Diskrétní matematika

Diskrétní matematika je zastřešující oblast matematiky, která se zabývá studiem diskrétních objektů – jasně oddělitelných částí. Například Lego kostky nebo karty jsou diskrétní. Můžeme je různě kombinovat či řadit, ale pracujeme s nimi vždy po jedné, nemá smysl je dělit. Naopak taková přímka je spojitá, můžeme ji dělit na stále jemnější části.

Pojem diskrétní matematika i názvy jednotlivých oblastí mohou znít abstraktně a složitě. Dají se však použít i v snadno představitelných případech, jako jsou třeba různé hry.

Množiny jsou soubory prvků. Můžeme například uvážit množinu černých šachových figurek nebo množinu fotbalových útočníků. Práce s množinami představuje základ mnoha oblastí matematiky.

Logika zkoumá způsoby, jak vyvozujeme závěry z předpokladů. Pomocí logiky můžeme dokázat, že určitá pozice v šachu je vítězná pro jednoho z hráčů.

Kombinatorika se zabývá počítáním možností, jak můžeme objekty vzájemně kombinovat. Pomocí kombinatoriky můžeme určit počet způsobů, jak rozdělit skupinu hráčů do dvou fotbalových týmů.

Pravděpodobnost zkoumá pravidla, kterými se řídí náhodné události. Za využití pravděpodobnosti můžeme vypočítat, jak moc (ne)výhodné jsou sázky v hazardní hře s kostkami.

Popisná statistika se zabývá popisem jevů, které vykazují vliv náhody. Pomocí popisné statistiky můžeme srovnávat úspěšnost fotbalových útočníků v průběhu sezóny.

Množina je soubor prvků. Množiny využíváme jako dílčí prvek v mnoha oblastech matematiky. Příklad z geometrie: kružnice je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od středu. Množiny mají i mnoho praktických využití. Například při vývoji internetového obchodu program pracuje s množinou dostupných výrobků. Množiny jsou také důležité pro studium základů matematiky. Pomáhají nám například ujasnit si, co je to nekonečno.

K procvičování množin máme následující podtémata:

• Pojmy a značení – prázdná množina (\emptyset), průnik (A \cap B), podmnožina (A \subseteq B)…
• Zápis množin – zápis výčtem, zápis charakteristickou vlastností, standardní značky (\mathbb{N}, \mathbb{R})
• Množinové operace – průnik, sjednocení, rozdíl, symetrický rozdíl, aplikace na konkrétní příklady množin
• Vlastnosti množin a množinových operací – podmnožiny, množinové operace, jejich vzájemné vztahy, zápis obecných vlastností pomocí matematické notace
• Vennovy diagramy – grafické znázornění množin, jejich vztahů a operací s nimi
• Množiny množin, potenční množina – pokročilejší téma, kdy uvažujeme množiny, které mohou obsahovat jako svoje prvky jiné množiny

Množina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tedy všechny stejné:

• \{\square, \bigcirc, \triangle\}
• \{\bigcirc, \triangle, \square\}
• \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}

Důležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:

Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby:

Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je tříprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9.

Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x \lt 10\} je množina přirozených čísel menších než 10.

Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů:

Interval je množina reálných čísel, které leží mezi dvěma danými čísly a, b, tato čísla nazýváme krajní body nebo také meze intervalu. Na číselné ose intervaly značíme jako úsečky, případně polopřímky (pokud některý z krajních bodů je \infty nebo -\infty). Pokud krajní bod do intervalu patří, znázorníme ho plným kolečkem, pokud krajní bod do intervalu nepatří, znázorníme ho prázdným kolečkem. Podle toho, zda krajní body do intervalu patří nebo nepatří, rozlišujeme tyto druhy intervalů:

• uzavřený interval – krajní body a, b do intervalu patří, značíme \langle a;b \rangle
  
• otevřený interval – krajní body a, b do intervalu nepatří, značíme ( a;b)
  
• interval zleva uzavřený a zprava otevřený- krajní bod a do intervalu patří a krajní bod b do intervalu nepatří, značíme \langle a;b)
• interval zprava uzavřený a zleva otevřený – krajní bod a do intervalu nepatří a krajní bod b do intervalu patří, značíme (a;b\rangle

Intervaly používáme například pro zápis řešení nerovnic.

