Kvadratické rovnice

umime.to/FWS

Nadřazené	Elementární algebra » Rovnice » Kvadratické rovnice
Předcházející	Základní rovnice s jednou neznámou, Grafy kvadratických funkcí
Navazující	Exponenciální rovnice, Kvadratické nerovnice

Cvičení

Pojmy

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

ax^2 je kvadratický člen,
bx je lineární člen,
c je absolutní člen.

Příklad: 2x^2+6x-20 = 0

kvadratický člen	2x^2
lineární člen	6x
absolutní člen	-20
řešení rovnice	x=2 a x=-5

Speciální typy kvadratických rovnic:

Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Řešený příklad: x^2+2x-3=0

Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
Řešení rovnice jsou tedy hodnoty 1 a -3.

Vietovy vzorce

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Přesouvání

Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.

Kvadratické rovnice

Přesouvání • těžké

Krok po kroku

V tomto cvičení doplňujete jednotlivé kroky v rozsáhlejším postupu – například jednotlivé kroky v úpravě výrazů nebo při řešení rovnic. Cvičení je dobrou rozcvičkou na samostatné řešení kompletních příkladů.

Kvadratické rovnice

Ryze kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice bez absolutního členu

Kvadratické rovnice: diskriminant

Kvadratické rovnice: Vietovy vzorce