Množiny

Množina je soubor prvků. Množiny využíváme jako dílčí prvek v mnoha oblastech matematiky. Příklad z geometrie: kružnice je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od středu. Množiny mají i mnoho praktických využití. Například při vývoji internetového obchodu program pracuje s množinou dostupných výrobků. Množiny jsou také důležité pro studium základů matematiky. Pomáhají nám například ujasnit si, co je to nekonečno.

Pro práci s množinami potřebujeme nejdříve ovládnout základní pojmy a značení a podívat se na různé způsoby, jak můžeme množiny zapsat (výčtem, charakteristickou vlastností, standardním značením).

S množinami můžeme provádět množinové operace jako je sjednocení a průnik. Tyto operace je vhodné si nejdříve procvičit na konkrétních příkladech. Když máme jasno v jednotlivých případech, přichází na řadu obecné vlastnosti množin a množinových operací. Pro získání vhledu a intuice se hodí zakreslovat si množiny pomocí Vennových diagramů.

Mezi pokročilejší témata patří množiny množin a potenční množina.

Množina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tady všechny stejné:

• \{\square, \bigcirc, \triangle\}
• \{\bigcirc, \triangle, \square\}
• \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}

Důležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:

Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby:

Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je trojprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9.

Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 10\} je množina přirozených čísel menších než 10.

Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů:

• Každá množina je svou podmnožinou: A\subseteq A.
• Množina nemůže být svou vlastní podmnožinou.
• Prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny: \emptyset \subseteq A.
• Prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.
• A \subseteq A \cup B
• A \cap B \subseteq A
• A \subseteq A \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B

Vennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají).

Typický Vennův diagram pro tři množiny:

Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary):

Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C):

Množina prvkem množiny

Prvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást.

Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:

• „obyčejný“ prvek a
• čtyřprvkovou množinu \{b, c, d, e\}
• prázdnou množinu \emptyset

Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:

• \emptyset (též můžeme psát \{\}) je prázdná množina, její velikost je 0,
• \{\emptyset\} je množina obsahující prázdnou množinu, její velikost je 1.

Potenční množina

Potenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M).

Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu.