Analytická geometrie

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=1, y=2, což můžeme zapsat jako A[1;2].

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=4, y=2, z=3, což můžeme zapsat jako A[4;2;3].

• |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů C[0;1] a D[4;4]:
  \sqrt{(4-0)^2 + (4-1)^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
• Vzdálenost je: |CD|=5

• |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů M[2;-1] a N[-1;-2]:
  \sqrt{(-1-2)^2 + (-2-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2}=\sqrt{10}
• Vzdálenost je: |MN|=\sqrt{10}

• |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2 + (d_z-c_z)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů C[1;2;0] a D[4;5;1]: ==$
• Vzdálenost je: |CD|=\sqrt{19}

• |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2 + (n_y-m_y)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů M[0;-1;3] a N[-4;1;-1]: ===6$
• Vzdálenost je: |MN|=6

• Není. Výrazy x_B-x_A a x_A-x_B nejsou stejné. Ale jsou opačné a ve vzorci počítáme jejich druhé mocniny, které se rovnají.
• Navíc geometricky, délka úsečky AB je stejná jako délka úsečky BA.
• Důvodem zápisu právě v tomto tvaru je fakt, že délka úsečky je rovna velikosti vektoru \overrightarrow{AB} a u vektoru se jeho velikost vždy počítá „koncový bod mínus počáteční“.

• |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů E[0;-1] a F[-4;2]: \sqrt{(-4-0)^2 + (2-(-1))^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
• Délka úsečky je: |EF|=5

• |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2+ (z_F-z_E)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů EF; E[-2;0;1], F[-4;2;0]:
  \sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-2)^2 + 2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3
• Délka úsečky je: |EF|=3

Najděte střed úsečky AB: A[6;-1], B[2;3]

• Pro souřadnice středu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
• Dosadíme souřadnice bodů A[6;-1], B[2;3]: s_1 = \frac{6+2}{2}=4, s_2 = \frac{-1+3}{2}=1
• Střed úsečky AB je bod S[4;1]

Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečky AB, je‑li dán bod A[-3;0] a její střed S[1;3].

• Pro souřadnice středu S[s_1;s_2] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
• Dosadíme souřadnice bodů A[-3;0], S[1;3]: 1 = \frac{-3+x_B}{2}, 3 = \frac{0+y_B}{2}
• Dopočítáme neznámé x_B, y_B: 2=-3+x_B\Rightarrow x_B=5\\ 6=0+y_B\Rightarrow y_B=6
• Bod B má souřadnice [5;6].

Najděte střed úsečky AB: A[2;1;-3], B[2;-3;3]

• Pro souřadnice středu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}

• Dosadíme souřadnice bodů A[2;1;-3], B[2;-3;3].
• s_1 = \frac{2+2}{2}=2, s_2 = \frac{1-3}{2}=-1, s_3 = \frac{-3+3}{2}=0
  

• Střed úsečky AB je bod S[2;-1;0]

Určete souřadnice druhého krajního bodu úsečkyAB, je-li dán bod A[1;2;4] a její střed S[1;-3;0].

• Pro souřadnice středu S[s_1;s_2;s_3] platí: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}, s_3 = \frac{z_A+z_B}{2}
• Dosadíme souřadnice bodů A[1;2;4], S[1;-3;0].
• 1 = \frac{1+x_B}{2}, -3 = \frac{2+y_B}{2}, 0 = \frac{4+z_B}{2}
• Dopočítáme neznámé x_B, y_B, z_B:

\begin{array}{rclcrcr} 2&=&1+x_B &\Rightarrow& x_B&=&1\\ -6&=&2+y_B &\Rightarrow& y_B&=&-8\\ 0&=&4+z_B&\Rightarrow& z_B&=&-4 \end{array}

• Bod B má souřadnice [2;-8;-4].

• Chceme-li vektor \overrightarrow{AB} posunout do počátku souřadného systému, posuneme ho o dva čtverečky vlevo a o jeden čtvereček dolů.
• Bod A se posune do bodu O, bod B se posune do bodu C. Tento posun můžeme vyjádřit takto:
  • A se posune na [2-2;1-1]=[0;0]
  • B se posune na [4-2;5-1]=[2;4]
• Souřadnice vektor na obrázku jsou: \vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(2;4)
• Všimněte si, že souřadnice vektoru \overrightarrow{AB} jsme získali odečtením souřadnic bodu A od souřadnic bodu B.

