Zlomky

Zlomky jsou způsobem, jak vyjádřit část celku pomocí čitatele a jmenovatele. Často se s nimi setkáváme nejen v matematice, ale také v běžném životě, např. když po oslavě zbyde $\frac13$ dortu, na výletě jste urazili $\frac78$ cesty nebo když na vás při dělbě práce vyjdou $\frac25$ umývání nádobí (což asi není zrovna spravedlivé, pokud jste na práci čtyři).

Zlomky nám pomáhají nejen při dělení jídla nebo výpočtech práce, ale také v geometrii, kde je třeba počítat části obrazců, nebo v algebře při práci s výrazy. Umění pracovat se zlomky je důležité pro pochopení dalších matematických oblastí, jako jsou desetinná čísla, procenta, poměry nebo rovnice.

Práce se zlomky je rozsáhlá oblast, kterou pro přehlednost dělíme na několik témat:

• Zlomky: základy – poznávání a porovnávání zlomků, umístění zlomků na číselné ose, práce se smíšenými čísly
• Výpočty se zlomky – základní operace se zlomky (krácení, sčítání, odčítání, násobení a dělení), převody mezi zlomky, procenty a desetinnými čísly
• Pokročilé počítání se zlomky – složitější operace zahrnující algebraické výrazy se zlomky, rovnice se zlomky, mocniny a odmocniny

Zlomky zapisujeme ve tvaru $\frac{a}{b}$, kde $a$ se nazývá čitatel a $b$ jmenovatel. Aby měl zlomek smysl, nesmí být jmenovatel nula. Význam zlomku odpovídá dělení. Příklad: ve zlomku $\frac32$ je čitatelem číslo $3$ a jmenovatelem číslo $2$, hodnota zlomku $\frac32$ se rovná dělení $3:2 = 1{,}5$ („jedna a půl“).

Zlomek $\frac{a}{b}$ je v základním tvaru, pokud jsou čísla $a, b$ nesoudělná (tj. jejich jediný kladný společný dělitel je číslo 1). Na základní tvar převádíme zlomky pomocí krácení. Příklady:

• Zlomek $\frac64$ není v základním tvaru, protože čísla 6 a 4 jsou soudělná – mají společného dělitele 2, kterým jde zlomek krátit, čímž dostáváme základní tvar $\frac32$.
• Zlomek $\frac34$ je v základním tvaru, protože čísla 3 a 4 jsou nesoudělná.

Základy práce se zlomky si můžete procvičit v těchto tématech:

• Poznávání zlomků
• Zlomky na číselné ose
• Porovnávání zlomků
• Smíšená čísla

Zlomky vyjadřují „části z celku“. Můžeme je graficky vyjádřit mnoha způsoby:

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list – materiál určený k vytištění a rozstříhání:

• Pracovní list: Zlomky a útvary

Zlomek můžeme na číselnou osu umístit tak, že ho převedeme na desetinné číslo (vydělíme prostě čitatele jmenovatelem) a pak postupujeme stejně jako u desetinných čísel. Například $\frac{6}{5} = 1{,}2$, tj. zlomek $\frac{6}{5}$ leží dvě desetiny za jedničkou. Další příklady:

Zlomky menší než 1 můžeme umisťovat na číselnou osu také přímo (bez převodu na desetinné číslo) díky představě „část z celku“. Pokud máme umístit zlomek $\frac{3}{7}$, představíme si, jak bychom rozdělili úsečku od 0 po 1 na sedm stejných dílků. Zlomek $\frac{3}{7}$ pak umístíme na třetí pozici.

Hodí se vybudovat si dobrou představu zejména pro zlomky s malým jmenovatelem:

Než se pustíme do porovnávání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku $\frac{3}{7}$ je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem

Porovnávání zlomků se stejným jmenovatelem je jednoduché: stačí prostě porovnat čitatele. Pokud například porovnáváme zlomky $\frac{3}{7}$ a $\frac{5}{7}$, je větší druhý zlomek. Oba zlomky vyjadřují sedminy z celku a je prostě víc, když máme sedmin pět.