Operace s intervaly

• sjednocení intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží aspoň v jednom z daných intervalů, značíme A \cup B
  Příklad (0;3\rangle \cup (0;5\rangle

  
• průnik intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží v obou z daných intervalů, značíme A \cap B
  Příklad (0;3\rangle \cap (1;5\rangle

  
• rozdíl intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží v intervalu A a neleží v intervalu B, značíme A \setminus B
  Příklad (1;5\rangle \setminus (0;3\rangle

  
• doplněk intervalu A v množině všech reálných čísel je množina reálných čísel, které neleží v intervalu A
  Příklad \mathbb{R} \setminus (1;3\rangle

  

• Každá množina je svou podmnožinou: A\subseteq A

• Množina nemůže být svou vlastní podmnožinou: A\not\subset A

• Prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny: \emptyset \subseteq A
• Prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.
• A \subseteq A \cup B
• A \cap B \subseteq A
• A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B

Vennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají).

Typický Vennův diagram pro tři množiny:

Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary):

Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C):

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Vennovy diagramy řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Množina prvkem množiny

Prvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást.

Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:

• „obyčejný“ prvek a
• čtyřprvkovou množinu \{b, c, d, e\}
• prázdnou množinu \emptyset

Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:

• \emptyset (též můžeme psát \{\}) je prázdná množina, její velikost je 0,
• \{\emptyset\} je množina obsahující prázdnou množinu, její velikost je 1.

Potenční množina

Potenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M).

Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu.

Logika zkoumá způsoby, jak vyvozujeme závěry z předpokladů. Logika původně vznikla jako součást filosofie, později se výrazně rozvinula v matematice. Dnes má důležité uplatnění i v informatice.

Základ matematického pojetí logiky je výroková logika, ve které pracujeme s výroky (tvrzení, která jsou buď pravdivá, nebo nepravdivá) a logickými spojkami (a zároveň, nebo, negace). Rozšířením výrokové logiky je predikátová logika, ve které navíc používáme kvantifikátory (existuje, pro každý).

Přehled témat o logice dostupných v rámci předmětu matematika:

V rámci najdete logiku také na informatice. Tam je důraz kladen na logické spojky používané při programování a na řešení logických úloh.

Logický výrok je věta (oznamovací), která je objektivně pravdivá, nebo nepravdivá. Nemusíme vědět, jestli je výrok pravdivý, nebo nepravdivý, ale musíme vědět, že nastává právě jedna z těchto možností. Tázací věta ani rozkazovací věta není logický výrok. Také věta, která vyjadřuje osobní (subjektivní) názor na něco nebo na někoho není logický výrok.

Negace logického výroku (opačný výrok) je také logický výrok, vyznačuje se tím, že má opačnou pravdivost. Pokud původní výrok byl pravdivý, negace je nepravdivá a naopak.

Konjunkce několika logických výroků je jejich spojení spojkou „a“. Konjunkce je pravdivý výrok, pokud jsou všechny výroky, ze kterých vznikla spojením pomocí „a“, pravdivé. Jinak je to nepravdivý výrok.

Disjunkce několika logických výroků je jejich spojení pomocí „nebo“. Diskjunkce platí, pokud platí aspoň jeden z takto spojených výroků. K tomu, aby disjunkce neplatila, musí být všechny spojené výroky nepravdivé.

Implikace je logický výrok, který vyjadřuje, že z jednoho výroku (předpokladu) vyplývá druhý výrok (závěr).

Ekvivalence dvou logických výroků je tvrzení, že mají stejnou pravdivostní hodnotu. Ekvivalenci zapíšeme např. pomocí spojení „právě tehdy, když“ nebo o dvou výrocích řekneme, že „jsou ekvivalentní“.

Tautologie je výrok, který je vždy pravdivý. Někdy je to dáno jeho tvarem, např. pokud jde o disjunkci výroku a jeho negace (právě jeden z nich je určitě pravdivý), další tautologie je např. implikace s neplatným předpokladem.

Kontradikce je výrok, který je vždy nepravdivý.

Výroky

Výrok je sdělení, u kterého má smysl otázka, zda je pravdivý nebo nepravdivý, přičemž může nastat jen jedna z těchto možností.

Příklady výroků:

Město Brno leží v České republice. (pravdivý výrok)

Brno je hlavní město České republiky. (nepravdivý výrok)

Na Marsu je zakopán poklad. (výrok, jehož pravdivost neznáme)

Příklady vět, které nejsou výroky: Máš hlad? Běž do obchodu pro vajíčka.