Vektor na obrázku má souřadnice \vec{u}=(-3;2), jeho velikost je \left| \vec{u} \right|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}

• Určete opačný vektor k vektoru \vec{u}=(3;-1).
• Opačný vektor \vec{v} k vektoru \vec{u} má souřadnice: (-u_1;-u_2)=(-3;1)

• Doplňte souřadnici vektoru \vec{v}=(v_1;3) tak, aby byl kolineární s vektorem \vec{u}=(2;-1).
• Pro druhou souřadnici platí: v_2=3, u_2=-1, tedy v_2= (-3) \cdot u_2
• Vidíme, že k=-3 je záporné, tj. \vec{u} a \vec{v} mají opačnou orientaci
• Pro první souřadnici musí platit: v_1= (-3) \cdot u_1= (-3)\cdot2=-6.

• Doplňte souřadnici vektoru \vec{v}=(v_1;4) tak, aby byl kolmý k vektoru \vec{u}=(2;-1).
• Platí: v_2=2 \cdot u_1, tedy musí platit: v_1 = - 2 \cdot u_2.
• Máme tedy v_1 = - 2 \cdot u_2 = -2 \cdot (-1) = 2.

Načrtněte vektor \vec{w}=2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}.

Jsou dány vektory \vec{u}=(2;-3), \vec{v}=(4;1). Určete souřadnice vektoru \vec{w}=\vec{u}-4\cdot \vec{v}.

• w_1=u_1-4\cdot v_1=2-4\cdot 4=-14
• w_2=u_2-4\cdot v_2=-3-4\cdot 1=-7

Určete skalární součin vektorů, jestliže platí: \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3 a vektory svírají úhel 60°.

• Vzoreček: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
• Dosadíme známé hodnoty: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6

Určete úhel vektorů \vec{u}=(3;3) a \vec{v}=(2;0).

• Platí \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
• Pomocí známých souřadnic vektorů umíme spočítat skalární součin \vec{u}\cdot\vec{v} a velikosti vektorů \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
• \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
• \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
• \left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
• Dosadíme tyto hodnoty do vztahu pro výpočet \cos \alpha:
• \cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
• Úhel vektorů je 60°.

• Přímka p je určená bodem A a vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}, tedy p:X=A+t\vec{u}
• Pro hodnotu t=0 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u} … bod A
• Pro hodnotu t=1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u} … bod B
• Pro hodnotu t=2 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u} … bod C
• Pro hodnotu t=\frac{1}{2} dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u} … bod D (střed úsečky AB)
• Pro hodnotu t=-1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u} … bod E

• Každá hodnota parametru určuje jeden bod na přímce, pro určení celé přímky tedy potřebujeme všechna reálná čísla, proto píšeme t\in\mathbb{R}.
• Body, které leží na úsečce AB (tedy body ležící mezi body A a B), vyjádříme parametricky, pokud do rovnice X=A+t\vec{u} dosadíme hodnoty parametru t splňující 0\leq t\leq1.

1. Pro přímku danou obecnou rovnicí ax+by+c=0:
   • \vec{v} je normálový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(a;b)
   • \vec{u} je směrový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{v}=(a;b), jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(-b;a)
2. Pro přímku danou parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
   • \vec{u} je směrový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(u_1;u_2)
   • \vec{v} je normálový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{u}=(u_1;u_2), jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(-u_2;u_1)

• Pro všechny body ležící na přímce je druhá souřadnice stejná a to: y=c
• Tedy přímka má obecnou rovnici: y-c=0

• Pro všechny body ležící na přímce je první souřadnice stejná a to: x=c
• Tedy přímka má obecnou rovnici: x-c=0

• Přímka prochází bodem O=[0;0], tedy souřadnice počátku splňují její obecnou rovnici ax+by+c=0.
• Dosadíme souřadnice bodu O a zkusíme zjistit nějaké informace o konstantách a,b,c.
• a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0
• Proto přímka, která prochází počátkem má obecnou rovnici ax+by=0.

