Elementární algebra

Elementární algebra rozšiřuje aritmetiku („počítání s čísly“, např. 3+5\cdot8) o práci s neznámými veličinami (např. x-4\cdot y). Tato oblast má uplatnění nejen v mnoha dalších částech matematiky, ale je klíčová třeba i pro porozumění fyzice.

Úměrnost v matematice vyjadřuje vztah mezi dvěma veličinami, jejichž hodnoty na sobě závisí v pevně daném poměru. V běžném životě ji používáme například při přepočtu množství surovin v receptech, výpočtu ceny zboží podle jeho hmotnosti nebo při určování doby jízdy podle rychlosti.

Základní případy úměrností zahrnují:

• Přímá a nepřímá úměrnost – při zvýšení jedné veličiny se úměrně zvyšuje či snižuje druhá
• Trojčlenka – praktický postup a zápis pro výpočet neznámé hodnoty z přímé nebo nepřímé úměrnosti

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x zvýší poměrně i hodnota veličiny y. Přímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=k\cdot x, kde k je koeficient úměrnosti. Grafem přímé úměrnosti je přímka, která prochází počátkem souřadnic (bodem [0, 0]).

Nepřímá úměrnost

Nepřímá úměrnost je závislost veličiny y na druhé veličině x, kdy se při zvýšení veličiny x sníží poměrně hodnota veličiny y. Nepřímou úměrnost tedy můžeme popsat vztahem y=\frac{k}{x}. Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola.

Trojčlenka je grafický zápis výpočtu neznámého členu přímé nebo nepřímé úměry.

Na první řádek napíšeme dvě známé hodnoty, na druhý známou hodnotu a neznámou (např. x). První šipka povede od neznámé nahoru. Druhá šipka povede pro přímou úměru stejným směrem jako první a pro nepřímou úměru opačným směrem než první šipka.

Poměr dvou nebo více čísel vyjadřuje vztah jejich velikostí – tedy kolikrát je jedno číslo větší (nebo menší) než druhé. S poměry se setkáváme v běžném životě i v matematice: určují například poměr stran obrazovky (16 : 9), měřítko mapy (1 : 50 000) nebo směs dvou látek v určitém poměru. Poměry úzce souvisejí se zlomky nebo pojmem podobnost v geometrii.

• Základy poměrů – zápis poměru, základní tvar, postupný a převrácený poměr, vztah ke zlomkům
• Změna a rozdělení čísla – zvětšení nebo zmenšení čísla v daném poměru, rozdělení čísla v poměru (např. rozdělit 12 v poměru 1 : 3 na 3 a 9)
• Výpočty s poměry – výpočty při znalosti součtu nebo rozdílu částí, příklady s poměry a rovnicemi
• Měřítko mapy – použití poměrů při práci s mapami, plány nebo modely, převody skutečných a zmenšených vzdáleností

Poměr dvou kladných hodnot, např. 2:4, vyjadřuje vztah jejich velikostí.

Dědeček našel 10 hřibů a 1 bedlu. Poměr počtu hřibů ku počtu bedel v dědečkově košíku je 10:1.

Podobně jako u zlomků můžeme poměry krátit a rozšiřovat kladnými čísly.

Poměr počtu hřibů ku počtu bedel 10:1 může být zrovna tak vyjádřen jako 20:2 nebo 1:0{,}1.

Poměr, který je vyjádřen dvěma celými čísly a nejde už víc zkrátit, je v základním tvaru.

Základní tvar poměru 2:4 je 1:2.

Lze zapsat i poměr více než dvou hodnot, pak jde o postupný poměr.

Kedlubny, ředkvičky a mrkve nám na zahrádce vyrostly v poměru 2 : 10 : 11.

Převráceným poměrem k poměru a:b myslíme poměr b:a.

Poměr objemů sirupu a vody v nápoji je 1:10, převrácený poměr 10:1 značí poměr objemů vody ku sirupu.

Jaký je rozdíl mezi poměrem a zlomkem? Poměr popisuje vztah dvou částí. Zlomek je část z celku.

Změna čísla

Změna čísla v zadaném poměru a:b je vynásobení čísla odpovídajícím zlomkem \frac{a}{b}.