Logické spojky

Tautologie a kontradikce

Tautologie je výroková formule, která je vždy pravdivá. Příklady:

• A \vee \neg A (zákon vyloučení třetího)
• (A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (\neg B \Rightarrow \neg A)

Kontradikce je výroková formule, která je vždy nepravdivá. Příkladem je formule A \wedge \neg A (zákon sporu).

Formule je splnitelná, pokud není kontradikcí.

Pravdivostní tabulka logických operací

Přepis implikace a ekvivalence

Negování složených výroků

Pravidla pro negaci disjunkce a konjunkce (2. a 3. řádek tabulky) se nazývají De Morganovy zákony.

Analogické zákony jako při počítání s čísly

Pro logické operace \wedge, \vee také platí komutativní (1. a 2. řádek následující tabulky), asociativní (3. a 4. řádek) a distributivní zákony (5. a 6. řádek):

Kvantifikátory

Příklady výroků s kvantifikátory

Vlastnost Číslo x je sudé. můžeme vyjádřit jako Existuje celé číslo k takové, že x = 2\cdot k. To můžeme zapsat jako \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2\cdot k.

Výrok Ponorky (P) nemohou létat (L). můžeme zapsat jako \forall x: P(x) \Rightarrow \neg L(x).

U složitějších výroků s více kvantifikátory musíme dávat na pořadí kvantifikátorů:

• \exists x\in M\ \forall y \in M: y \leq x – existuje prvek v množině M, který je větší roven všem ostatním prvkům v M, tj. výrok říká, že množina má největší prvek.
• \forall x\in M\ \exists y \in M: y \leq x – pro každý prvek v množině M existuje prvek y, který je menší nebo roven X. Protože klidně můžeme vybrat y=x, je to splněno pro každou množinu (pro pokročilé: za předpokladu, že uvažujeme množiny čísel a \leq jako běžné uspořádání na číslech).

Negace výroků s kvantifikátory

Při negování výroků s kvantifikátory měníme existenční kvantifikátor na obecný (a naopak) a posouváme negaci „dovnitř“.

Důkaz je formální způsob, jak doložit, že dané tvrzení je pravdivé.

Přímý důkaz je přímá cesta od pravdivých předpokladů k tvrzení, které máme dokázat. O nějakém tvrzení víme, že je pravdivé, z něj vyplývá další tvrzení atd. až z předposledního pomocného tvrzení vyplývá přímo to, co máme dokázat. A \Rightarrow B \Rightarrow \ldots \Rightarrow X

Nepřímý důkaz provádíme, když místo tvrzení ve tvaru implikace A \Rightarrow B dokazujeme k němu ekvivalentní tvrzení \neg B \Rightarrow \neg A (obměnu původního tvrzení).

Důkaz sporem probíhá takto: Předpokládáme, že zadané tvrzení neplatí a platí tedy jeho negace. Snažíme se odvodit z této negace nějaký nepravdivý nesmysl – tomu se říká dojít ke sporu. Pokud se nám to podaří, víme, že předpoklad byl nesprávný. Negace zadaného tvrzení neplatí, takže zadané tvrzení platí.

Důkaz matematickou indukcí používáme nejčastěji, když chceme nějaké tvrzení dokázat pro všechna přirozená čísla nebo pro všechna přirozená čísla větší nebo rovna nějakému n_0. Při důkazu matematickou indukcí postupujeme ve dvou krocích:

1. Báze indukce – ověříme platnost tvrzení pro nejmenší číslo, pro které má tvrzení platit.
2. Indukční krok – odvodíme, že z platnosti tvrzení pro n (indukčního předpokladu) vyplývá platnost tvrzení pro n+1 (tento krok může být někdy výhodné odvodit ve tvaru, kdy z platnosti tvrzení pro všechna čísla menší nebo rovna n odvodíme platnost tvrzení pro n+1).

Kombinatorika je obor matematiky, který se zabývá počítáním možností a uspořádáním prvků v různých situacích. Využívá se například k určení počtu různých kombinací při losování, sestavování týmů nebo určování pořadí.

