Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Permutace, kombinace, variace
Pojmy
- Permutace je uspořádání prvků do fixního pořadí.
- Kombinace (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny.
- Kombinace s opakováním (k prvková) je výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
- Variace (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny.
- Variace s opakováním (k prvková) je uspořádaný výběr k prvků ze zadané množiny, přičemž prvky se mohou opakovat.
Příklady
| permutace | \{A, B, C\} | ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA |
| kombinace | \{A, B, C, D\}; k=2 | AB, AC, AD, BC, BD, CD |
| kombinace s opakováním | \{A, B, C, D\}; k=2 | AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD |
| variace | \{A, B, C, D\}; k=2 | AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC |
| variace s opakováním | \{A, B, C\}; k=2 | AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC |
Vzorce
Počty permutací, kombinací a variací udává následující tabulka:
| počet všech permutací n prvků | n! |
| počet všech k prvkových kombinací z n prvků | \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!} |
| počet všech k prvkových kombinací s opakováním z n prvků | \binom{n + k - 1}{k} |
| počet všech k prvkových variací z n prvků | \frac{n!}{(n-k)!} |
| počet všech k prvkových variací s opakováním z n prvků | n^k |
Komiks pro zpestření
Kombinační čísla
Kombinační číslo udává počet kombinací, tj. způsobů, jak vybrat k prvků z n prvkové množiny. Kombinační čísla se vyskytují velmi často v kombinatorických výpočtech, a proto mají speciální značení \binom{n}{k} (čteme „n nad k“).
Pro n \geq k \geq 0 platí: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Pro kombinační čísla platí řada dalších vztahů, například:
- \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
- \binom{n+1}{k} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k-1}
- \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n
Příklady:
| \binom{3}{1} | = 3 |
| \binom{4}{2} | = 6 |
| \binom{5}{3} | = 10 |
| \binom{6}{2} | = 15 |
| \binom{15}{15} | = 1 |