• Pokud je a \lt b a tedy \frac{a}{b} \lt 1, budeme číslo zmenšovat.
• Pokud je a > b a tedy \frac{a}{b}>1, budeme číslo zvětšovat.

Rozdělení čísla

Rozdělení čísla v zadaném poměru a:b znamená rozdělení čísla na dvě části, které jsou v poměru a:b.

Výpočty při znalosti součtu (rozdílu)

Hledáme dvě čísla, když známe jejich poměr a známe jejich součet (případně rozdíl, součin, nebo nějaký jiný výraz). V takovém případě nám většinou pomůže spočítat si nejdříve čemu odpovídá jeden díl v poměru. Pokračujeme obvykle výpočtem hledaných čísel podle toho, kolika dílům v poměru odpovídá první a druhé číslo.

Výpočty pomocí rovnic

Pokud už se vyznáme v řešení rovnic, můžeme při řešení využít zápisu pomocí dvou rovnic pro dvě neznámé.

• První rovnici zapíšeme ze známého poměru.
• Druhou rovnici zapíšeme z informace o hodnotě součtu (nebo rozdílu, součinu, atd.).

Měřítko mapy, plánku, zmenšeného modelu

Měřítko mapy je speciální případ poměru. Jde o poměr, ve kterém je obraz krajiny na mapě ku krajině ve skutečnosti.

Měřítko zvětšeného modelu

Podobně u zvětšeného modelu hodně malé věci nebo tvora použijeme opět poměr velikosti obrazu ku velikosti ve skutečnosti.

Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor (počítání se zápornými čísly může být užitečné zopakovat před dosazováním těchto čísel do výrazů).

Příklad:

Úpravou výrazu vytváříme nový, jednodušší zápis, který má pro všechna dosazená čísla stejnou hodnotu (tzv. ekvivalentní výraz).

Přehled základních úprav výrazů

Slučování členů (sčítání a odčítání)
Sčítat a odečítat můžeme pouze členy se stejnou mocninou proměnné.

3x + 4 + 6x = (3x + 6x) + 4 = 9x + 4

Roznásobování závorek
Číslem nebo proměnnou před závorkou vynásobíme každý člen uvnitř závorky.

3(x + 2) = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3x + 6

Odstranění závorky s mínusem
Mínus před závorkou obrací znaménka u všech členů uvnitř.

1 - (x - 2) = 1 - x + 2 = 3 - x

Vytýkání před závorku
Hledáme společného dělitele členů a napíšeme ho před závorku (opačný postup k roznásobování).

x^2 + 2x = x \cdot x + 2 \cdot x = x(x + 2)

Umocňování dvojčlenu
Využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, případně roznásobíme závorky mezi sebou. (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + 1x + 1x + 1 = x^2 + 2x + 1

Časté chyby

• Zapomenuté znaménko při odečítání závorky: Výraz 1 - (x - 2) se nerovná 1 - x - 2. Mínus před závorkou mění i druhé znaménko na plus (+2).
• Špatně umocněná závorka: Neplatí, že (x + 1)^2 = x^2 + 1^2. Vždy vznikne i prostřední člen (2ab), tedy správně x^2 + 2x + 1.
• Sčítání různých mocnin: Výraz x^2 + x nelze sečíst na 2x ani na x^3. Různé mocniny téže proměnné nelze sčítat, pouze vytýkat.

Při úpravách výrazů s více proměnnými platí stejná základní pravidla jako u jedné proměnné — výsledný výraz musí mít stejnou hodnotu pro libovolnou kombinaci dosazených čísel.

Příklady úprav

Slučování členů se stejnými proměnnými
Sčítat a odečítat můžeme pouze ty členy, které obsahují naprosto stejné proměnné ve stejných mocninách. 3x + 2y + 4x = (3x + 4x) + 2y = 7x + 2y

Roznásobení závorky
Členem před závorkou vynásobíme každý člen uvnitř závorky.

x(y - 2) = x \cdot y - x \cdot 2 = xy - 2x

Vytýkání před závorku
Hledáme proměnnou nebo číslo, které se opakuje ve více členech, a napíšeme je před závorku. Členy bez tohoto činitele zůstávají vně.