Porovnávání zlomků se stejným čitatelem

Pokud mají zlomky stejného čitatele, pak stačí porovnat jmenovatele. V tomto případě je však pořadí zlomků opačné než pořadí jmenovatelů. Pokud porovnáváme třeba zlomky $\frac{1}{4}$ a $\frac{1}{5}$, je větší jedna čtvrtina: dostanu větší kousek pizzy, pokud se bude dělit mezi 4 lidi, než když se bude dělit mezi 5 lidí.

Odlišný jmenovatel i čitatel

V tomto případě potřebujeme zlomky nejprve převést na společného jmenovatele a teprve následně provést porovnání podle čitatelů. Příklad: porovnání zlomků $\frac{2}{3}$ a $\frac{4}{7}$. Nejmenší společný jmenovatel je 21, po rozšíření dostáváme dvojici zlomků $\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21}$ a $\frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}$. Protože $14 > 12$, je větší první zlomek, tj. $\frac{2}{3}$.

Porovnání bez výpočtu

Často můžeme provést porovnání i bez detailního výpočtu, pokud si zlomky správně představíme nebo porovnáme s vhodnou hodnotou „mezi“:

• Zlomky $\frac{2}{3}$ a $\frac{7}{6}$. První z nich je menší než 1, druhý je větší než 1. Platí tedy $\frac{2}{3} < \frac{7}{6}$.

• Zlomky $\frac{1}{3}$ a $\frac{4}{5}$. První z nich je určitě menší než polovina, druhý je výrazně větší než polovina. Platí tedy $\frac{1}{3} < \frac{4}{5}$.

Pokud je u zlomku jmenovatel větší než čitatel (zlomek je menší než jedna), označuje se zlomek jako pravý. Nepravé zlomky (tedy ty, které jsou větší jak jedna) můžeme zapsat pomocí smíšeného čísla. Smíšené číslo $a\frac{b}{c}$ je zápis součtu $a + \frac{b}{c}$, kde $\frac{b}{c}$ je kladný zlomek menší než jedna. Příklady:

• $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
• $2\frac{3}{5} = \frac{13}{5}$

Převod smíšeného čísla na zlomek uděláme na základě pozorování, že jednotku můžeme zapsat jako $\frac{c}{c}$. Příklad: $3\frac14 = 3\cdot\frac44 + \frac14 = \frac{12}{4}+\frac14 = \frac{13}{4}$.

Převod nepravého zlomku na smíšené číslo uděláme pomocí dělení se zbytkem. Celá část smíšeného čísla odpovídá podílu, čitatel zbylého zlomku odpovídá zbytku. Příklad:

• $\frac{17}{3} = 5\frac23$, protože 17:3 je 5 a zbytek 2.
• $\frac{15}{7}= 2\frac17$, protože 15:7 je 2 a zbytek 1.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Smíšená čísla: zadání
• Smíšená čísla: řešení

Základní výpočty se zlomky jsou následující:

Krácení zlomků

• Zlomky se krátí tak, že čitatel i jmenovatel vydělíme jejich společným dělitelem.
• Zlomek $\frac{9}{12}$ můžeme zkrátit na $\frac{3}{4}$, protože čitatel i jmenovatel mají společný dělitel $3$.

Sčítání a odčítání zlomků

• Pro sčítání a odčítání zlomků je nutné převést zlomky na společný jmenovatel.
• $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ převedeme na společný jmenovatel $12$ a dostaneme $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$.

Násobení a dělení zlomků

• Násobení se provádí tak, že vynásobíme čitatele i jmenovatele mezi sebou.
• $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
• Dělení se provádí násobením převráceného zlomku.
• $\frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$

Zlomky a procenta

• Převod zlomku na procenta se provádí pomocí násobení $100$.
• $\frac{3}{4} = 0{,}75 = 75 \%$

Zlomky a desetinná čísla

• Zlomky převedeme na desetinná čísla tak, že čitatele vydělíme jmenovatelem. Naopak desetinné číslo lze převést na zlomek pomocí roznásobení mocninami desítky.
• $\frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4$
• $0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}$, což po zkrácení dává $\frac{1}{4}$

Kombinace operací se zlomky

• Zadání kombinující různé aritmetické operace se zlomky.

Stejnou hodnotu můžeme vyjádřit mnoha zlomky, například $\frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}$. Jen jedno možné vyjádření ovšem považujeme za základní tvar. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou čitatel a jmenovatel nesoudělní, tj. nemají žádného společného dělitele kromě jedničky. V uvedeném příkladě je v základním tvaru zlomek $\frac23$.

Jako krácení zlomku se označuje operace, kdy čitatele i jmenovatele vydělíme stejným, nenulovým číslem. Krácení zachovává hodnotu zlomku. Pokud chceme zlomek převést do základního tvaru, krátíme největším společným dělitelem čitatele a jmenovatele.

Opačnou operací je rozšíření zlomku, kdy čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným nenulovým číslem. Rozšíření zlomku se používá při sčítání a odčítání zlomků.

Než se pustíme do sčítání zlomků, je dobré mít jasno v tom, co je čitatel („to nahoře“) a jmenovatel („to dole“). Ve zlomku $\frac{3}{7}$ je 3 čitatel, 7 jmenovatel.

Sčítání zlomků se stejným jmenovatelem

Pokud mají sčítané zlomky stejného jmenovatele, stačí prostě sečíst čitatele. Jmenovatele necháme stejného, tedy $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$.

Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Pokud mají sčítané zlomky různého jmenovatele, musíme je nejprve rozšířit tak, aby měly stejného jmenovatele. Nejvýhodnější je rozšířit zlomky na nejmenší společný násobek původních jmenovatelů. Jakmile mají zlomky stejného jmenovatele, sečteme je výše uvedeným postupem.

Úpravy a odčítání

Výsledný zlomek většinou ještě krátíme, abychom dostali výsledek v základním tvaru. Odčítání zlomků funguje stejným způsobem.

Příklady

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Sčítání a odčítání zlomků: zadání
• Sčítání a odčítání zlomků: řešení

Násobení zlomků si můžeme představit skrze čokoládu. Pokud násobíme $\frac45\cdot \frac23$ je to jako bychom brali čtyři z pěti sloupečků a dva ze tří řádků. Kolik čtverečků čokolády takto vezmeme? Osm z patnácti, tedy $\frac{8}{15}$.

Při násobení zlomků tedy prostě vynásobíme čitatele prvního zlomku a čitatele druhého zlomku a dostaneme výsledný čitatel, podobně pro jmenovatele: $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$. Pokud si chceme ušetřit násobení velkých čísel, můžeme zlomky krátit, a to i „do kříže“.

Dělení zlomků je to stejné jako násobení převráceným zlomkem: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$.

Převod procent na zlomek v základním tvaru

Jedno procento je to stejné jako jedna setina, tj. $\frac{1}{100}$. Vynásobíme tedy číslo (udávající procenta) zlomkem $\frac{1}{100}$ a následně zlomek vykrátíme (pomocí dělení největším společným dělitelem) na základní tvar. Příklady:

• $45\ \% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}$
• $12\ \% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}$

Převod zlomku na procenta

Chceme zlomek $\frac{a}{b}$ vyjádřit jako $p\ \%$. Protože jedno procento je jedna setina, musí tedy platit $\frac{a}{b} = \frac{p}{100}$. Takže $p = \frac{a}{b}\cdot 100$. Stačí tedy zlomek vynásobit číslem 100. Příklady:

• $\frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\ \% = \frac{200}{5}\ \% = 40\ \%$
• $\frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\ \% = \frac{300}{20}\ \% = 15\ \%$

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• $1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

• $1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• $0{,}01 = \frac{1}{100}$

• $0{,}1 = \frac{1}{10}$

• $0{,}2 = \frac{1}{5}$

• $0{,}25 = \frac{1}{4}$

• $0{,}333\ldots = \frac{1}{3}$

• $0{,}5 = \frac{1}{2}$

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• $\frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75$

• $\frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2$

• $\frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15$

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• $\large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

• $\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

• $\large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4}$ (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. $x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}$. Příklady:

• $2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots$

• $4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2$

• $81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27$

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.

Řešený příklad