Množiny

Množina je soubor prvků. Množiny využíváme jako dílčí prvek v mnoha oblastech matematiky. Příklad z geometrie: kružnice je množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od středu. Množiny mají i mnoho praktických využití. Například při vývoji internetového obchodu program pracuje s množinou dostupných výrobků. Množiny jsou také důležité pro studium základů matematiky. Pomáhají nám například ujasnit si, co je to nekonečno.

K procvičování množin máme následující podtémata:

• Pojmy a značení – prázdná množina (\emptyset), průnik (A \cap B), podmnožina (A \subseteq B)…
• Zápis množin – zápis výčtem, zápis charakteristickou vlastností, standardní značky (\mathbb{N}, \mathbb{R})
• Množinové operace – průnik, sjednocení, rozdíl, symetrický rozdíl, aplikace na konkrétní příklady množin
• Vlastnosti množin a množinových operací – podmnožiny, množinové operace, jejich vzájemné vztahy, zápis obecných vlastností pomocí matematické notace
• Vennovy diagramy – grafické znázornění množin, jejich vztahů a operací s nimi
• Množiny množin, potenční množina – pokročilejší téma, kdy uvažujeme množiny, které mohou obsahovat jako svoje prvky jiné množiny

Množina je soubor prvků. U množiny není důležité pořadí prvků a nezohledňuje opakované výskyty prvků. Následující množiny jsou tedy všechny stejné:

• \{\square, \bigcirc, \triangle\}
• \{\bigcirc, \triangle, \square\}
• \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}

Důležité číselné množiny mají v matematice svoje standardní označení:

Ostatní množiny zapisujeme dvěma hlavními způsoby:

Zápis výčtem. Prostě vyjmenujeme prvky množiny a zapíšeme je pomocí složené závorky. Například M = \{3, 7, 9\} je tříprvková množina obsahující čísla 3, 7 a 9.

Zápis pomocí charakteristické vlastnosti. Určíme, ze které množiny prvky vybíráme a jakou musí splňovat vlastnost. Například M = \{x \in \mathbb{N} \mid x \lt 10\} je množina přirozených čísel menších než 10.

Znázornění množinových operací pomocí Vennových diagramů:

Interval je množina reálných čísel, které leží mezi dvěma danými čísly a, b, tato čísla nazýváme krajní body nebo také meze intervalu. Na číselné ose intervaly značíme jako úsečky, případně polopřímky (pokud některý z krajních bodů je \infty nebo -\infty). Pokud krajní bod do intervalu patří, znázorníme ho plným kolečkem, pokud krajní bod do intervalu nepatří, znázorníme ho prázdným kolečkem. Podle toho, zda krajní body do intervalu patří nebo nepatří, rozlišujeme tyto druhy intervalů:

• uzavřený interval – krajní body a, b do intervalu patří, značíme \langle a;b \rangle
  
• otevřený interval – krajní body a, b do intervalu nepatří, značíme ( a;b)
  
• interval zleva uzavřený a zprava otevřený- krajní bod a do intervalu patří a krajní bod b do intervalu nepatří, značíme \langle a;b)
• interval zprava uzavřený a zleva otevřený – krajní bod a do intervalu nepatří a krajní bod b do intervalu patří, značíme (a;b\rangle Příklady intervalů, kde je krajní bod \infty nebo -\infty:

Intervaly používáme například pro zápis řešení nerovnic.

Operace s intervaly

• sjednocení intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží aspoň v jednom z daných intervalů, značíme A \cup B
  Příklad (0;3\rangle \cup (0;5\rangle

  
• průnik intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží v obou z daných intervalů, značíme A \cup B
  Příklad (0;3\rangle \cap (1;5\rangle

  
• rozdíl intervalů A, B je množina reálných čísel, které leží v intervalu A a neleží v intervalu B, značíme A \setminus B
  Příklad (1;5\rangle \setminus (0;3\rangle

  
• doplněk intervalu A v množině všech reálných čísel je množina reálných čísel, které neleží v intervalu A
  Příklad \mathbb{R} \setminus (1;3\rangle

  

• Každá množina je svou podmnožinou: A\subseteq A

• Množina nemůže být svou vlastní podmnožinou: A\not\subset A

• Prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny: \emptyset \subseteq A
• Prázdná množina nemá žádnou vlastní podmnožinu.
• A \subseteq A \cup B
• A \cap B \subseteq A
• A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B

Vennův diagram znázorňuje všechny možné vztahy několika množin. Vennův diagram znázorňuje prvky množin jako body v rovině a množiny jako plochy uvnitř křivek. Nejčastěji používané jsou Vennovy diagramy pro dvě a tři množiny, ve kterých jsou množiny znázorněny pomocí kruhů. Je možné ztvárnit Vennovy diagramy i pro více množin, ale k tomu již nevystačíme s kruhy (tyto diagramy nejsou přehledné a tudíž se příliš nevyužívají).

Typický Vennův diagram pro tři množiny:

Příklad s konkrétními prvky (množina A obsahuje červené útvary, množina B obsahuje kolečka, množina C obsahuje vyplněné útvary):

Vennovy diagramy využíváme například pro názornou ilustraci množinových operací. Následující obrázek ilustruje B \cap (A \cup C):

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Vennovy diagramy řešení 🔒

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

Množina prvkem množiny

Prvkem množiny může být i jiná množina. S takovým prvkem pracujeme stejně jako s jinými prvky, jen se nesmíme nechat zmást.

Příklad: Množina M = \{a, \{b, c, d, e\}, \emptyset\} obsahuje tři prvky:

• „obyčejný“ prvek a
• čtyřprvkovou množinu \{b, c, d, e\}
• prázdnou množinu \emptyset

Pozor na rozdíl mezi prázdnou množinou a množinou obsahující prázdnou množinu:

• \emptyset (též můžeme psát \{\}) je prázdná množina, její velikost je 0,
• \{\emptyset\} je množina obsahující prázdnou množinu, její velikost je 1.

Potenční množina

Potenční množina množiny M obsahuje všechny podmnožiny množiny M. Potenční množinu značíme \mathcal{P}(M) (existují i další značení, například 2^M).

Příklad: Pro množinu M = \{a, b, c\} jsou všechny její podmnožiny:

• \{\}
• \{a\}
• \{b\}
• \{c\}
• \{a, b\}
• \{a, c\}
• \{b, c\}
• \{a, b, c\}

Potenční množina je množina všech těchto množin, tj. \mathcal{P}(M)=\{\{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\}\}.

Potenční množina množiny M vždy obsahuje jako svůj prvek samotnou množinu M. Každá potenční množina také obsahuje jako svůj prvek prázdnou množinu.