• Kombinatorika: pojmy – základní pojmy a principy
• Základní kombinatorická pravidla – pravidlo součinu a součtu
• Permutace, kombinace, variace – různé způsoby uspořádání a výběru prvků, včetně jejich vzorců a příkladů
• Kombinační čísla – důkladnější procvičení klíčového pojmu v kombinatorice
• Výrazy s faktoriálem a kombinačními čísly – cílené procvičení výpočtů s faktoriály a kombinačními čísly, což je častý dílčí krok v kombinatorických výpočtech

K základním pojmům kombinatoriky patří permutace, variace a kombinace. Permutace n prvků je uspořádání všech n prvků, přičemž záleží na pořadí. Variaci a kombinace jsou výběry k prvků z těchto n prvků. Při variaci nám na pořadí těchto prvků záleží, při kombinaci ne. V základních případech prvky neopakujeme, každý prvek použijeme nejvýše jednou. Pokud můžeme některé prvky použít vícekrát, mluvíme o permutacích, variacích a kombinacích s opakováním.

Při řešení kombinatorických úloh často hledáme počet možností výběru nebo uspořádání. K tomu používáme mimo jiné faktoriály a kombinační čísla.

• Faktoriál čísla n je součin všech celých kladných čísel od jedné do n. Značíme ho n! a platí tedy: n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n. Faktoriál udává počet všech permutací n prvků. Speciálně 0!=1.
• Kombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Pro n\geq k\geq 0 platí: \binom nk = \frac{n!}{k!(n−k)!}

Při řešení kombinatorických úloh často určujeme počet různých možností, jak něco vybrat nebo sestavit. K tomu nám pomáhají dvě základní pravidla – pravidlo součtu a pravidlo součinu.

Pravidlo součtu

• Pokud vybíráme jednu možnost z několika navzájem se vylučujících skupin.
• Počty možností sečteme.

Pravidlo součinu

• Pokud výběr probíhá v několika krocích a kombinujeme možnosti z jednotlivých skupin.
• Počty možností vynásobíme.

Pojmy

• Permutace je uspořádání prvků do fixního pořadí.
• Kombinace (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny.
• Kombinace s opakováním (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
• Variace (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny.
• Variace s opakováním (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.

Příklady

Vzorce

Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:

Kombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Kombinační čísla se vyskytují velmi často v kombinatorických výpočtech, a proto mají speciální značení \binom{n}{k} (čteme „n nad k“).

Pro n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Pro kombinační čísla platí řada dalších vztahů, například:

• \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
• \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
• \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n

Příklady:

Pojem faktoriál používáme nejčastěji při řešení kombinatorických úloh. Faktoriál čísla n je součin všech celých kladných čísel od jedné do n. Platí tedy: n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Speciálně: 0!=1

Častou úpravou výrazů s faktoriály je částečný rozklad faktoriálu na součin několika hodnot a faktoriál menšího čísla.

Faktoriál také používáme pro definici kombinačního čísla. Pro n\geq k\geq 0 platí: \dbinom nk=\dfrac{n!}{k!(n−k)!}

Při úpravách výrazů s kombinačními čísly můžeme kromě faktoriálů použít některý z následujících vztahů:

• Je n možností, jak vybrat jeden z n prvků: \dbinom n1=n
• Je jedna možnost, jak vybrat 0 z n prvků, a také je jedna možnost, jak vybrat všech n z n prvků (pro n=0 to jsou dokonce stejná kombinační čísla): \dbinom nn=\dbinom n0=1 \dbinom 00=1
• Máme stejný počet možností, jak vybrat skupinku k prvků z n prvků, jako je počet možností, jak vybrat n-k prvků, které do skupinky nezařadíme: \dbinom nk=\dbinom n{n-k}
• Vybíráme-li k prvků z n+1, máme tolik možností, jako když sečteme počet možností výběru k a k-1 prvků z n prvků: \dbinom {n+1}k=\dbinom nk+\dbinom n{k-1}

Pravděpodobnost zkouší kvantifikovat, jaká je šance, že nějaký jev nastane. Často používá vyjádření v procentech jako například: Na 10 % bude dopoledne pršet.

Témata k procvičování:

• Pravděpodobnost: pojmy a značení – základní pravděpodobnostní pojmy jako náhodný jev, elementární jev, jistý jev
• Základní pravděpodobnost jevu – u výpočtů nejjednodušších pravděpodobností využijeme počítání se zlomky vyjadřujícími pravděpodobnost jako podíl počtu možností, kdy jev nastává, a počtu všech možností
• Opakované pokusy a složené jevy – navazuje na základní pravděpodobnost jevu, zabývá se příklady jako Jaká je pravděpodobnost, že třikrát po sobě padne na kostce šestka?

