Nadřazené: Rovnice, Kvadratické funkce
Předcházející: Základní rovnice s jednou neznámou, Grafy kvadratických funkcí
Navazující: Exponenciální rovnice, Kvadratické nerovnice
Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:
- ax^2 je kvadratický člen,
- bx je lineární člen,
- c je absolutní člen.
Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5.
Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.
Řešení kvadratické rovnice
Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:
- D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
- D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
- D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.
Pro kořeny rovnice platí:
- x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
- x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}
Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.
Příklad řešení kvadratické rovnice
- Řešíme rovnici x^2+2x-3=0.
- Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
- Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
- D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
- x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
- x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
- Kořeny rovnice jsou tedy 1 a -3.
Vysvětlení mi pomohlo Vysvětlení mi nepomohlo

Přesouvání
Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.

Kvadratické rovnice (těžké)
7 zadání
Typicky zabere: 8 min

Krok po kroku
V tomto cvičení doplňujete jednotlivé kroky v rozsáhlejším postupu – například jednotlivé kroky v úpravě výrazů nebo při řešení rovnic. Cvičení je dobrou rozcvičkou na samostatné řešení kompletních příkladů.

Kvadratické rovnice (těžké)
58 zadání
Typicky zabere: 9 min
Skládá se z:
Ryze kvadratické rovniceKvadratické rovnice bez absolutního členuKvadratické rovnice: diskriminantKvadratické rovnice: Vietovy vzorce
Ryze kvadratické rovnice (střední)
14 zadání
Typicky zabere: 6 min

Kvadratické rovnice bez absolutního členu (střední)
14 zadání
Typicky zabere: 6 min

Kvadratické rovnice: diskriminant (těžké)
15 zadání
Typicky zabere: 7 min

Kvadratické rovnice: Vietovy vzorce (těžké)
15 zadání
Typicky zabere: 8 min

Psaná odpověď
Cvičení, ve kterém píšete odpověď na klávesnici.

Kvadratické rovnice (střední)
19 zadání
Typicky zabere: 6 min
Ukázka
Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.
Kvadratické rovnice (těžké)
23 zadání
Typicky zabere: 7 min
Ukázka
Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.Najděte řešení kvadratické rovnice. Pokud má rovnice dvě řešení, zadejte jako odpověď to vyšší.
Slovní úlohy
Klasické procvičování slovních úloh, s pestrou nabídkou zadání a vysvětlujícími texty.

Kvadratické rovnice (těžké)
19 zadání
Typicky zabere: 7 min
Ukázka
Pan Čistotný vydláždil podlahu své velké obdélníkové koupelny 1 176 dlaždičkami. Panu Šampónovi se dlaždičky v koupelně pana Čistotného hodně líbily, koupil si proto úplně ty stejné. A přestože koupelna pana Šampóna má jiné rozměry (na šířku se vešlo o 4 kachličky méně a na délku o 7 kachliček více), použil celkově úplně stejný počet kachliček. Kolik kachliček se vešlo na délku do koupelny pana Šampóna?
V restauraci U Gulášů mají dnes několik hlavních jídel a ještě o tři více příloh. Pepan, který sní naprosto jakoukoliv kombinaci, třeba i smažený sýr s houskovým knedlíkem, vypočítal, že existuje celkem 154 kombinací hlavního jídla a přílohy. Kolik hlavních jídel dnes U Gulášů nabízí?
Pepan jezdí každou sobotu ráno na kole do 15 kilometrů vzdáleného městečka hrát baseball se svými kamarády. Dneska ale zaspal a vyjíždí o 9 minut později. Spočítal si proto, že bude muset jet o 5 kilometrů za hodinu rychleji, aby dojel tak jako vždycky a začátek utkání stihl. Kolik minut trvá obvykle Pepanovi cesta na stadion, když nezaspí? Připomeňme, že vzdálenost = rychlost krát čas.