Pokročilé rovnice

Nejjednodušším typem rovnic jsou lineární rovnice, které obsahují pouze konstanty a násobky jedné proměnné. Ty jsou důkladně pokryty v základní sekci o rovnicích. V této sekci jsou pokryty rovnice složitějších typů:

Rovnice s lomenými výrazy řešíme stejnými postupy jako základní rovnice.

Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů lomených výrazů.

Podmínky řešitelnosti

Aby lomený výraz dával smysl, nesmí být jmenovatel roven nule. Po vyřešení rovnice tedy musíme zkontrolovat, že výsledné řešení tuto podmínku splňuje pro všechny jmenovatele v rovnici.

Řešený příklad

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnic o jedné proměnné můžeme mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Dosazovací metoda

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

Sčítací metoda

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y.

Pojmy

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Speciální typy kvadratických rovnic:

• Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0.
• Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Vietovy vzorce

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Exponenciální rovnice má neznámou v exponentu (mocniteli), např. 3^{2x}-3^x=6.

Exponenciální rovnice lze řešit různými způsoby. Nejjednoduší je řešení rovnice se stejnými základy. Pokud se nám podaří rovnici převést na tvar a^{f(x)} = a^{g(x)}, můžeme se zbavit exponenciální funkce a řešit f(x) = g(x). Složitější způsoby řešení exponenciálních rovnic jsou logaritmování a substituce.

Logaritmická rovnice je taková, kde neznámá vystupuje jako argument logaritmické funkce, např. 2 \cdot \log_6(x-2) = \log_6(14-x).

U logaritmických rovnic musíme dávat pozor na podmínky na řešení. Argument každého logaritmu totiž musí být vždy kladné číslo. V uvedeném příkladě tedy musí platit x-2>0 a současně 14-x > 0.

Logaritmické rovnice řešíme za využití vlastností logaritmické funkce a jejího vztahu k exponenciální funkci. Dílčí způsoby, jak řešit logaritmické rovnice:

• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = c. Pak musí platit f(x) = a^c.
• Převedeme rovnici na tvar \log_a f(x) = \log_a g(x). Pak musí platit f(x) = g(x).