Aritmetika

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Zaokrouhlování znamená, že vezmeme číslo a nahradíme jej za jiné, které má přibližně stejnou velikost, ale je „jednodušší“. Například číslo 96 můžeme zaokrouhlit na číslo 100. Zaokrouhlování nám umožňuje například provádět přibližné výpočty nebo snadněji komunikovat.

Zaokrouhlování na desítky znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem desítky. Například k číslu 37 je nejbližší násobek desítky číslo 40 (má vzdálenost 3). U čísel, která končí cifrou 5, není takto definované zaokrouhlování jednoznačné, například číslo 35 má stejnou vzdálenost od čísel 30 a 40. Pro tyto případy je zavedeno pravidlo, které říká, že zaokrouhlujeme nahoru, tj. číslo 35 zaokrouhlujeme na 40. Zaokrouhlování na stovky funguje stejně, jen nahrazujeme číslo nejbližším násobkem stovky. Příklady:

• 44 zaokrouhleno na desítky je 40.
• 47 zaokrouhleno na desítky je 50.
• 165 zaokrouhleno na desítky je 170.
• 30 zaokrouhleno na desítky je 30 (číslo 30 už je násobek desítky, tak jej prostě necháme být).
• 487 zaokrouhleno na stovky je 500.
• 1842 zaokrouhleno na stovky je 1800.
• 850 zaokrouhleno na stovky je 900.
• 1111 zaokrouhleno na stovky je 1100.

Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava. Postupujeme z pravé strany. Vždy sečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně. Pokud je výsledek větší než 10, zapisujeme pouze číslo na pozici jednotek. Číslo na pozici desítek přičteme v dalším sloupci.

Příklad 3728+436:

• Postupujem zprava, tedy nejprve sečteme 8+6=14. Zapisujeme 4, 1 přenášíme dál.
• Dále sčítáme 2+3 a navíc přičteme 1 z předchozího sloupce. Zapisujeme 6.
• Dále sčítáme 7+4=11 (z předchozího sloupce nic nepřenášíme), zapisujeme 1 a 1 přenášíme.
• Dále už máme jen 3, z druhého čísla nám nic nezbylo. Přidáme ovšem ještě 1 z předchozího sloupce. Zapisujeme 4.
• Dostáváme výsledek 4164.

Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava. Postupujeme z pravé strany. Vždy odečteme dvě čísla pod sebou a výsledek zapíšeme pod ně. Pokud je horní číslo menší než spodní, tak si „půjčíme“ desítku a místo ní v dalším sloupci odečteme o 1 víc.

Příklad 3728-436:

• Postupujem zprava, tedy nejprve odečteme 8-6=2.
• V dalším sloupci odečítáme 2-3. Zde je 2 menší než 3, „půjčíme“ si desítku a počítáme 12-3=9.
• Dále odečítáme 7-4, musíme ale ještě odečíst 1 za půjčenou desítku z předchozího sloupce, tedy 7-4-1=2.
• V dalším sloupci již máme jen 3, od ní nemáme co odečíst.
• Výsledek je tedy 3292.

Násobení nám říká, kolik čtverečků má čokoláda, když víme, kolik má řádků a sloupců:

Násobení využíváme v matematice i v běžném životě velice často. Proto se velmi vyplatí naučit se základní násobky zpaměti. Malá násobilka zahrnuje vzájemné součiny čísel od 1 do 10. Ty můžeme přehledně vyjádřit tabulkou malé násobilky:

Když mám 8 jablíček a chci je rozdělit rovnoměrně do 4 košíků, kolik jablíček bude v každém košíku? Této otázce v matematice odpovídá dělení:

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme a:b, pak můžeme psát a = k\cdot b + z, přičemž 0 \leq z < b. Číslo k nazýváme podíl, číslo z zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: 11:4 dává podíl 2 a zbytek 3, protože 11 = 2\cdot 4 + 3. Pokud mám 11 jablek a rozdělím je rovnoměrně do 4 košíků, v každém košíku budou 2 jablka a ještě mi 3 zbydou.

Další příklady:

• 17:5 dává zbytek 2, protože 17 = 3\cdot 5 + 2.
• 21:6 dává zbytek 3, protože 21 = 3\cdot 6 + 3.
• 12:7 dává zbytek 5, protože 12 = 1\cdot 7 + 5.
• 4:6 dává zbytek 4, protože 4 = 0\cdot 6 + 4.

Výrazy vyhodnocujeme v tomto pořadí:

1. závorky,
2. násobení a dělení,
3. sčítání a odčítání.

Příklady:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Při počítání se zápornými čísly často používáme princip „mínus a mínus dává plus“. Konkrétní příklady:

Absolutní hodnota čísla je jeho vzdálenost od nuly. Absolutní hodnotu čísla x značíme pomocí svislých čar: |x|. Pro kladné x je |x|=x, pro záporné x je |x| = -x. Příklady:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |-13| = 13
• |2{,}45| = 2{,}45

Při vyhodnocování výrazů, ve kterých se vyskytuje absolutní hodnota, nejdříve vyhodnotíme výraz uvnitř svislých čar (podobně jako u závorek) a pak aplikujeme samotnou absolutní hodnotu:

• 3 + |4-6| = 3 + |-2| = 3+2=5
• 5-3 \cdot |4-2| = 5 -3\cdot|-2| = 5 -3\cdot2 = 5 - 6 = -1

Dáváme pozor na rozdíl mezi kulatou závorkou (která pouze vyznačuje přednost operací) a svislými čárami (které značí absolutní hodnotu):

• 3+(-2) = 3 - 2 = 1
• 3+|-2| = 3 + 2 = 5

Také dáváme dobrý pozor, kde se vyskytují znamínka mínus (před versus za svislou čárou):

• |-4| = 4
• -|4| = -4
• |-3-2| = |-5| = 5
• -|3-2| = -|1| = -1

Číslo a je dělitelné nenulovým celým číslem b právě tehdy, když a je celočíselným násobkem b, tj. a = k\cdot b. Jinými slovy: číslo a dává po dělení číslem b zbytek 0. Příklady:

• Číslo 15 je dělitelné číslem 5, protože 15 = 3\cdot 5.
• Číslo 25 není dělitelné číslem 4, protože 25 = 6\cdot 4 + 1 (zbytek není nulový).