4x - x^2y + 3 = x(4 - xy) + 3

Umocnění dvojčlenu
Při umocňování využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Nezapomínáme na smíšený člen 2ab, kde se proměnné násobí mezi sebou.

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Roznásobení dvou závorek
Roznásobíme každý člen s každým.

(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Záludnosti a časté chyby

• Slučování různých proměnných: Výraz 3x + 2y nelze dále sečíst (nestačí napsat 5xy). Pokud jsou proměnné různé, sčítat je nemůžeme.
• Rozdíl v mocninách: Výrazy xy^2 a x^2y nejsou stejné členy a nelze je sečíst. Sčítat můžeme jen stejné mocniny stejných proměnných (např. 2xy^2 + 3xy^2 = 5xy^2).
• Pořadí proměnných v součinu: Součin xy je totéž jako yx. Proto lze sečíst např. 3xy + 2yx = 5xy. Vždy je výhodnější psát proměnné abecedně, abyste tyto dvojice nepřehlédli.

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Krácení zlomku
Dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem. Pokud je v čitateli vícečlen, před krácením z něj nejprve vytkneme společný faktor.

\frac{3x+6}{15} = \frac{3(x+2)}{15} = \frac{x+2}{5}

Součet a rozdíl zlomků
Zlomky nejprve převedeme na společného jmenovatele a následně sečteme nebo odečteme jejich čitatele.

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}

Násobení zlomků
Vynásobíme zvlášť čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

\frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(x+1) \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{x+1}{6}

Dělení zlomků
Dělení nenulovým zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou.

\frac{x}{2} : \frac{3}{4} = \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4x}{6} = \frac{2x}{3}

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Zapisujeme většinou jako zlomek, například \frac{x+2}{x^2-1}. Toto téma dělíme na dvě podtémata:

• Podmínky lomených výrazů – Přesněji řečeno jde o „podmínky, za kterých má daný lomený výraz smysl“. Musíme se jimi zabývat, protože pro takové hodnoty proměnných, pro které výraz ve jmenovateli lomeného výrazu nabývá hodnoty nula, nemá celý lomený výraz smysl.
• Výpočty s lomenými výrazy a jejich úpravy – Ty provádíme podobně, jako když pracujeme se zlomky, jenom musíme mít na paměti, že čitatelé a jmenovatelé jsou u lomených výrazů mnohočleny.

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

• Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
• Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
• Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny. Při úpravách často využíváme úpravy algebraických výrazů.

Krácení lomených výrazů

• Když jsou čitatel i jmenovatel lomeného výrazu vynásobeny stejným výrazem, můžeme tento výraz zkrátit.
• Pozor, krátíme jen při násobení.

Sčítání a odčítání lomených výrazů

• Při sčítání a odčítání lomených výrazů převedeme jmenovatele výrazů na společného jmenovatele.
• Výhodné je najít nejmenšího společného jmenovatele.

Násobení lomených výrazů

Při násobení vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou.

Dělení lomených výrazů

Dělení lomeným výrazem převádíme na násobení převráceným lomeným výrazem.

Označení je stejné jako u dělení čísel:

• dělenec – mnohočlen který dělíme
• dělitel – mnohočlen, kterým dělíme

Při dělení mnohočlenu mnohočlenem postupujeme následovně:

1. Člen s nejvyšší mocninou dělence vydělíme členem s nejvyšší mocninou dělitele, výsledek zapíšeme za rovnítko.
2. Výrazem zapsaným za rovnítko vynásobíme celého dělitele, výsledek násobení napíšeme pod dělence (členy se stejnou mocninou proměnné píšeme pod sebe).
3. Mnohočleny zapsané pod sebou odečteme (členy s nejvyšší mocninou jsou stejné a odečtou se na 0, výsledný rozdíl bude mít nižší stupeň než původní dělenec).
4. Opakujeme body 5.–7., dokud po odečtení příslušných polynomů nevznikne mnohočlen menšího stupně než dělitel.
5. Člen s nejvyšší mocninou ve výrazu, který zůstal po odečtení, vydělíme členem s nejvyšší mocninou dělitele, výsledek píšeme za rovnítko (je to další člen výsledného podílu).
6. Nově získaným členem za rovnítkem vynásobíme celého dělitele, výsledek násobení píšeme pod mnohočlen, který vznikl posledním odčítáním.
7. Mnohočleny zapsané pod sebou odečteme (člen s nejvyšší mocninou se opět odečte).
   
8. Za rovnítkem je výsledek, pod posledním odčítaným mnohočlenem je výsledný zbytek. (Zbytek může být buď nula nebo mnohočlen menšího stupně než dělitel.)

Příklad ukazuje dělení mnohočlenu mnohočlenem: (3x^3-2x^2+x+1) : (x^2-1) Vyjde podíl 3x-2 a zbytek 4x-1, pomocné výpočty a jejich výsledky jsou znázorněny barevně:

Pojem faktoriál používáme nejčastěji při řešení kombinatorických úloh. Faktoriál čísla n je součin všech celých kladných čísel od jedné do n. Platí tedy: n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Speciálně: 0!=1

Častou úpravou výrazů s faktoriály je částečný rozklad faktoriálu na součin několika hodnot a faktoriál menšího čísla.

Faktoriál také používáme pro definici kombinačního čísla. Pro n\geq k\geq 0 platí: \dbinom nk=\dfrac{n!}{k!(n−k)!}

Při úpravách výrazů s kombinačními čísly můžeme kromě faktoriálů použít některý z následujících vztahů:

• Je n možností, jak vybrat jeden z n prvků: \dbinom n1=n
• Je jedna možnost, jak vybrat 0 z n prvků, a také je jedna možnost, jak vybrat všech n z n prvků (pro n=0 to jsou dokonce stejná kombinační čísla): \dbinom nn=\dbinom n0=1 \dbinom 00=1
• Máme stejný počet možností, jak vybrat skupinku k prvků z n prvků, jako je počet možností, jak vybrat n-k prvků, které do skupinky nezařadíme: \dbinom nk=\dbinom n{n-k}
• Vybíráme-li k prvků z n+1, máme tolik možností, jako když sečteme počet možností výběru k a k-1 prvků z n prvků: \dbinom {n+1}k=\dbinom nk+\dbinom n{k-1}

Rovnice s neznámou x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. L(x) je levá strana rovnice, P(x) je pravá strana rovnice. Řešit rovnici znamená najít všechny hodnoty proměnné x, pro které výrazy L(x) a P(x) nabývají stejné hodnoty. Tato čísla nazýváme kořeny rovnice. Výpočet hodnot L(x) a P(x) pro konkrétní x se nazývá zkouška.

Řešení rovnic

Rovnice řešíme ekvivalentními úpravami, což jsou úpravy, které nemění množinu kořenů rovnice. Mezi takové úpravy patří například:

• výměna levé a pravé strany rovnice,
• přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice,
• vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice nenulovým číslem.

Typy rovnic

Základní lineární rovnice obsahují pouze konstanty a násobky proměnné. Pro důkladné procvičení je v dělíme do několika skupin:

Další typy rovnic jsou pak uvedeny v sekci Pokročilé rovnice, jde například o rovnice s lomenými výrazy, soustavy dvou rovnic, kvadratické rovnice, exponenciální rovnice a logaritmické rovnice.

Výukové moduly

Konkrétní náměty, jakým způsobem učivo procvičovat a v jakém pořadí, poskytují výukové moduly:

Výrazy a rovnice I	7.–9. ročník	základní práce s algebraickými výrazy, řešení jednoduchých lineárních rovnic
Výrazy a rovnice II	8.–9. ročník	složitější rovnice, použití rovnic pro řešení problémů

Nejjednodušší rovnice jako x+2 = 5 nebo 3x = 15 vedou na jednokrokové řešení, tj. stačí provést jednu úpravu rovnice (např. odečtení čísla 2 od obou stran rovnice v prvním případě).

Klíčem k řešení je použít opačnou operaci než tu, která se nachází u neznámé x:

• U sčítání odečítáme (a naopak).
• U násobení dělíme (a naopak).

Ačkoliv lze tyto rovnice snadno vyřešit intuitivní úvahou (např. „K jakému číslu přičtu 2, abych dostal 5?“), postupný zápis úprav je skvělým tréninkem pro složitější příklady.

