = 3 \cdot \frac{1}{5} = 0{,}6

Výsledek je: 500 mravenců bude jíst bonbón 0{,}6 dní.

Poměr dvou nebo více kladných čísel je vztah jejich velikostí.

V úvodním procvičování se setkáme s pojmy jako poměr v základním tvaru, postupný poměr, převrácený poměr a zjistíme, jaký je rozdíl mezi poměrem a zlomkem.

Nejjednodušší použití poměru je rozdělení čísla na části a změna (zmenšení nebo zvětšení) čísla v zadaném poměru. Následují pokročilejší výpočty s poměry, které zahrnují i slovní úlohy vedoucí na řešení rovnic.

Měřítko mapy je speciální případ poměru. S poměry dále souvisí téma podobnost v geometrii.

Poměr dvou kladných hodnot, např. 2:4, vyjadřuje vztah jejich velikostí.

  • Dědeček našel 10 hřibů a 1 bedlu. Poměr počtu hřibů ku počtu bedel v dědečkově košíku je 10:1.

Podobně jako u zlomků můžeme poměry krátit a rozšiřovat kladnými čísly.

  • Poměr počet hřibů ku počtu bedel 10:1 může být zrovna tak vyjádřen jako 20:2 nebo 1:0{,}1.

Poměr, který je vyjádřen dvěma celými čísly a nejde už víc zkrátit, je v základním tvaru.

  • Základní tvar poměru 2:4 je 1:2.

Lze zapsat i poměr více než dvou hodnot, pak jde o postupný poměr.

  • Kedlubny, ředkvičky a mrkve nám na zahrádce vyrostly v poměru 2 : 10 : 11.

Převráceným poměrem k poměru a:b myslíme poměr b:a.

  • Poměr objemů sirupu a vody v nápoji je 1:10, převrácený poměr 10:1 značí poměr objemů vody ku sirupu.

Jaký je rozdíl mezi poměrem a zlomkem? Poměr popisuje vztah dvou částí. Zlomek je část z celku.

Poměry: změna a rozdělení čísla

Přejít ke cvičením na toto téma »

Změna čísla

Změna čísla v zadaném poměru a:b je vynásobení čísla odpovídajícím zlomkem \frac{a}{b}.

  • Pokud je a < b a tedy \frac{a}{b}<1, budeme číslo zmenšovat.
  • Pokud je a > b a tedy \frac{a}{b}>1, budeme číslo zvětšovat.

Příklad: Změna čísla 10 v poměru 2:5 znamená vynásobení čísla 10 zlomkem \frac{2}{5}. Vyjde nám číslo 4.

Rozdělení čísla

Rozdělení čísla v zadaném poměru a:b znamená rozdělení čísla na dvě části, které jsou v poměru a:b.

Příklad: Rozdělte číslo 30 v poměru 2:3. Celkem budeme rozdělovat na 2+3=5 dílů. Jeden díl je tedy roven \frac{30}{5}=6. Výsledná čísla jsou rovna 2 dílům, tj. 2\cdot 6= 12, a 3 dílům, tj. 3\cdot 6=18. Rozdělili jsme číslo 30 v poměru 2:3 na 12 a 18.

Výpočty při znalosti součtu (rozdílu)

Hledáme dvě čísla, když známe jejich poměr a známe jejich součet (případně rozdíl, součin, nebo nějaký jiný výraz). V takovém případě nám většinou pomůže spočítat si nejdříve čemu odpovídá jeden díl v poměru. Pokračujeme obvykle výpočtem hledaných čísel podle toho, kolika dílům v poměru odpovídá první a druhé číslo.

Příklad: Poměr nabitých a vybitých baterií v Gargamelově detektoru šmoulů je 1:4. Vybitých baterií je přitom o 6 více než nabitých. Jaké jsou počty nabitých a vybitých baterií?