• přímka p je určená bodem A a směrovým vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Určíme souřadnice směrového vektoru a jednoho bodu na přímce:

• například: \vec{u}=(2;1), A=[1;2]
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Další možnost parametrického vyjádření:

• \vec{v}=(-4;-2), B=[3;3]
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&3-4t\\y&=&3-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Pro určení parametrických rovnic můžeme vybrat kterýkoliv bod ležící na přímce a jakýkoliv zápis souřadnic směrového vektoru, možností jak parametricky vyjádřit danou přímku je tedy nekonečně mnoho.

• Přímka p je určená bodem A a směrovým vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2).
• Normálový vektor je kolmý k vektoru \vec{u}=(1;-2), tedy například vektor \vec{n}=(2;1).
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty a a b v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: 2x+y+c=0
• Konstantu c dopočítáme dosazením souřadnic bodu A=[1;5] :
• 2\cdot1+5+c=0\Rightarrow c=-7
• Obecná rovnice přímky p je: 2x+y-7=0

Určete obecnou rovnici přímky p, která je dána následující parametrickou soustavou rovnic: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&4+6t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Přímka p je určená bodem A=[1;4] a směrovým vektorem \vec{u}=(2;6).
• Souřadnice směrového vektoru můžeme upravit na tvar: \vec{u}=(1;3).
• Normálový vektor je kolmý k vektoru \vec{u}=(1;3), tedy například vektor \vec{n}=(3;-1).
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty a a b v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: 3x-y+c=0
• Konstantu c dopočítáme dosazením souřadnic bodu A=[1;4] :
• 3\cdot1-4+c=0\Rightarrow c=1
• Obecná rovnice přímky p je: 3x-y+1=0

Určete parametrické vyjádření přímky p, která má obecnou rovnici: 3x-2y+4=0.

• Přímka p má normálový vektor \vec{n}=(3;-2).
• Směrový vektor je kolmý k vektoru \vec{n}=(3;-2), tedy například vektor \vec{u}=(2;3).
• Určíme jeden bod na přímce p : jednu souřadnici můžeme zvolit, například x=0, druhou souřadnici dopočítáme: 3\cdot0-2y+4=0\Rightarrow y=2
• Z obecné rovnice jsme tedy zjistili, že na přímce leží bod A=[0;2].
• Parametrické vyjádření přímky p je: \begin{array}{rrl}x&=&0+2t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Směrnice přímky p: k_1=\tan \varphi_1=\frac{1}{2}
• Směrnice přímky q: k_2=\tan \varphi_2=\frac{1}{1}=1
• Směrnice přímky r: k_3=\tan \varphi_3=\frac{2}{1}=2
• Čím větší odchylka od kladné části osy x, tím větší hodnota směrnice k.
• Přímka rovnoběžná s osou x svírá s kladnou částí osy x úhel 0^\circ a tedy její směrnice je \tan 0^\circ=0.
• Přímka rovnoběžná s osou y svírá s kladnou částí osy x úhel 90^\circ a pro tuto hodnotu funkce tangens není definována, proto nemůžeme určit směrnici.

Hledáme směrnicový tvar rovnice přímky: y=kx+q.

• Pro nalezení konstant k a q určíme směrový vektor přímky p a průsečík s osou y.
• směrový vektor přímky: \vec{u}=(1;-2)
• směrnice: k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{1}=-2
• průsečík přímky s osou y: P=[0;5]
• konstanta q=y_P=5
• přímka na obrázku má směrnicový tvar y=-2x+5

Určete vzájemnou polohu dvou přímek p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[-3;2].
• Ověříme, že tento bod neleží na přímce q dosazením souřadnic bodu A do rovnic přímky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšly různé hodnoty parametru s, takže bod A neleží na q \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[0;1].
• Ověříme, zda A leží na p dosazením souřadnic bodu A do rovnice přímky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce q \Rightarrow přímky nejsou totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární.

• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy každou z jeho souřadnic lze vyjádřit dvěma způsoby, dostáváme následující soustavu rovnic: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Soustavu můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parametr t dosadíme do parametrických rovnic kterékoliv z přímek a dostaneme souřadnice x,y průsečíku.

• Průsečík přímek p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájemnou polohu dvou přímek zadaných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich normálové vektory nejsou kolineární.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice jsou řešením soustavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 3x=0\Rightarrow x=0
• Průsečík přímek p a q je bod R=[0;1]

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární. Proto normálový vektor jedné přímky je kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné: stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce q leží například bod B=[3;2].
• Na přímce p tento bod neleží, což zjistíme dosazením souřadnic bodu B do rovnice přímky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce p \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární. Vyplývá z toho, že normálový vektor jedné přímky není kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice najdeme tak, že parametrické vyjádření přímky q dosadíme do obecné rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Průsečík přímek p a q je bod R=[3;2]

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno řešení \Rightarrow různoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žádné řešení \Rightarrow různé rovnoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečně mnoho řešení \Rightarrow totožné přímky

Určete, zda body A=[2;3] a B=[-1;2] leží na přímce p:2x-3y+5=0.

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu A=[2;3]:
• 2\cdot 2-3\cdot3+5=0\Rightarrow bod A leží na přímce p
• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[-1;2]:
• 2\cdot (-1)-3\cdot2+5=-3\Rightarrow bod B neleží na přímce p

Určete, zda body A=[3;1] a B=[4;4] leží na přímce p dané parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&2-t\\y&=&3+2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovnic přímky dosadíme souřadnice bodu A=[3;1]:

\begin{array}{rrrr}3&=&2-t&\Rightarrow t=-1\\1&=&3+2t&\Rightarrow t=-1\end{array} \Rightarrow bod A leží na přímce p

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[4;5]:

\begin{array}{rrrl}4&=&2-t&\Rightarrow t=-2\\5&=&3+2t&\Rightarrow t=1\end{array}\Rightarrow bod B neleží na přímce p

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0.

• Přímka k, která prochází bodem M a je kolmá k přímce p má směrový vektor kolineární s normálovým vektorem přímky p.
• Souřadnice směrového vektoru přímky k jsou: \vec{u}=(4;3).
• Přímka k má parametrické vyjádření: p:X=M+t\vec{u}
• p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
• Souřadnice průsečíku P přímky k s přímkou p určíme dosazením parametrického vyjádření přímky k do obecné rovnice přímky p.

\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}

• Průsečík přímek k a p je bod P=[1;-1].
• Vzdálenost bodu M od přímky p je délka úsečky PM:
• Vzorec pro délku úsečky: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
• Dosadíme souřadnice bodů M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5

Určete vzdálenost bodu M=[5;2] od přímky p:4x+3y-1=0 s využitím vzorce.

• Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[5;2] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky.
• Obecná rovnice pro p je 4x+3y-1=0, tedy a=4 a b=3.
• Máme: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5

Určete vzdálenost rovnoběžek p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.

• Určíme souřadnice jednoho bodu (M) na přímce q tak, že jednu souřadnici zvolíme a druhou dopočítáme.
• Zvolíme například souřadnici y=0, pak x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
• Dosadíme do vzorce d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} souřadnice bodu M=[-1;0] a koeficienty a a b z obecné rovnice přímky p.
• Obecná rovnice pro p je 2x-4y+3=0, tedy a=2 a b=-4.
• Máme: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
• Vzdálenost rovnoběžek p a q je: d=\frac{1}{\sqrt{20}}

• Odchylka přímek p a q na obrázku je ostrý úhel \alpha, nikoliv tupý úhel \beta.
• \alpha a \beta jsou vedlejší úhly, pro které je hodnota funkce \cos opačná, tedy: \cos\alpha=-\cos\beta
• Pro úhel \alpha je \cos\alpha>0, pro \beta je \cos\beta<0
• Absolutní hodnota ve vzorci nám zaručí, že najdeme úhel, kde hodnota funkce \cos je kladná, tedy úhel ostrý, který je odchylkou daných přímek.