Náhodný jev je výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal. Jeho typickým rysem je, že může, ale nemusí nastat. Pravděpodobnost jevu je míra očekávání, že jev nastane. Pravděpodobnost je číslo mezi 0 a 1. V běžném jazyce vyjadřujeme často pravděpodobnost v procentech, což je stonásobek pravděpodobnosti používané v matematice.

Pojmy a značení

Příklad

• V pytlíku mám pět koulí, z toho dvě jsou červené, dvě modré a jedna žlutá. Koule jsou stejné až na barvu. Pokus spočívá v tom, že z pytlíku poslepu vytáhnu kouli.
• „Vytáhnu červenou kouli.“ je náhodný jev. Jde o jev elementární. Jeho pravděpodobnost je 0,4 (v běžné řeči bychom mohli říct 40 %).
• „Vytáhnu červenou nebo žlutou kouli.“ je složený jev. Jeho pravděpodobnost je 0,6.
• „Vytáhnu kouli.“ je jev jistý.
• „Vytáhnu zelenou kouli.“ je jev nemožný.

V náhodném pokusu, ve kterém jsou všechny jeho výsledky stejně možné, je pravděpodobnost jevu A rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu A a počtu všech výsledků.

Matematicky tento podíl zapíšeme: P(A)=\frac{m}{n}, kde m je počet všech výsledků příznivých jevu A a n je počet všech možných výsledků.

Vhodným postupem při řešení úloh z pravděpodobnosti je nejprve určení počtu všech možných výsledků (jmenovatel zlomku) a pak teprve určení počtu příznivých výsledků (čitatel zlomku).

Při řešení složitějších úloh nemůžeme využít jen základní pravděpodobnost. Taková složitější situace například v případě, kdy se jev, jehož pravděpodobnost chceme určit, skládá z několika jevů.

Pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů

• Pravděpodobnost sjednocení dvou neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. Tedy P(A\cup B)=P(A)+P(B).
• Pokud se jevy navzájem nevylučují, pak od jejich součtu ještě musíme odečíst pravděpodobnost jejich průniku. Tedy P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Oba tyto vztahy si můžeme znázornit i graficky.

Pravděpodobnost sjednocení používáme typicky v situacích, kdy chceme spočítat pravděpodobnost, že nastal jev A nebo jev B.

Pravděpodobnost navzájem nezávislých jevů

Nezávislé jevy jsou takové jevy, kdy skutečnost, že nastane jeden jev, nemá žádný vliv na to, zda nastane druhý jev. Například při opakovaném hodu kostkou nemá výsledek jednoho hodu vliv na výsledek dalších hodů.

Pro dva nezávislé jevy A, B platí: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Pravděpodobnost průniku nezávislých jevů používáme typicky v situacích, kdy chceme spočítat pravděpodobnost, že nastal jev A a zároveň nastal jev B.

Popisná statistika shrnuje a popisuje hlavní vlastnosti a charakteristiky daného souboru dat pomocí čísel a grafů. Na rozdíl od pokročilejší inferenční statistiky se nesnaží vyvozovat obecné závěry pro celou populaci, ale popisuje pouze konkrétní a již sesbíraná data.

Dílčí témata:

• Průměr a medián – základní míry takzvané centrální tendence (určení „typické“ hodnoty pro daná data)
• Průměr, medián a modus (použití) – praktické použití měr centrální tendence a volba té správné míry
• Kvantily a kvartily – hodnoty popisující rozložení datového vzorku
• Absolutní a relativní četnost – statistiky popisující opakované výskyty stejných hodnot
• Korelační koeficient – číselné vyjádření vztahu mezi dvěma veličinami
• Typy statistických dat – nominální, ordinální, intervalový a poměrový znak
• Popisná statistika: základní pojmy – průřezové procvičení znalosti pojmů popisné statistiky

Průměr a medián vyjadřují „typickou“ hodnotu proměnných z určitého vzorku, jsou to míry centrální (střední) tendence.

Průměr je součet hodnot vydělený jejich počtem. Přesněji řečeno jde o aritmetický průměr (existují i jiné druhy průměrů, např. harmonický či geometrický).