Nejdříve si spočítáme, kolika bateriím odpovídá jeden díl. Víme, že vybitých baterií je o 6 více než nabitých. Vybitých baterií jsou přitom 4 díly a nabitých 1 díl, takže vybitých je o 4-1=3 díly více než nabitých. Takže 3 díly odpovídají 6 bateriím. Jeden díl odpovídá \frac{6}{3}=2 bateriím. Gargamel tedy má 2 nabité baterie a 4 \cdot 2 = 8 vybitých baterií.

Výsledek: Gargamel má dvě nabité a osm vybitých baterií.

Výpočty pomocí rovnic

Pokud už se vyznáme v řešení rovnic, můžeme při řešení využít zápisu pomocí dvou rovnic pro dvě neznámé.

  • První rovnici zapíšeme ze známého poměru.
  • Druhou rovnici zapíšeme z informace o hodnotě součtu (nebo rozdílu, součinu, atd.).

Příklad (těžší příklad pro ty, kteří už znají rovnice a obvod kruhu): Víme, že poloměry dvou kruhů jsou v poměru 2 : 5 a že součet jejich obvodů je 70 \pi. O jaké poloměry jde?

Označíme si poloměry a a b a zapíšeme si rovnice. Známe poměr a : b = 2 : 5, takže máme první rovnici \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Součet obvodů kruhů o poloměrech a,b je roven 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Tento součet známe, takže druhá rovnice zní 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Řešíme soustavu rovnic. První rovnici vynásobíme 5b (má smysl pro b\neq 0) a dostaneme 5a=2b. Vydělíme druhou rovnici kladným číslem 2\pi a dostaneme a+b=35. Vyjádříme a z druhé rovnice a dosadíme do první. 5\cdot(35-b)=2b. Zjednodušíme a vypočítáme b. 175= 7b, tedy b=25. Spočítáme druhý poloměr a=35-b=10.

Výsledné poloměry kruhů jsou a=10,b=25.

Měřítko mapy je speciální případ poměru. Jde o poměr, ve kterém je obraz krajiny na mapě ku krajině ve skutečnosti.

Příklady

  • Mapa s měřítkem 1 : 10\,000. Centimetr na této mapě odpovídá 10\,000\ \text{cm} = 100\ \text{m} ve skutečnosti.
  • Nákres, na kterém je délka pětimetrové sochy 2\ \text{cm}, má měřítko 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.

Algebraické výrazy a jejich úpravy

Přejít ke cvičením na toto téma »

Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Příklad:

  • Sedlák Sedloň má na dvorku p prasat a s slepic.
  • Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadřuje celkový počet nohou, která zvířata na dvorku mají.
  • V tomto výrazu jsou čísla 4 a 2 konstanty, písmena p a s jsou proměnné, jejichž oborem jsou přirozená čísla.
  • Výraz můžeme upravit do tvaru 2(2p+s). Tato úprava zachovává hodnotu výrazu pro všechna možná přiřazení hodnot proměnných.

Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor (počítání se zápornými čísly může být užitečné zopakovat před dosazováním těchto čísel do výrazů).

Příklad:

Výraz Hodnoty proměnných Dosazení
14-3n n=2 14-3\cdot 2 = 8
3x-y x=2, y=4 3\cdot2 - 4 = 2
2a+3b a=5, b=-1 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7
1-x-2y x=-5, y=7 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8

Úpravy výrazů s jednou proměnnou

Přejít ke cvičením na toto téma »

Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Sečtení členů s proměnnou 3x+4+6x =9x+4
Roznásobení závorky 3(x+2) =3x+6
Odečtení závorky 1-(x-2) =1-x+2 =3-x
Vytknutí proměnné x^2+2x+3 =x\cdot x +2x+3=x(x+2)+3
Umocnění (x+1)^2 =(x+1)(x+1)=x^2+2x+1

Pozor na častou chybu v případě odečtení závorky: nesmíme zapomenout, že „mínus a mínus dává plus“.