V trojúhelníku na obrázku:

• úhel \alpha je menší než 90^\circ a je to odchylka přímek AB a AC
• úhel \beta je větší než 90^\circ a není to odchylka přímek AB a BC
• úhel \gamma je menší než 90^\circ a je to odchylka přímek BC a AC

Velikost úhlů v trojúhelníku nemusí být stejná jako odchylka přímek, na kterých leží strany trojúhelníku. Úhly v trojúhelníku počítáme jako odchylku vektorů, které určují daný úhel. Tento úhel může být větší než 90^\circ, proto využijeme vzorec pro výpočet odchylky vektorů (ve vzorci nebude absolutní hodnota).

Určete odchylku přímek p:x-2y+3=0 a q:2x-y+1=0

• Přímky jsou dané obecnými rovnicemi, proto pro výpočet jejich odchylky využijeme normálové vektory: \overrightarrow{n_p}=(1;-2) a \overrightarrow{n_q}=(2;-1)
• Dosadíme do vzorce: \cos \alpha =\frac{\left| \vec{u} \cdot \vec{v} \right|}{\left| \vec{u} \right|\cdot \left| \vec{v} \right|}=\frac{\left| 1\cdot2+(-2) \cdot(-1) \right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\cdot\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{4}{5}
• Pomocí funkce cos^{-1} na kalkulačce dopočítáme odchylku: \alpha=36^\circ

Pro všechny body ležící v rovině je třetí souřadnice stejná, tedy rovina má obecnou rovnici: z+d=0.

Pro všechny body ležící v rovině je druhá souřadnice stejná, tedy rovina má obecnou rovnici: y+d=0.

Pro všechny body ležící v rovině je první souřadnice stejná, tedy rovina má obecnou rovnici: z+d=0.

• Rovina prochází bodem O=[0;0;0], tedy musí platit: a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d=0\Rightarrow d=0.
• Rovina, která prochází počátkem má obecnou rovnici: ax+by+cz=0.

Určete parametrické rovnice roviny \alpha určené body A=[3;2;1], B=[1;3;4], C=[2;-3;3].

• rovina \alpha je určená bodem A a vektory \vec{u}=\overrightarrow{AB}, \vec{v}=\overrightarrow{AC}:
• \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;1;3)
• \vec{v}=\overrightarrow{AC}=C-A=(-1;-5;2)
• parametrické rovnice roviny \alpha jsou:

\begin{array}{rrl}x&=&3-2t-s\\y&=&2+t-5s\\z&=&1+3t+2s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• rovina \alpha je určená bodem A a vektory \vec{u}, \vec{v}
• souřadnice určíme z obrázku:
  • A=[0;3;0],
  • \vec{u}=(2;-3;0),
  • \vec{v}=(0;-3;3)
• parametrické rovnice roviny \alpha jsou:

\begin{array}{rrl}x&=&2t\\y&=&3-3t-3s\\z&=&3s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Určete parametrické rovnice roviny určené dvěma různoběžkami s následujícími parametrickými rovnicemi:

p:\begin{array}{rrl}x&=&2+3t\\y&=&1+2t\\z&=&4-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}, q:\begin{array}{rrl}x&=&2+4s\\y&=&1-2s\\z&=&4-5s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• rovina \alpha je určená společným bodem různoběžek a směrovými vektory přímek p a q
  • společný bod různoběžek: R=[2;1;4],
  • směrový vektor přímky p:\vec{u}=(3;2;4),
  • směrový vektor přímky q:\vec{v}=(4;-2;-5)
• parametrické rovnice roviny \alpha jsou:

\begin{array}{rrl}x&=&2+3t+4s\\y&=&1+2t-2s\\z&=&4-4t-5s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

Určete obecnou rovnici roviny \alpha určené bodem A=[-3;1;2] a normálovým vektorem \vec{n}=(2;3;-4).

• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty a, b, c v obecné rovnici roviny, proto obecná rovnice bude mít tvar: 2x+3y-4z+d=0
• Konstantu d určíme dosazením souřadnic bodu A=[-3;1;2] do obecné rovnice: 2\cdot(-3)+3\cdot1-4\cdot 2+d=0\Rightarrow -11+d=0\Rightarrow d=11
• Obecná rovnice roviny \alpha je: 2x+3y-4z+11=0

Obecná rovnice roviny \alpha, která prochází bodem A=[2;3;1] a je rovnoběžná s rovinou \beta:3x+y+4z+1=0.