Na těchto příkladech je dobré trénovat i zkoušku: Vždy dosaďte výsledek zpět do původního zadání. Pokud se levá strana rovná pravé, máte jistotu, že máte příklad správně.

Nejjednodušší rovnice obsahují pouze lineární výrazy, tj. vyskytují se v nich pouze konstanty a násobky proměnné x. Rovnici upravujeme pomocí ekvivalentních úprav: přičítání a odčítání stejného výrazu k oběma stranám rovnice, úpravy výrazů na levé a pravé straně. Pomocí takových úprav ji převedeme do tvaru x = a, kde a je řešení.

Počet řešení

U základních lineárních rovnic mohou nastat tři případy:

• Rovnice nemá žádné řešení, např. x+2=x+3.
• Rovnice má nekonečně mnoho řešení, např. u rovnice x+1+x = 2x+1 je řešením rovnice libovolné číslo.
• Rovnice má právě jedno řešení, např. výše uvedená rovnice 2x-7 = 5-4x má jediné řešení x=2.

Časté chyby

Mezi časté chyby při řešení rovnic patří:

• provedení úpravy (přičtení čísla, vydělení čísel) pouze na jedné straně rovnice,
• chybné zkombinování konstant a výrazů s proměnnou x, např. úprava 3x + 2 na 5x,
• špatné znaménko u výrazu při převádění z jedné strany rovnice na druhou.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Základní rovnice s jednou neznámou řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Rovnice se závorkami řešíme podobně jako základní rovnice. Zpravidla začínáme tím, že závorky odstraníme jejich roznásobením nebo odstraněním znaménka před nimi.

V některých případech si však můžeme ušetřit práci, pokud závorky neroznásobíme. Například v rovnici 3(x+1) = 18 je výhodnější nejdříve rovnici podělit číslem 3, čímž dostaneme x+1 = 6, z čehož již snadno dostaneme x=5.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Rovnice se závorkami řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Pokud rovnice obsahuje zlomek, ve kterém se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, musíme rovnici nejdříve vynásobit jmenovatelem (případně společným násobkem všech jmenovatelů). Tím rovnici převedeme na základní rovnici, kterou řešíme běžným postupem.

Protože nulou nelze dělit, výraz ve jmenovateli se tedy nesmí rovnat nule. Pokud je samotné x ve jmenovateli, znamená to, že řešení musí splňovat x \neq 0.

Rovnice se složitějšími výrazy ve jmenovateli pokrývá téma Rovnice s lomenými výrazy.

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze přitom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Nejjednodušším typem rovnic jsou lineární rovnice, které obsahují pouze konstanty a násobky jedné proměnné. Ty jsou důkladně pokryty v základním tématu o rovnicích. Zde jsou pokryty rovnice složitějších typů:

Rovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice.

Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Podmínky řešitelnosti: Aby lomený výraz dával smysl, nesmí být jmenovatel roven nule. Po vyřešení rovnice tedy musíme zkontrolovat, že výsledné řešení tuto podmínku splňuje pro všechny jmenovatele v rovnici.

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnice o jedné proměnné může mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Dosazovací metoda

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

Sčítací metoda

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y.

Pojmy

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Speciální typy kvadratických rovnic:

• Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
• Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D \lt 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D = 0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D \gt 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Vietovy vzorce

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli), např. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciální rovnice lze řešit různými způsoby. Nejjednodušší je řešení rovnice se stejnými základy. Pokud se nám podaří rovnici převést na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, můžeme se zbavit exponenciální funkce a řešit f(x) = g(x). Složitější způsoby řešení exponenciálních rovnic jsou logaritmování a substituce.

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).

V goniometrických rovnicích se neznámá objevuje v argumentu goniometrických funkcí, např. \sin x = 2 \cos (x+\pi). Pokud není uvedeno jinak, předpokládáme, že jsou argumenty goniometrických funkcí v radiánech.

Zápis výrazů s goniometrickými funkcemi a priorita operací

V zápisu výrazů s goniometrickými funkcemi často vynecháváme závorky okolo argumentu (píšeme \sin x místo \sin(x)), pokud je jasné, co je argumentem goniometrické funkce.

