Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Týmovka
Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou různých bodů (ohnisek) stálý součet vzdáleností 2a, který je větší než vzdálenost ohnisek. 
Středová rovnice elipsy
Tvar středové rovnice elipsy o středu S[m;n] s velikostmi hlavní a vedlejší poloosy a a b závisí na poloze hlavní osy:
hlavní osa je rovnoběžná s osou x, rovnice je ve tvaru: \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1
hlavní osa je rovnoběžná s osou y, rovnice je ve tvaru: \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1
Návod: jak z rovnice poznat, se kterou souřadnou osou je rovnoběžná hlavní osa elipsy
- Podíváme se do jmenovatelů.
- Větší jmenovatel je druhá mocnina velikosti hlavní poloosy (a menší jmenovatel je druhá mocnina velikosti vedlejší poloosy).
- Proměnná v daném čitateli (zlomku s větším jmenovatelem) pak určuje, se kterou osou je hlavní osa elipsy rovnoběžná.
- Stručně řečeno: je‑li větší číslo například ve jmenovateli s proměnnou x, je hlavní osa rovnoběžná s osou x
Příklad: určení středové rovnice elipsy s daným středem, velikostmi poloos a směrem hlavní osy
Určete středovou rovnici elipsy se středem v bodě S[-2;3], je‑li a=3, b=2 a hlavní osa je rovnoběžná s osou y.
- Středová rovnice je ve tvaru \frac{(x-m)^2}{b^2} +\frac{(y-n)^2}{a^2}=1.
- Dosadíme souřadnice středu a velikosti hlavní a vedlejší poloosy. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu odčítáme: \frac{(x-(-2))^2}{2^2} +\frac{(y-3)^2}{3^2}=1
- Po úpravě: \frac{(x+2)^2}{4} +\frac{(y-3)^2}{9}=1
Obecná rovnice elipsy
Podobně jako existuje několik rovnic přímky, můžeme i rovnici elipsy zapsat jiným způsobem. Obecná rovnice elipsy je ve tvaru:
Ax^2 +By^2+Cx+Dy+E=0, A\ne B, A\cdot B>0.
Každá rovnice v tomto tvaru ale nemusí být obecnou rovnicí elipsy. Praktické ověření, zda se jedná o elipsu provádíme převedením na středovou rovnici.
Příklad: určuje daná rovnice elipsu?
Rozhodněte, zda rovnice x^2+3y^2+8x-18y+31=0 určuje elipsu.
- Nejprve si uspořádáme členy: x^2+8x+3y^2-18y+31=0.
- Ze členů s proměnnou y vytkneme 3: x^2+8x+3(y^2-6y)+31=0
- K oběma stranám rovnice přičteme konstanty 16 a 27, abychom členy s proměnnými x a y mohli upravit podle vztahu (a\pm b)^2=a^2 \pm 2ab +b^2.
- Máme: x^2+8x+16+3(y^2-6y+9)+31=16+27
- A upravíme: (x+4)^2 +3(y-3)^2+31=43
- Převedeme konstantu 31 na druhou stranu rovnice: (x+4)^2 +3(y-3)^2=12
- Na závěr rovnici vydělíme 12: \frac{(x+4)^2}{12} +\frac{(y-3)^2}{4}=1
- Jedná se tedy o elipsu.
Elipsa a přímka
- přímka s protíná elipsu ve dvou bodech – sečna elipsy
- přímka t protíná elipsu v jednom bodě – tečna elipsy
- přímka v elipsu neprotíná – vnější přímka elipsy
Rovnice tečny elipsy v bodě, který leží na elipse
Elipsa daná rovnicí \frac{(x-m)^2}{a^2} +\frac{(y-n)^2}{b^2}=1 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu určenou rovnicí:
\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1
Podobně můžeme zapsat i rovnici tečny elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou y.
Příklad: určení rovnice tečny elipsy v jejím daném bodě
Určete rovnici tečny elipsy \frac{(x-2)^2}{9} +\frac{(y-2)^2}{18}=1 v jejím bodě T[1;-2].
- Ověříme, zda bod T leží na elipse: \frac{(1-2)^2}{9} +\frac{(-2-2)^2}{18}=1 \Rightarrow \frac19+\frac{16}{18}=1 \Rightarrow 1=1
- Tečna má rovnici \frac{(x-m)(x_0-m)}{b^2} +\frac{(y-n)(y_0-n)}{a^2}=1
- Dosadíme souřadnice bodu T: \frac{(x-2)(1-2)}{9} +\frac{(y-2)(-2-2)}{18}=1
- Zbavíme se zlomků: 2(x-2)\cdot(-1) +(y-2)\cdot(-4)=18
- Roznásobíme závorky: -2x+4 -4y+8=18
- A dostaneme obecnou rovnici tečny: x+2y+3=0