• Dvě rovnoběžné roviny mají stejný normálový vektor, souřadnice normálového vektoru jsou souřadnice a, b, c v obecné rovnici roviny.
• Proto obecná rovnice hledané roviny \alpha bude mít tvar: 3x+y+4z+d=0
• Konstantu d určíme dosazením souřadnic bodu A=[2;3;1] do obecné rovnice: 3\cdot2+3+4\cdot 1+d=0\Rightarrow 13+d=0\Rightarrow d=-13
• Obecná rovnice roviny \alpha je: 3x+y+4z-13=0

Určete, zda body A=[3;4;2] a B=[1;3;0] leží v rovině \alpha dané obecnou rovnicí 2x-y+3z+1=0.

• Do rovnice roviny dosadíme souřadnice bodu A=[3;4;2].
• 2\cdot 3-4+3\cdot2+1=0\Rightarrow9\neq 0, tedy bod A neleží v rovině \alpha.
• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[1;3;0].
• 2\cdot 1-3+3\cdot0+1=0\Rightarrow0=0, tedy bod B leží v rovině \alpha.

Určete, zda body A=[2;3;4] a B=[0;2;2] leží v rovině \alpha dané parametrickými rovnicemi:

\begin{array}{rrl}x&=&1-t+s\\y&=&2+t+s\\z&=&3-t+s\\&&t,s\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu A=[1;3;4]: \begin{array}{rrrr}2&=&1-t+s\\3&=&2+t+s\\4&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží na přímce:

1. první a druhou rovnici sečteme: 5=3+2s\Rightarrow s=1
2. hodnotu s=1 dosadíme do první rovnice: 1=1-t+1\Rightarrow t=1
3. hodnoty s=1 a t=1 dosadíme do třetí rovnice: 4=3-1+1. Tato rovnost neplatí, tedy bod A neleží v rovině \alpha.

• Do rovnic roviny dosadíme souřadnice bodu B=[0;-3;2]: \begin{array}{rrrr}0&=&1-t+s\\-3&=&2+t+s\\2&=&3-t+s\\\end{array}
• Z prvních dvou rovnic určíme hodnoty t a s, dosazením do třetí rovnice zjistíme, zda nalezené hodnoty jsou řešením soustavy a tedy zda bod leží na přímce:

1. první a druhou rovnici sečteme: -3=3+2s\Rightarrow s=-3
2. hodnotu s=-3 dosadíme do první rovnice: 0=1-t-3\Rightarrow t=-2
3. hodnoty s=-3 a t=-2 dosadíme do třetí rovnice: 2=3-(-2)-3. Tato rovnost platí, tedy bod B leží v rovině \alpha.

• Středová rovnice je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2
• Dosadíme souřadnice středu a poloměr. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu ve středové rovnici odečítáme: (x-(-1))^2 +(y-2)^2=3^2
• Po úpravě: (x+1)^2 +(y-2)^2=9

• Nejprve si uspořádáme členy podle proměnných: x^2+4x+y^2-6y-12=0.
• Našim dalším cílem je upravit výraz na levé straně jako součet dvou druhých mocnin (čtverců), podle vzorečků a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.
• K oběma stranám rovnice přičteme konstanty 4 a 9, abychom součty členů s proměnnými x a y mohli upravit na druhé mocniny (provedeme v obou případech doplnění na čtverec): x^2+4x+4+y^2-6y+9-12=4+9
• A upravíme: (x+2)^2 +(y-3)^2-12=13
• Na závěr ještě převedeme -12 na druhou stranu rovnice: (x+2)^2 +(y-3)^2=25
• Tímto jsme převedli obecnou rovnici kružnice na středovou rovnici kružnice.
• Poloměr kružnice je r=\sqrt{25}=5.
• Souřadnice středu S[m,n] odčítáme ve středové rovnici od proměnných x a y, mají tedy opačná znaménka než konstanty v závorkách ve středové rovnici \Rightarrow S[-2;3].