Je důležité si při čtení výrazů s goniometrickými funkcemi uvědomit, která operace se bude provádět dříve. Například \cos x + 2 není totéž jako \cos(x+2), protože funkci \cos aplikujeme u výrazu bez závorek dříve než sčítání nebo odčítání. Zvyklost je chápat \sin 2x jako \sin (2x), ale když máme výraz \sin x \sin x, chápeme jej jako \sin (x) \cdot \sin (x).

Mocniny hodnot goniometrických funkcí také mají svůj speciální zápis.

Tipy pro řešení goniometrických rovnic

Můžou se kromě znalostí o hodnotách, vlastnostech a grafech goniometrických funkcí hodit také

• goniometrické vzorce,
• tzv. goniometrická jednička – vztah \sin^2 x + \cos^2 x = 1 platí pro libovolné reálné x,
• substituce, např. \cos^2 x -2 \cos x +1 = 0 můžeme nejdříve řešit jako kvadratickou rovnici t^2 -2t +1 pro t=\cos x, a teprve pro známé hodnoty řešení t hledat odpovídající hodnoty x.

Rovnice jsou velmi obecný nástroj, kterým v matematice řešíme spoustu problémů. V tomto tématu nabízíme procvičení některých obecných dovedností souvisejících s využitím rovnic při řešení problémů. Dále pak nabízíme procvičení na několika klasických typech slovních úloh.

Při řešení slovních úloh často potřebujeme matematicky vyjádřit vztahy mezi proměnnými a zapsat textové zadání pomocí rovnice nebo algebraického výrazu. Místo hledání jednoho konkrétního čísla vytváříme vzorec, který popisuje celou situaci.

Klíčem k úspěšnému zápisu je rozložit text na jednotlivé dílčí složky, vyjádřit je pomocí proměnných a následně je spojit odpovídajícími matematickými operacemi.

V zadání slovních úloh typicky nemáme žádné jasně uvedené neznámé – vymyslet vhodné neznámé je většinou důležitou součástí úkolu.

Pro snadnější trénink uvádíme v tomto uzlu úlohy, kde ve formulaci zadání jsou neznámé jasně označeny a úkolem je „jen“ přepsat text do rovnice.

Ukázkové zadání takové úlohy: Napouštění bazénu trvalo 6 hodin, voda přitékala dvěma trubkami. První trubkou přitékalo 300 litrů vody za hodinu, druhou x litrů vody za hodinu. Chceme zapsat rovnici pro celkový objem bazénu y.

Řešení: 6 \cdot (300 + x) = y

Při řešení slovních úloh a fyzikálních vzorců často potřebujeme vyjádřit jednu konkrétní neznámou ze vzorce obsahujícího více proměnných. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.

Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů.

Pokud se hledaná neznámá vyskytuje ve více členech, musíme ji nejprve dostat na jednu stranu rovnice a následně vytknout.

Slovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že vypravěč si myslí tajné číslo, řekne o něm několik podmínek (operací) a úkolem je toto číslo odhalit.

K řešení využíváme dvě základní strategie:

• Zpětný postup – postupujeme od výsledku zpět k začátku a provádíme opačné matematické operace (sčítání měníme na odčítání, násobení na dělení a naopak).
• Sestavení rovnice – neznámé číslo označíme proměnnou (např. x) a podmínky ze zadání zapíšeme jako rovnici.

Příklad úlohy: Myslím si číslo. Když od něj odečtu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?

Úlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých kombinujeme dva typy prvků s různými vlastnostmi (případně i více než dva). Může jít o míchání ořechů s různou cenou, slévání roztoků o různé koncentraci, nebo o skupiny zvířat s různou hmotností.

Základní princip řešení je vždy stejný: součet hodnot jednotlivých složek se rovná hodnotě celé směsi. Pro přehlednost si údaje ze zadání obvykle zapisujeme do tabulky a následně sestavíme rovnici.

Příklad úlohy o směsi: V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera skupina 60 tučňáků objevila obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?

Úlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých vystupuje více „pracantů“ (lidé, stroje, přítoky vody) vykonávajících stejnou práci různou rychlostí. Naším úkolem bývá určit, jak dlouho jim bude práce trvat společně, případně jaký výkon má některý z nich.