Medián je prostřední hodnota ze seřazené posloupnosti hodnot. Je definován jako hodnota větší nebo rovna polovině hodnot v souboru a menší nebo rovna polovině hodnot v souboru.

Pokud má soubor sudý počet prvků, většinou se za medián označuje průměr dvou prostředních hodnot.

Někdy máme soubor hodnot, které lze uspořádat podle velikosti, ale není možné vypočítat aritmetický průměr dvou hodnot.

Aritmetický průměr, medián a modus jsou charakteristiky polohy znaku. Používáme je k popisu typické hodnoty znaku.

Aritmetický průměr pro daný soubor se počítá jako podíl součtu hodnot znaku a rozsahu souboru.

• Aritmetický průměr lze spočítat pro intervalové a poměrové znaky.
• Nejlépe se hodí k popisu typické hodnoty znaku, který nabývá v daném souboru podobných hodnot bez příliš odlišných extrémů, které by aritmetický průměr vychýlily mimo typické hodnoty.

Příklad použití aritmetického průměru – soubor hodnot 122, 116, 120, 118 znaku „výška dítěte v cm“ má aritmetický průměr 119.

Medián dělí řadu vzestupně seřazených hodnot na dvě stejně početné poloviny.

• Pro lichý počet hodnot je medián prostřední prvek.
• Pro sudý počet hodnot může definici mediánu odpovídat více hodnot, někdy se v takovém případě bere jako medián aritmetický průměr dvou prostředních hodnot (samozřejmě jen pokud lze pro daný znak aritmetický průměr spočítat).
• Medián lze určit pro ordinální, intervalové a poměrové znaky.
• Na rozdíl od aritmetického průměru není ovlivněn extrémními hodnotami.

Příklad použití mediánu – soubor hodnot 1, 1000, 1002, 1003 znaku „hmotnost krokodýla v kg“ má medián 1001 (nebo jakékoli číslo od 1000 do 1002). Extrémní malá hodnota 1 způsobí, že aritmetický průměr je 751{,}5, což neodpovídá typické hodnotě „něco málo přes 1000 kg“.

Modus je hodnota znaku, která má v daném souboru největší relativní (i absolutní) četnost.

• Takových hodnot může být víc než jedna.
• Modus můžeme spočítat pro nominální, ordinální, intervalové a poměrové znaky.

Příklad použití – modus souboru hodnot 1, 1, 1, 1, 2, 2 znaku „počet hrbů velblouda“ je 1.

Kvantily jsou charakteristiky polohy statistického znaku podobně jako např. aritmetický průměr a medián. Kvantily lze určit pro ordinální, intervalové a poměrové typy dat.

Soubor n hodnot uspořádáme podle velikosti: x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_{n-1} \le x_n

Mějme číslo \theta mezi nulou a jedničkou. Kvantil Q_{\theta} je hodnota, která dělí uspořádanou posloupnost hodnot v souboru na dolní a horní část tak, že dolní část obsahuje alespoň \theta \cdot n hodnot a horní část alespoň (1-\theta)\cdot n hodnot.

x_1 \le \ldots \le x_c \le Q_{\theta} \le x_{c+1} \le \ldots \le x_n

• Je-li \theta \cdot n necelé číslo, a nejbližší větší celé číslo je k, volíme obvykle Q_{\theta}=x_k.
• Je-li \theta \cdot n=m celé číslo, volíme Q_{\theta} = \frac{x_{m}+x_{m+1}}{2} (pokud je možné tento aritmetický průměr spočítat – tedy pro intervalové a poměrové znaky).

Pro ordinální znaky nemusí být možné spočítat aritmetický průměr. Jako kvantil Q_{\theta} pak zvolíme některou hodnotu, která vhodně dělí uspořádanou posloupnost hodnot souboru.

p% kvantil Q_{\frac{p}{100}} se nazývá p. percentil.

Některé významné kvantily:

Mezikvartilové rozpětí je rozdíl horního a dolního kvartilu: Q_{0{,}75}-Q_{0{,}25} Mezikvartilové rozpětí (někdy označované jako IQR) lze spočítat pro intervalové a poměrové znaky.

Statistický soubor má rozsah n, pokud obsahuje právě n jednotek. Například statistickým souborem s rozsahem 10 může být skupinka 10 dětí. Jednotliví žáci a žákyně jsou pak jednotky statistického souboru.