• Středová rovnice je ve tvaru (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2.
• Závorky rozložíme na součiny dvoučlenů (x-m)(x-m) +(y-n)(y-n)=r^2.
• V každém součinu zaměníme jedno x za x_0 a jedno y za y_0
• Dostaneme rovnici tečny (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2

• Ověříme, zda bod T leží na kružnici: (3-1)^2+(1+2)^2=13 \Rightarrow 4+9=13
• Tečna má rovnici (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
• Dosadíme souřadnice bodu T: (3-1)(x-1) +(1+2)(y+2)=13
• Roznásobíme závorky: 2x-2 +3y+6=13
• A dostaneme obecnou rovnici tečny 2x+3y-9=0

• Poláru využíváme ke konstrukci tečen ležících z bodu mimo kružnici.
• Podle vzorce určíme rovnici poláry, tedy přímky.
• Najdeme průsečíky poláry a kružnice – to jsou body dotyku hledaných tečen.
• Když známe body dotyku, určíme podle vztahu pro rovnici tečny v bodě kružnice obecné rovnice obou tečen.

• Podíváme se do jmenovatelů.
• Větší jmenovatel je druhá mocnina velikosti hlavní poloosy (a menší jmenovatel je druhá mocnina velikosti vedlejší poloosy).
• Proměnná v daném čitateli (zlomku s větším jmenovatelem) pak určuje, se kterou osou je hlavní osa elipsy rovnoběžná.
• Stručně řečeno: je‑li větší číslo například ve jmenovateli s proměnnou x, je hlavní osa rovnoběžná s osou x

• Středová rovnice je ve tvaru \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1.
• Dosadíme souřadnice středu a velikosti hlavní a vedlejší poloosy. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu odčítáme: \frac{(x-(-2))^2}{2^2} +\frac{(y-3)^2}{3^2}=1
• Po úpravě: \frac{(x+2)^2}{4} +\frac{(y-3)^2}{9}=1

• Nejprve si uspořádáme členy: x^2+8x+3y^2-18y+31=0.
• Ze členů s proměnnou y vytkneme 3: x^2+8x+3(y^2-6y)+31=0
• K oběma stranám rovnice přičteme konstanty 16 a 27, abychom členy s proměnnými x a y mohli upravit podle vztahu (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2.
• Máme: x^2+8x+16+3(y^2-6y+9)+31=16+27
• A upravíme: (x+4)^2 +3(y-3)^2+31=43
• Převedeme konstantu 31 na druhou stranu rovnice: (x+4)^2 +3(y-3)^2=12
• Na závěr rovnici vydělíme 12: \frac{(x+4)^2}{12} +\frac{(y-3)^2}{4}=1
• Jedná se tedy o elipsu.

• Ověříme, zda bod T leží na elipse: \frac{(1-2)^2}{9} +\frac{(-2-2)^2}{18}=1 \Rightarrow \frac19+\frac{16}{18}=1 \Rightarrow 1=1
• Tečna má rovnici \frac{(x-m)(x_0-m)}{b^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{a^2}=1
• Dosadíme souřadnice bodu T: \frac{(x-2)(1-2)}{9} +\frac{(y-2)(-2-2)}{18}=1
• Zbavíme se zlomků: 2(x-2)\cdot(-1) +(y-2)\cdot(-4)=18
• Roznásobíme závorky: -2x+4 -4y+8=18
• A dostaneme obecnou rovnici tečny: x+2y+3=0

• body paraboly mají y souřadnici alespoň tak velkou jako vrchol (tj. n)
• vrcholová rovnice: (x-m)^2= + 2p(y-n)

• body paraboly mají y souřadnici nejvýše tak velkou jako vrchol (tj. n)
• vrcholová rovnice: (x-m)^2= - 2p(y-n)

• body paraboly mají x souřadnici alespoň tak velkou jako vrchol (tj. m)
• vrcholová rovnice: (y-n)^2= + 2p(x-m)

• body paraboly mají x souřadnici nejvýše tak velkou jako vrchol (tj. m)
• vrcholová rovnice: (y-n)^2= - 2p(x-m)