Úpravy výrazů s více proměnnými

Přejít ke cvičením na toto téma »

Provádíme takové úpravy výrazů, které zachovávají hodnotu výrazu pro všechna možná dosazení za proměnné. Příklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Sečtení členů se stejnou proměnnou 3x+2y+4x =7x+2y
Roznásobení závorky x(y-2) =xy-2x
Vytknutí 4x-x^2y+3 =x(4-xy)+3
Umocnění (a+b)^2 =(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2
Roznásobení dvou závorek (a+b)(a-b) =(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2

Úpravy výrazů se zlomky

Přejít ke cvičením na toto téma »

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Popis Výraz Upravený výraz
Krácení zlomku \frac{3x+6}{15} =\frac{x+2}{5}
Součet zlomků \frac{x}{2}+\frac{x}{3} =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}
Násobení zlomků \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} =\frac{x+1}{6}

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz obsahující celočíselné mocniny proměnné). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}.

Podmínky lomených výrazů

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

  • Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (můžou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}

  • Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
  • Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
  • Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
  • Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
  • Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}

  • Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
  • Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
  • \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
  • x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
  • Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, × \neq 0

Úpravy lomených výrazů

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny.

Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}

  • Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
  • Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.

Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}

  • Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce x^2-y^2=(x+y)(x-y).
  • Dostáváme \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
  • Pokrátíme na \frac{1}{x-y}.

Rovnice s neznámou x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. L(x) je levá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné x, pro které výrazy L(x) a P(x) nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot L(x) a P(x) pro konkrétní x se nazývá zkouška.

Příklad: 2x-7 = 5-4x

levá strana L(x) = 2x - 7
pravá strana P(x) = 5-4x
kořen (řešení) rovnice x=2
zkouška L(x) = 2x-7 = 2\cdot 2 - 7= -3
P(x) = 5-4x = 5 - 4\cdot 2 = -3

Řešení rovnic

Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:

  • výměna levé a pravé strany rovnice,
  • přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice,
  • vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem.

Řešený příklad: 7x-1=4x+20

Od obou stran rovnice odečteme 4x. 7x-1-4x=4x+20-4x
3x - 1 = 20
K oběma stranám rovnice přičteme 1. 3x - 1 + 1 = 20 + 1
3x = 21
Obě strany rovnice vydělíme číslem 3. 3x : 3 = 21 : 3
x = 7
Řešení rovnice je x=7.

Typy rovnic

Základní lineární rovnice obsahují pouze konstanty a násobky proměnné. Pro důkladné procvičení je v rámci Umíme dělíme do několika skupin:

skupina rovnic příklad
Jednokrokové rovnice x + 2 = 5
Základní rovnice s jednou neznámou 2x - 7 = 5 -4x
Rovnice se závorkami 2(x+3) = 12 -x
Rovnice se zlomky \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 2
Rovnice s neznámou ve jmenovateli \frac{20}{x} + 2 = 7
Rovnice s desetinnými čísly 0{,}2x = 4{,}6 - 2{,}1x

Další typy rovnic jsou pak uvedeny v sekci Pokročilé rovnice, jde například o rovnice s lomenými výrazy, soustavy dvou rovnic, kvadratické rovnice, exponenciální rovnice a logaritmické rovnice.

Nejjednodušší rovnice jako x+2 = 5 nebo 3x = 15 vedou na jednokrokové řešení, tj. stačí provést jednu úpravu rovnice (např. odečtení čísla 2 od obou stran rovnice v prvním případě). Tyto rovnice lze vesměs řešit snadno i intuitivní úvahou (pro jaké číslo platí, že když k němu přičtu dvojku, dostanu pětku?). Slouží tak jako dobrý výchozí bod pro seznámení s tématem rovnic.

Základní rovnice s jednou neznámou

Přejít ke cvičením na toto téma »

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivalentních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Řešený příklad: 3x-1=2x+5

Od obou stran rovnice odečteme 2x. 3x-1-2x=2x+5-2x
x-1=5
K oběma stranám rovnice přičteme 1. x-1+1=5+1
x=6
Řešení rovnice je x=6.

