Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Umíme fakta
Aritmetika
Zlomky, procenta
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Permutace, kombinace, variace
Krátká adresa: umime.to/F1W
Nadřazené: Kombinatorika
Předcházející: Kombinatorika: pojmy
Cvičení
Slovní úlohy
- Permutace je uspořádání prvků do fixního pořadí.
- Kombinace (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny.
- Kombinace s opakováním (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
- Variace (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny.
- Variace s opakováním (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
Příklady:
| permutace | \{A, B, C\} | ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA |
| kombinace | \{A, B, C, D\}; k=2 | AB, AC, AD, BC, BD, CD |
| kombinace s opakováním | \{A, B, C, D\}; k=2 | AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD |
| variace | \{A, B, C, D\}; k=2 | AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC |
| variace s opakováním | \{A, B, C\}; k=2 | AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC |
Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:
| počet všech permutací n prvků | n! |
| počet všech k prvkových kombinací z n prvků | \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} |
| počet všech k prvkových kombinací s opakováním z n prvků | \binom{n + k - 1}{k} |
| počet všech k prvkových variací z n prvků | \frac{n!}{(n-k)!} |
| počet všech k prvkových variací s opakováním z n prvků | n^k |
Vysvětlení mi pomohlo Vysvětlení mi nepomohlo
Slovní úlohy
Klasické procvičování slovních úloh, s pestrou nabídkou zadání a vysvětlujícími texty.
středníKombinace bez opakování (střední)
Typicky zabere: 11 min
Ukázka
Na běžecké trati běží 8 závodníků. Do finále postupují první tři. Kolik je možností na postupující trojici?
Na basketbal chodí 8 chlapců. Trenér potřebuje vybrat 5 z nich do družstva. Kolik má možností?
Potkají se tři čuníci, na uvítanou si plácnou kopýtkem každý s každým. Jaký bude celkový počet plácnutí?
středníKombinace s opakováním (střední)
Typicky zabere: 11 min
Ukázka
Matějova maminka upekla 3 druhy koláčů - makové, ořechové, tvarohové. Od každého 5 kusů. Určete, kolika způsoby si Matěj může vybrat 4 koláče.
Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy. K dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné?
Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty teček na jednotlivých šestibokých kostkách při vrhu třemi kostkami?
středníPermutace a variace bez opakování (střední)
Typicky zabere: 12 min
Ukázka
Fiona se rozhodla sportovat tři dny v týdnu, každý den jiný sport. Na výběr má lukostřelbu, šerm, jízdu na koni a moderní tanec. Kolik různých možností výběru Fiona má?
Určete počet všech tříciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují pouze číslice 0, 3, 5, 7 a 9 a zároveň jsou dělitelné pěti. Každá číslice se vyskytuje maximálně jedenkrát.
Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují pouze číslice 1, 2, 3, 4 a 5. Každá číslice se vyskytuje maximálně jedenkrát.
středníPermutace a variace s opakováním (střední)
Typicky zabere: 12 min
Ukázka
Malý princ si koupil nový kufřík na heslový zámek. Jsou na něm tři kotouče s devíti číslicemi. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chce-li Malý princ kufřík otevřít a přitom zapomněl heslo.
Určete počet všech tříciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se vyskytují pouze číslice 6, 7, 8 a 9.
Určete počet všech přesmyček, které lze získat z písmen slova ROKOKO.