Příklady statistických znaků, které nás mohou zajímat: jméno, výška, známka z angličtiny. Předpokládejme, že jména dětí z naší skupinky deseti žáků a žákyň jsou: Anna, Eva, Jan, Jan, Jan, Vanesa, Vanesa, Mirka, Tobiáš, Tomáš.

Znak jméno tedy v našem statistickém souboru nabývá sedmi různých hodnot – Anna, Eva, Jan, Vanesa, Mirka, Tobiáš, Tomáš. Některé děti se mohou jmenovat stejně.

Absolutní četnost hodnoty znaku v daném statistickém souboru je počet jednotek ze statistického souboru, které mají danou hodnotu znaku.

Například absolutní četnost hodnoty „Jan“ znaku jméno je 3, protože ve skupince jsou tři žáci jménem Jan. Absolutní četnost hodnoty „Eva“ znaku jméno je 1.

Relativní četnost hodnoty znaku v daném statistickém souboru vypočítáme jako podíl počtu jednotek s danou hodnotou znaku a počtu všech jednotek statistického souboru. Také se dá říci, že relativní četnost hodnoty znaku je podíl absolutní četnosti této hodnoty znaku a rozsahu n statistického souboru. Relativní četnost se zadává jako číslo v intervalu [0,1] nebo v procentech.

Například relativní četnost hodnoty „Vanesa“ znaku jméno je \frac{2}{10}=0{,}2, protože ve skupince celkem deseti dětí jsou dvě žákyně jménem Vanesa. Relativní četnost hodnoty „Vanesa“ znaku jméno můžeme zapsat také jako 20\ \%.

Součet absolutních četností všech hodnot jednoho znaku je roven rozsahu n daného statistického souboru.

Součet relativních četností všech hodnot jednoho znaku je 1 neboli 100\ \%.

Korelace je vztah mezi dvěma veličinami. Korelační koeficient je číslo, které vyjadřuje sílu tohoto vztahu.

Existuje více způsobů, jak korelaci měřit. Nejčastěji používaný je Pearsonův korelační koeficient. Ten se značí r a má následující vlastnosti:

• Nabývá hodnot z intervalu [-1, 1].
• Měří pouze lineární závislost mezi veličinami.
• Pokud je hodnota kladná, odpovídá zvětšení jedné veličiny zvětšení druhé.
• Pokud je hodnota záporná, odpovídá zvětšení jedné veličiny zmenšení druhé.
• Pokud je hodnota nulová, není mezi veličinami lineární závislost.
• Pokud je hodnota přesně 1 nebo -1, je mezi veličinami přesná lineární závislost.

Uvažujme statistický soubor zvířátek z Hrusic. Vezměme z něj tři jednotky na ukázku: kocourka Mikeše, kozla Bobeše a prasátko Pašíka. Budeme si u nich všímat různých typů znaků.

Nominální znak nabývá hodnot, u kterých můžeme testovat rovnost, tj. určit, jestli jsou stejné nebo různé. Například jméno, barva.

Ordinální znak nabývá hodnot, u kterých můžeme testovat rovnost a které navíc umíme porovnávat, tj. určit, která ze dvou různých hodnot je menší a která větší. Například známka z počtů, velikost oblečení (XS, S, M, L, XL), obliba brokolicové polívky („fuj“,„nic moc“,„mňam“).

Intervalový znak nabývá hodnot, u kterých můžeme testovat rovnost, porovnávat je a určit rozdíl dvou hodnot, tj. stejný interval mezi jednou a druhou dvojicí hodnot vyjadřuje i stejný rozdíl v intenzitě zkoumané vlastnosti. Například teplota ve stupních Celsia, rok narození.

Poměrový znak nabývá hodnot, u kterých můžeme testovat rovnost, porovnávat je, určit rozdíl dvou hodnot a určit poměr dvou hodnot, tj. spočítat jejich podíl, který smysluplně vyjadřuje kolikrát je jedna hodnota větší než druhá. Například teplota ve stupních Kelvina, hmotnost. Teplota ve stupních Celsia může jít i do záporných čísel a těleso o teplotě 10 °C nemá dvakrát větší kinetickou energii částic než těleso o teplotě 5 °C, takže teplota ve stupních Celsia není poměrový znak.

Alternativní znak je pojem mimo tuto hierarchii, znamená to, že znak nabývá pouze dvou hodnot. Například zdravý – nemocný, má boty – nemá boty.