Zlomky

Příklady zlomků vyjádřených graficky několika různými způsoby:

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (podělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel.

Příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem je jednoduché, stačí prostě porovnat čitatele. Pokud například porovnáváme zlomky \frac{3}{7} a \frac{5}{7}, je větší druhý zlomek, protože 5 > 7.

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak stačí porovnat jmenovatele. V tomto případě je však pořadí zlomků opačné než pořadí jmenovatelů. Například \frac{1}{4} > \frac{1}{5}, protože 4 < 5.

Náročnější je porovnávání zlomků s odlišnými jmenovateli i čitateli. V tomto případě potřebujeme zlomky nejprve převést na společného jmenovatele a teprve následně provést porovnání podle čitatelů.

Příklad: porovnání zlomků \frac{2}{3} a \frac{4}{7}. Nejmenší společný jmenovatel je 21, po rozšíření dostáváme dvojici zlomků \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} a \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Protože 14 > 12, je větší první zlomek, tj. \frac{2}{3}.

Často můžeme provést porovnání i bez detailního výpočtu, pokud si zlomky správně představíme nebo porovnáme s vhodnou hodnotou „mezi“:

• Zlomky \frac{2}{3} a \frac{7}{6}. První z nich je menší než 1, druhý je větší než 1. Platí tedy \frac{2}{3} < \frac{7}{6}.

• Zlomky \frac{1}{3} a \frac{4}{5}. První z nich je určitě menší než polovina, druhý je výrazně větší než polovina. Platí tedy \frac{1}{3} < \frac{4}{5}.

Jako krácení zlomku se označuje operace, kdy čitatele i jmenovatele vydělíme stejným, nenulovým číslem. Krácení zachovává hodnotu zlomku. Jde o ekvivalentní úpravu, kterou často využíváme při práci se zlomky. Pokud jsou čitatel a jmenovatel nesoudělní, je zlomek v takzvaném základním tvaru. Pokud chceme zlomek převést do základního tvaru, krátíme největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele.

Příklady:

• Zlomek \frac{15}{28} je v základním tvaru, protože čísla 15 a 28 jsou nesoudělná.

• Zlomek \frac{25}{30} můžeme krátit číslem 5, čímž dostaneme zlomek \frac{5}{6}, který je v základním tvaru.

• Zlomek \frac{12}{18} můžeme krátit číslem 2, čímž dostaneme zlomek \frac{6}{9}. Pokud chceme krátit na základní tvar, najdeme největšího společného dělitele čísel 12 a 18, což je 6. Po krácení číslem 6 dostáváme zlomek \frac{2}{3}.

Pokud je u zlomku jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna), označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo a\frac{b}{c} je zápis součtu a + \frac{b}{c}, kde \frac{b}{c} je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}
• 2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}

Převod smíšeného čísla na zlomek uděláme na základě pozorování, že jednotku můžeme zapsat jako \frac{c}{c}. Příklad:

• 3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}

Převod nepravého zlomku na smíšené číslo uděláme pomocí dělení se zbytkem. Celá část smíšeného čísla odpovídá podílu, čitatel zbylého zlomku odpovídá zbytku. Příklad:

• \frac{17}{3} = 5\frac23, protože 17:3 je 5 a zbytek 2.
• \frac{15}{7}= 2\frac17, protože 15:7 je 2 a zbytek 1.

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele. Jmenovatele necháme stejného.

\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele. Nejvýhodnější je rozšířit zlomky na nejmenší společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Výsledný zlomek většinou ještě krátíme, abychom dostali výsledek v základním tvaru. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

• Příklad se stejným jmenovatelem, bez nutnosti krácení:
  \frac{2}{5}+\frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}.

• Příklad se stejným jmenovatelem, kdy výsledek krátíme:
  \frac{5}{6}-\frac{1}{6} = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

• Příklad s různými jmenovateli: \frac{2}{6} + \frac{3}{4}. Nejmenší společný násobek jmenovatelů 6 a 4 je 12, rozšíříme tedy zlomky na jmenovatele 12:
  \frac{5}{6} - \frac{3}{4} = \frac{5\cdot 2}{6\cdot 2} - \frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}= \frac{10}{12} - \frac{9}{12} = \frac{1}{12}

Při násobení zlomků prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“. Příklady:

• \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\cdot 1}{3\cdot 5}=\frac{2}{15}
• \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} = \frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} (všimněte si, že neroznásobujeme, ale hned krátíme)

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}. Příklady:

• \frac13:\frac12 =\frac13\cdot \frac21 = \frac23
• \frac{2}{5}:\frac{3}{4}=\frac{2}{5}\cdot \frac{4}{3} = \frac{2\cdot 4}{5\cdot 3} = \frac{8}{15}

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{a^x}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Převod procent na zlomek v základním tvaru: Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. \frac{1}{100}. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem \frac{1}{100} a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• 45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}

• 12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Převod zlomku na procenta: Chceme zlomek \frac{a}{b} vyjádřit jako p\ \%. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Takže p = \frac{a}{b}\cdot 100. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%

• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice. Užitečným (avšak ne vždy nezbytným) prvním krokem bývá roznásobení obou stran rovnice společným násobkem všech jmenovatelů zlomků. Příklad:

Převod desetinného čísla na zlomek: Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo: Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15