Základní princip řešení spočívá ve dvou krocích:

1. Celou hotovou práci vyjádříme jako jeden celek (číslo 1).
2. Určíme, jakou část práce udělá každý jednotlivec za 1 jednotku času – to odpovídá zlomku \frac{1}{t}. Tyto dílčí výkony pak sčítáme.

Příklad úlohy o společné práci: Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?

Úlohy o pohybu jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých zkoumáme vztah mezi dráhou, rychlostí a časem. Základem pro jejich řešení je přirozený vztah, který říká, že uražená dráha je součin rychlosti a času stráveného na cestě. Matematicky to zapisujeme s=v\cdot t, kde s je dráha, v je rychlost a t je čas.

Nejčastěji se potkáváme se dvěma základními situacemi:

• Pohyb proti sobě (setkání): Dvě tělesa vyrazí z různých míst proti sobě. V momentě setkání je součet jimi ujetých drah roven celkové počáteční vzdálenosti (s_1 + s_2 = s).
• Pohyb za sebou (dohánění): Rychlejší těleso dohání pomalejší (které vyrazilo dřív nebo má náskok). V momentě setkání urazila obě tělesa ze stejného startu stejnou dráhu (s_1 = s_2), případně se ujetá dráha liší o původní náskok.

U těchto úloh si musíme vždy dobře hlídat správné jednotky. Pokud je rychlost v km/h, čas musí být v hodinách a dráha v kilometrech.

Úlohy o pohybu řešíme pomocí rovnic. Při řešení složitějších zadání (např. když jedno těleso vyrazí s časovým zpožděním) pomáhá nakreslení náčrtku dráhy.

Příklad: Hrad Stará Hůrka a zámek Nová Dírka jsou od sebe vzdáleny 180 km. Ze Staré Hůrky vyjede rytíř na koni rychlostí 20 km/h. Ve stejný okamžik vyrazí ze zámku naproti němu dračí kurýr rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho se potkají a kolik kilometrů do té doby ujede rytíř?

Rovnice s neznámou x zapisujeme ve tvaru L(x) = P(x), kde L(x), P(x) jsou výrazy s proměnnou x. Nerovnice jsou podobné, jen v nich je mezi levou a pravou stranou místo rovnosti = některá z nerovností \lt, \leq, \gt, \geq.

Aritmetická a geometrická posloupnost jsou posloupnosti čísel, jejichž členy – čísla a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots se dají všechny odvodit z prvního členu podle jednoduchých pravidel zahrnujících sčítání (aritmetická posloupnost), resp. násobení (geometrická posloupnost).

Aritmetická posloupnost

V aritmetické posloupnosti je stálý rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Tento rozdíl se obvykle značí d a nazývá diference.

• rekurentní vzorec: a_n = a_{n-1} + d
• vzorec pro n-tý člen: a_n = a_1+ (n-1)\cdot d

Geometrická posloupnost

V geometrické posloupnosti je stálý poměr mezi dvěma po sobě jdoucími členy. Jejich podíl se obvykle značí q a nazývá kvocient.

• rekurentní vzorec: a_n = q \cdot a_{n-1}
• vzorec pro n-tý člen: a_n = q^{n-1}\cdot a_1

Posloupnost je sada objektů, ve kterých závisí na pořadí a objekty se mohou opakovat. Posloupnost může být konečná i nekonečná. Členy posloupnosti typicky zapisujeme pomocí indexů: a_n značí n-tý člen posloupnosti a.

Posloupnosti můžeme zapsat různými způsoby:

• výčtem členů: a = (7, 10, 13, 16, 19, 22)
• vzorcem pro n-tý člen: a_n = 4 + 3\cdot n
• rekurentně (začátek posloupnosti a způsob výpočtu dalších členů z předchozích): a_1 = 7, a_n = a_{n-1} + 3

Příklady:

• 8, 18, 28, 38, 48, 58, … (aritmetická posloupnost s počáteční hodnotou 8 a diferencí 10)
• 3, 6, 12, 24, 48, 96, … (geometrická posloupnost s počáteční hodnotou 3 a kvocientem 2)
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … (Fibonacciho posloupnost, a_n = a_{n-1} + a_{n-2})
• 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, … (periodická posloupnost)

Existuje celá řada zajímavých posloupností. Mají dokonce svoji vlastní encyklopedii.