Řešený příklad: 2x-7 = 5-4x

K oběma stranám rovnice přičteme 4x. 2x - 7 + 4x = 5 - 4x + 4x
6x - 7 = 5
K oběma stranám rovnice přičteme 7. 6x - 7 + 7 = 5 + 7
6x = 12
Obě strany rovnice vydělíme číslem 6. 6x : 6 = 12 : 6
x = 2
Řešení rovnice je x=2.

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

  • Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
  • Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice je libovolné číslo.
  • Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

  • provedení úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
  • chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
  • špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Komiks pro zpestření

Rovnice se závorkami můžeme řešit stejným způsobem jako základní rovnice, pouze jako první krok odstraníme závorky.

Řešený příklad: 2(x+3) = 12 - x

Zadání: 2(x+3) = 12 - x
Roznásobíme závorku na levé straně: 2x+6 = 12 - x
Následně řešíme stejně jako základní rovnici: 3x+6 = 12
3x = 6
x = 2

V některých případech si však můžeme ušetřit práci, pokud závorky neroznásobíme. Například v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnější nejdříve rovnici podělit číslem 3, čímž dostaneme x+1 = 6, z čehož již snadno dostaneme x=5.

Rovnice s neznámou ve jmenovateli

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pokud rovnice obsahuje zlomek, ve kterém se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme rovnici nejdříve vynásobit jmenovatelem (případně společným násobkem všech jmenovatelů). Tím rovnici převedeme na základní rovnici, kterou řešíme běžným postupem.

Řešený příklad

Zadání: \frac{20}{x} +2 = 7
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem x: 20 + 2x = 7x
Dále řešíme běžnými úpravami: 20 = 5x
x = 4

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Řešený příklad

Zadání: \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 2
Jmenovatelé ve zlomcích jsou 2 a 3, společný násobek je 6. Roznásobíme tedy rovnici číslem 6: 3x - 2x = 12
Řešení: x=12

Rovnice s desetinnými čísly

Přejít ke cvičením na toto téma »

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Řešený příklad

Zadání: 0{,}2x+2{,}1x=4{,}6
Vynásobíme deseti: 2x+21x=46
Řešíme jako základní rovnici: 23x = 46
x = 2

Nejjednodušším typem rovnic jsou lineární rovnice, které obsahují pouze konstanty a násobky jedné proměnné. Ty jsou důkladně pokryty v základní sekci o rovnicích. V této sekci jsou pokryty rovnice složitějších typů:

Rovnice s lomenými výrazy \frac{-1}{2} = \frac{x+1}{1-x}
Dvě rovnice o dvou neznámých \begin{array}{lll}x+y & = &8\\2x-y &=&1\end{array}
Kvadratické rovnice 2x^2+6x-20 = 0
Exponenciální rovnice 3^{2x}-3^x=6
Logaritmické rovnice 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x)

Rovnice s lomenými výrazy

Přejít ke cvičením na toto téma »

Rovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice.

Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Podmínky řešitelnosti

Aby lomený výraz dával smysl, nesmí být jmenovatel roven nule. Po vyřešení rovnice tedy musíme zkontrolovat, že výsledné řešení tuto podmínku splňuje pro všechny jmenovatele v rovnici.

Řešený příklad

Zadání: \frac{-1}{2} = \frac{x+1}{1-x}
Jmenovatelé jsou 2 a 1-x, společný násobek je 2(1-x). Roznásobíme tedy rovnici 2(1-x). \frac{-1}{2}\cdot 2(1-x) = \frac{x+1}{1-x} \cdot 2(1-x)
Pokrátíme obě strany. (-1)\cdot (1-x) = (x+1)\cdot 2
Roznásobíme obě strany. x-1 = 2x +2
Převedeme x na jednu stranu, konstanty na druhou. x = -3

Dvě rovnice o dvou neznámých

Přejít ke cvičením na toto téma »

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnic o jedné proměnné můžeme mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Příklad soustavy dvou rovnic o dvou neznámých: x+y=8
2x-y=1

Dosazovací metoda

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

Z první rovnice vyjádříme y: y = 8 -x
Dosadíme do druhé rovnice: 2x - y = 1
2x - (8-x) = 1
Řešíme jako obyčejnou rovnici: 3x = 9
x = 3
Nalezenou hodnotu dosadíme do výrazu pro y: y = 8 - x = 8 - 3 = 5

Sčítací metoda

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y.