• obecná rovnice: y=ax^2+bx+c
• kde a>0

• obecná rovnice: y=ax^2+bx+c
• kde a<0

• obecná rovnice: x=ay^2+bx+c
• kde a>0

• obecná rovnice: x=ay^2+bx+c
• kde a<0

• mějme parabolu danou vrcholovou rovnicí: (x-2)^2=2(y-1)
• pro tuto parabolu je m=2, n=1, p=1
• na této parabole leží (souřadnice splňují rovnici) například bod T=[4;3]
• tečna dané paraboly v bodě T=[4;3] má rovnici: (x-2)(x-4)= (y-1)+(y-3)

• mějme parabolu danou vrcholovou rovnicí: (x-2)^2=-4(y-1)
• pro tuto parabolu je m=2, n=1, p=2
• na této parabole leží (souřadnice splňují rovnici) například bod T=[6;-3]
• tečna dané paraboly v bodě T=[6;-3] má rovnici: (x-2)(x-6)= -2(y-1)-2(y+3)

Přímka rovnoběžná s osou paraboly je sečna paraboly, přestože se zdá, že má s parabolou jeden společný bod. Druhý společný bod má tato přímka a parabola v nekonečnu.

• Uvažujeme hyperbolu zadanou pomocí středové rovnice.
• Podíváme se na znaménka členů s proměnnou x a y.
• Proměnná ve členu, který má před sebou znaménko plus udává, se kterou souřadnou osou je rovnoběžná hlavní osa hyperboly.
• Ve jmenovateli dané proměnné je pak (ve druhé mocnině) velikost hlavní poloosy.
• Stručně řečeno: je-li znaménko plus například u členu s proměnnou x, je hlavní osa rovnoběžná s osou x a ve jmenovateli je druhá mocnina velikosti hlavní poloosy a.

Určete středovou rovnici hyperboly se středem v bodě S[1;-5], je-li velikost hlavní poloosy 2, velikost vedlejší poloosy 6 a hlavní osa je rovnoběžná s osou y.

• Středová rovnice je ve tvaru -\frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1. Hlavní poloosa má velikost a, vedlejší b.
• Dosadíme souřadnice středu a velikosti hlavní a vedlejší poloosy. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu odčítáme: -\frac{(x-1)^2}{6^2} +\frac{(y-(-5))^2}{2^2}=1
• Po úpravě: -\frac{(x-1)^2}{36} +\frac{(y+5)^2}{4}=1

• Nejprve si vyznačíme střed, hlavní a vedlejší vrcholy.
• Poté sestrojíme charakteristický obdélník hyperboly. To je obdélník, který má strany rovnoběžné s osami a vrcholy hyperboly jsou středy jeho stran. Délky jeho stran jsou tedy 2a a 2b.
• Asymptoty jsou úhlopříčky charakteristického obdélníku.

• Nejprve si uspořádáme členy: -x^2+8x+y^2-18y+40=0.
• Ze členů s proměnnou x vytkneme -1: -(x^2-8x)+y^2-18y+40=0
• K oběma stranám rovnice přičteme konstantu 81 a odečteme konstantu 16, abychom členy s proměnnými x a y mohli upravit podle vztahu pro (a\pm b)^2: -(x^2-8x+16)+y^2-18y+81+40=81-16
• A upravíme: -(x-4)^2 +(y-9)^2+40=65
• Převedeme konstantu 40 na druhou stranu rovnice: -(x-4)^2 +(y-9)^2 =25
• Na závěr rovnici vydělíme 25: -\frac{(x-4)^2}{25} +\frac{(y-9)^2}{25}=1
• Jedná se tedy o hyperbolu. Hlavní osa je rovnoběžná s osou y a a=b=5.

• Nejprve určíme vzájemnou polohu přímky a hyperboly.
• Pokud vyjdou dva průsečíky, jedná se o sečnu v obecné poloze.
• Pokud vyjde jeden průsečík, musíme ještě rozhodnout, jestli je přímka rovnoběžná s asymptotou. Pokud ne, jedná se o tečnu. V opačném případě jde o sečnu.