Množiny: pojmy a značení | Více  Množiny: pojmy a značeníMnožina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tady všechny stejné:
- \{\square, \bigcirc, \triangle\}
- \{\bigcirc, \triangle, \square\}
- \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}
\emptyset |
prázdná množina |
|
\overline{A} |
doplněk |
prvky, které nepatří do množiny A |
x \in A |
patří do množiny |
prvky x patří do množiny A |
A \cap B |
průnik |
prvky, které patří do obou množin A, B |
A \cup B |
sjednocení |
prvky, které patří alespoň do jedné z množin A, B |
A \setminus B |
rozdíl |
prvky, které patří do množiny A, ale nepatří do B |
A = B |
rovnost |
rovnost množin A, B |
A \subseteq B |
podmnožina |
všechny prvky množiny A patří i do množiny B |
A \subset B |
vlastní podmnožina |
A je podmnožina B a současně A \neq B |
|A| |
velikost množiny |
počet prvků množiny |
A \cap B = \emptyset |
disjunktní množiny |
množiny A, B nemají žádný společný prvek |
| Zápis množin | Více  Zápis množinDůležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:
\mathbb{N} |
množina přirozených čísel |
\mathbb{Z} |
množina celých čísel |
\mathbb{Q} |
množina racionálních čísel |
\mathbb{R} |
množina reálných čísel |
Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby:
Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9.
Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina přirozených čísel menších než 10.
| Množinové operace | Více  Množinové operace
A \cap B |
průnik |
prvky, které patří do obou množin A, B |
A \cup B |
sjednocení |
prvky, které patří alespoň do jedné z množin A, B |
A \setminus B |
rozdíl |
prvky, které patří do množiny A, ale nepatří do B |
A \ominus B |
symetrický rozdíl |
prvky, které patří právě do jedné z množinA a B |
Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů:
| Vlastnosti množin a množinových operací | Více  Vlastnosti množin a množinových operací
- Každá množina je svou podmnožinou: A\subseteq A.
- Množina nemůže být svou vlastní podmnožinou.
- Prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny: \emptyset \subseteq A.
- Prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.
- A \subseteq A \cup B
- A \cap B \subseteq A
- A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
| Vennovy diagramy | Více  Vennovy diagramyVennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají).
Typický Vennův diagram pro tři množiny:
Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary):
Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C):
| Množiny množin, potenční množina | Více  Množiny množin, potenční množinaMnožina prvkem množiny
Prvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást.
Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:
- „obyčejný“ prvek a
- čtyřprvkovou množinu \{b, c, d, e\}
- prázdnou množinu \emptyset
Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:
- \emptyset (též můžeme psát \{\}) je prázdná množina, její velikost je 0,
- \{\emptyset\} je množina obsahující prázdnou množinu, její velikost je 1.
Potenční množina
Potenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M).
Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:
- \{\}
- \{a\}
- \{b\}
- \{c\}
- \{a, b\}
- \{a, c\}
- \{b, c\}
- \{a, b, c\}
Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.
Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu.
| Množiny: mix | | | | | | | |