Pojmy

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

  • ax^2 je kvadratický člen,
  • bx je lineární člen,
  • c je absolutní člen.

Příklad: 2x^2+6x-20 = 0

kvadratický člen 2x^2
lineární člen 6x
absolutní člen -20
řešení rovnice x=2 a x=-5

Speciální typy kvadratických rovnic:

  • Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
  • Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

  • D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
  • D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
  • D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

  • x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
  • x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Řešený příklad: x^2+2x-3=0

  • Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
  • Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
  • D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
  • x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
  • x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
  • Řešení rovnice jsou tedy hodnoty 1 a -3.

Vietovy vzorce

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli), např. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciální rovnice lze řešit různými způsoby. Nejjednodušší je řešení rovnice se stejnými základy. Pokud se nám podaří rovnici převést na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, můžeme se zbavit exponenciální funkce a řešit f(x) = g(x). Složitější způsoby řešení exponenciálních rovnic jsou logaritmování a substituce.

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

  • Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
  • Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).

Vyjádření neznámé z rovnice

Přejít ke cvičením na toto téma »

Často máme rovnici s několika neznámými a potřebujeme vyjádřit jednu z nich. Typicky na takovou situaci narazíme ve fyzice. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.

Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů.

Řešený příklad

Máme vyjádřit a z rovnice: c-(a+b)=2b
Zbavíme se závorky: c-a-b=2b
Převedeme všechny proměnné krom a na druhou stranu: -a=3b-c
Vynásobíme -1: a=c-3b

Slovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že si vypravěč myslí tajné číslo, řekne nám o něm informaci a my musíme číslo odhalit.

Příklad: Myslím si číslo. Když od něj odeberu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?

Jednoduché úlohy tohoto typu lze řešit úvahou z hlavy. Pro složitější úlohy se hodí zapsat úlohu pomocí rovnice.

Úlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých pracujeme se směsí dvou (nebo více) typů objektů, které mají trochu jiné vlastnosti. Může jít o směs roztoků, čokolád, zeleniny nebo třeba tučňáků.

Příklad slovní úlohy o směsích: V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera objevilo 60 tučňáků obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?

Úlohy o směsích řešíme pomocí rovnic.

Úlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých typicky vystupuje několik pracantů a máme za úkol určit, jak dlouho by jim trvala práce společně.

Příklad úlohy o společné práci: Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?

Úlohy o společné práci řešíme za využití nepřímé úměry a zlomků.

Aritmetická a geometrická posloupnost

Přejít ke cvičením na toto téma »

Aritmetická posloupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.

  • rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
  • vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d
  • příklady:
    • 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... (a_1=1, d=2)
    • 20, 17, 14, 11, 8, ... (a_1=20, d=-3)
    • 300, 305, 310, 315, 320, ... (a_1=300, d=5)

Geometrická posloupnost je matematická posloupnost, ve které je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.

  • rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
  • vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1
  • příklady:
    • 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (a_1=1, q=2)
    • 1000, 100, 10, 1, 0{,}1, 0{,}01, ... (a_1=1000, q=0,1)
    • 5, 15, 45, 135, 405, ... (a_1=5, q=3)
    • 8, -8, 8, -8, 8, -8, ... (a_1=8, q=-1)

Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.

Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:

  • výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
  • vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
  • rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Příklady:

  • 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
  • 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
  • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
  • 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická posloupnost)

Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.

NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence