Kvadratické rovnice

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0.

• Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
• Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Pomocí Vietových vzorců můžeme řešit kvadratické rovnice bez počítání diskriminantu. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Příklad:

• Řešíme rovnici x^2+2x-3=0.
• Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Kořeny rovnice jsou tedy 1 a -3.