Dělitelnost

Sudá čísla jsou celá čísla, která jsou beze zbytku dělitelná dvěma. Sudá čísla končí cifrou 0, 2, 4, 6 nebo 8. Příklady sudých čísel jsou 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Lichá čísla jsou celá čísla, která po dělení dvěma dávají zbytek jedna. Lichá čísla končí cifrou 1, 3, 5, 7 nebo 9. Příklady lichých čísel jsou 15, 891, -7, 1, 95.

Číslo a je dělitelné nenulovým celým číslem b právě tehdy, když a je celočíselným násobkem b, tj. a = k\cdot b. Jinými slovy: číslo a dává po dělení číslem b zbytek 0. Příklady:

• Číslo 15 je dělitelné číslem 5, protože 15 = 3\cdot 5.
• Číslo 25 není dělitelné číslem 4, protože 25 = 6\cdot 4 + 1 (zbytek není nulový).

Pro některé dělitele můžeme dělitelnost rozpoznat poměrně snadno:

Prvočíslo je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým.

Složené číslo je přirozená čísla větší než 1, které není prvočíslem, tj. má i jiného dělitele než jedničku a sebe samého.

Příklady:

• 6 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 2.
• 7 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 7.
• 13 je prvočíslo, protože je dělitelné pouze čísly 1 a 13.
• 15 je složené číslo, protože je dělitelné například číslem 3.

Podle výše uvedené definice není číslo 1 prvočíslo ani složené číslo. To je běžná matematická konvence, protože to vede k elegantnější formulaci různých matematických výsledků. Existují ale i jiné přístupy k pojetí prvočíselnosti jedničky (vesměs historické).

Prvočísel je nekonečně mnoho. Prvočísla menší než 100 jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Každé číslo lze rozložit jednoznačně na prvočíselný součin, např.

• 12 = 2 \cdot 2 \cdot 3
• 30 = 2 \cdot 3\cdot 5
• 1638 = 2 \cdot 3^2\cdot 7\cdot 13

Největší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Příklady: NSD(18, 24) = 6, NSD(12, 21) = 3, NSD(24, 35) = 1. Pojem největšího společného dělitele lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSD(30, 85, 90) = 5. Typickým využitím největšího společného dělitele je krácení zlomků. Pokud největší společný dělitel dvou čísel je 1, nazýváme je nesoudělná. Například čísla 15 a 32 jsou nesoudělná.

Pro malá čísla můžeme největšího společného dělitele určit tak, že si prostě vypíšeme všechny dělitele. Pokud hledáme NSD(18, 24) postupujeme takto:

• Dělitelé čísla 18 jsou 1, 2, 3, 6, 9, 18.
• Dělitelé čísla 24 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Společní dělitelé čísel 18 a 24 jsou 1, 2, 3, 6.
• Největší společný dělitel je 6.

Pro větší čísla můžeme největšího společného dělitele určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty.

• Příklad \mathit{NSD}(18, 24):
  • 18 = 2\cdot 3 \cdot 3 = 2\cdot3^2
  • 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2\cdot 3 = 2^3\cdot 3
  • Společná část prvočíselného rozkladu: 2, 3.
  • \mathit{NSD}(90, 168) = 2\cdot 3 = 6
• Příklad \mathit{NSD}(540, 315):
  • 540 = 2\cdot 2\cdot3\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 2^2\cdot3^3\cdot 5
  • 315 = 3\cdot 3 \cdot 5\cdot 7 = 3^2 \cdot 5\cdot 7
  • Společná část prvočíselného rozkladu: 3, 3, 5
  • \mathit{NSD}(540, 315) = 3\cdot 3\cdot 5 = 3^2\cdot 5 = 45

Pro praktické výpočty se používají jiné algoritmy, především Euklidův algoritmus.

Nejmenší společný násobek (NSN) dvou celých čísel je nejmenší číslo, které je beze zbytku dělitelné oběma čísly. Příklady: NSN(12, 15) = 60, NSN(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Pojem nejmenšího společného násobku lze zobecnit i na větší počet vstupních čísel. Například NSN(2, 3, 4) = 12. Typické využití nejmenšího společného násobku je při převodu zlomků na společného jmenovatele při sčítání zlomků.

Pro malá čísla můžeme nejmenší společný násobek najít tak, že si vypíšeme několik prvních násobků od obou čísel. Pokud hledáme NSN(12, 15), postupujeme takto:

• Násobky čísla 12 jsou 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …
• Násobky čísla 15 jsou 15, 30, 45, 60, 75, 90, …
• Nejmenší společný násobek je první číslo, které se vyskytuje v obou seznamech. V tomto případě tedy 60.

Pro větší čísla můžeme nejmenší společný násobek nalézt pomocí prvočíselného rozkladu. NSN je roven součinu všech prvočísel, které se vyskytují alespoň v jednom rozkladu (v nejvyšší mocnině, v jaké se vyskytují).

Příklad \mathit{NSN}(24, 45):

• 24 = 2^3\cdot 3
• 45 = 3^2 \cdot 5
• \mathit{NSN}(24, 45) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360

Nejmenší společný násobek lze vypočítat také pomocí největšího společného dělitele (NSD): \mathit{NSN}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}