Pro některé dělitele můžeme dělitelnost rozpoznat poměrně snadno:

Největší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Příklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Pojem největšího společného dělitele lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSD(30, 85, 90) = 5.

Největšího společného dělitele lze určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty:

• 90 = 2\cdot3^2\cdot 5
• 168 = 2^3\cdot 3 \cdot 7
• \mathit{NSD}(90, 168) = 2\cdot 3 = 6

Nejmenší společný násobek (NSN) dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly. Příklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem nejmenšího společného násobku lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využití nejmenšího společného násobku je při převodu zlomků na společného jmenovatele.

Nejmenší společný násobek lze nalézt pomocí prvočíselného rozkladu. NSN je roven součinu všech prvočísel, které se vyskytují alespoň v jednom rozkladu (v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytují).

• 24 = 2^3\cdot 3
• 45 = 3^2 \cdot 5
• \mathit{NSN}(24, 45) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360

Nejmenší společný násobek lze vypočítat také pomocí největšího společného dělitele (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Přirozená čísla větší než 1, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla. Prvočísel je nekonečně mnoho. Každé číslo lze rozložit jednoznačně na prvočíselný součin, např. 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3, 30 = 2 \cdot 3\cdot 5.

Prvočísla menší než 100 jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0?

Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}. Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^2 = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}.

Příklady:

• \sqrt{9} = 3, protože 3^2 = 3
• \sqrt{25} = 5, protože 5^2 = 25
• \sqrt{100} = 10, protože 10^2 = 100
• \sqrt[3]{125} = 5, protože 5^3 = 25
• \sqrt[5]{32} = 2, protože 2^5 = 32

Vědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5970000000000000000000000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:

Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec.

Konkrétní příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Pro mocniny platí následující vztahy:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Příklady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25

Logaritmus je inverzní operace k umocňování. Logaritmus kladného čísla x při základu a je takové reálné číslo y = \log_a(x), pro které platí a^y = x. Číslo a se nazývá základ logaritmu (báze). Logaritmus o základu e=2{,}71828182... (Eulerovo číslo) se nazývá přirozený logaritmus a značí se většinou \ln.

Příklady:

Vlastnosti logaritmů:

• Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla.
• Logaritmus o základu 1 není definován.
• \log_a(a)=1
• \log_a(1)=0
• \log_a(x\cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y) (logaritmus součinu je součet logaritmů)
• \log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y) (logaritmus podílu je rozdíl logaritmů)
• \log_a(x^k)=k\log_a(x)
• \log_a(x)=\frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Římské číslice představují způsob zápisu čísel pomocí písmen latinské abecedy. Na rozdíl od běžně používaného zápisu čísel (arabské číslice, desítková soustava) jde o nepoziční číselnou soustavu. Římské číslice nejsou vhodné pro matematické výpočty, například násobení v tomto zápisu je výrazně náročnější než v desítkové soustavě. Římské číslice se však stále používají, například pro uvádění letopočtů na památnících, na hodinách, pro číslování kapitol v knihách, ...

Základní římské číslice jsou: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000. Další čísla vytváříme spojování a opakováním symbolů. Symboly řadíme za sebe podle velikosti. Pro zkrácení zápisu se využívá odčítání v případě, že menší symbol předchází větší. Příklady:

Pro základní představu u binárních číslech můžeme použít pomůcku, kterou máme vždy po ruce – totiž ruku samotnou. Představme si, že si na prsty ruky napíšeme mocniny dvojky:

Pak můžeme na prstech jedné ruky počítat nejen do pěti, ale až do třiceti jedné. Každé číslo lze totiž vyjádřit (jednoznačně) jako součet mocnin dvojky. Pokud polohu prstů zaznačíme pomocí nul a jedniček, dostaneme zápis v binární soustavě:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Na základní číselné ose mají značky rozestup jedna. To však zdaleka neplatí vždy. Kdykoliv pracujeme s číselnou osou, musíme si nejdříve ujasnit, jaký je rozestup mezi značkami. To určíme na základě popisků. V následujícím příkladě je rozestup 10:

Číselná osa je přímka znázorňující čísla. Značkami jsou na ní vyznačená vybraná čísla – většinou celá čísla. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme.

Tradičně se na číselné ose píší menší čísla vlevo, větší čísla vpravo. Záporná čísla jsou tedy vlevo od nuly. Příklad číselné osy s vyznačenými hodnotami 7 a -7:

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel.

Příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Číselná osa znázorňuje čísla. Čísla jsou na ní vyznačena značkami. Popsány jsou většinou jen některé značky, jinak by se popisky překrývaly a bylo by to nepřehledné. Zbylá čísla si dopočítáme. Číselnou osu si můžeme představit jako procházku. Začínáme na startu, kterým je číslo nula, a každý krok vede na novou značku s novým číslem.

Jednoduchý příklad číselné osy, na které hledáme číslo 7:

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad: