Objem, povrch

Vzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa.

Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.

Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3.

Objem jehlanu je jedna třetina součinu obsahu podstavy a výšky, tj. V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pro pravidelný čtyřboký jehlan pak tedy V=\frac{1}{3} a^2v.

Příklady:

• Krychle o hraně 4 m má objem V = 4^3 = 64 m³.
• Kvádr s hranami 3, 6 a 10 cm má objem V = 3\cdot 6 \cdot 10 = 180 cm³.
• Pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou hrany 6 cm a výškou 4 cm má objem V=\frac{1}{3} 6^2 \cdot 4 = 48 cm³.

Povrch „hranatých“ těles je prostě součet obsahů jednotlivých stran.

Hranol má dvě stejné podstavy a plášť, povrch je tedy S=2\cdot S_p+S_{pl}. Jehlan má jednu podstavu a plášť, povrch je tedy S=S_p+S_{pl}.

Stěny kvádru jsou obdélníky, přičemž vždy dvě jsou stejně velké. Povrch tedy vypočítáme jako S = 2(ab+ac+bc).

Krychle má šest stěn a všechny jsou tvořeny stejným čtvercem. Povrch je S=6a^2.

Objem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce.

• Objem koule je V = \frac43 \pi r^3.
• Objem válce je obsah (kruhové) podstavy vynásobený výškou, tedy V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
• Objem kužele je jedna třetina obsahu podstavy vynásobeného výškou, tedy V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.

Povrch „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy), v výšku válce, s stranu kužele.

• Povrch koule je S = 4\pi r^2.
• Povrch válce se skládá z podstavy (dvakrát) a pláště: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v).
• Povrch kužele se skládá z podstavy a pláště: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).