Rovinné útvary

Rovinné útvary jsou množiny bodů v rovině, tedy jde o dvourozměrné útvary. Nejznámější rovinné útvary jsou například čtverec, obdélník, trojúhelník, kružnice, kruh, rovnoběžník, lichoběžník, pravidelný nebo nepravidelný mnohoúhelník.

U některých rovinných útvarů umíme jednoduše spočítat jejich obvod a obsah.

Trojúhelník je základní geometrický útvar, který má tři vrcholy a tři strany. Trojúhelníky hrají v geometrii klíčovou roli, protože mnoho problémů lze řešit tak, že složitější obrazce rozdělíme na trojúhelníky a následně pracujeme s nimi.

Značení stran a úhlů v trojúhelníku:

Proti vrcholu A je strana a, proti vrcholu B je strana b a proti vrcholu C je strana c.

Výšky příslušné stranám v trojúhelníku:

Výška v_a je vzdálenost bodu A od přímky, na které leží strana a. Tedy je to vzdálenost bodu A od paty kolmice na přímku BC vedené bodem A. Tato pata kolmice může a nemusí ležet přímo na straně a.

Témata související s trojúhelníkem:

• Pojmy související s trojúhelníkem – rovnoramenný, rovnostranný, výška, tečna, kružnice opsaná
• Obvod trojúhelníku, Obsah trojúhelníku – výpočty na základě zadaných údajů o trojúhelníku
• Úhly v trojúhelníku – součet úhlů, výpočty úhlů
• Konstrukční úlohy s trojúhelníky – narýsování trojúhelníku na základě zadaných údajů, např. za využití vět sss, sus, usu
• Pythagorova věta, Euklidovy věty, Goniometrické funkce – témata související s pravoúhlými trojúhelníky

Obsah trojúhelníku spočítáme jako součin délky libovolné strany trojúhelníka a výšky příslušné k této straně, takže: S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot v_a = \frac12 \cdot b \cdot v_b = \frac12 \cdot c \cdot v_c

Což si můžeme představit jako polovinu obsahu obdélníku, ve kterém je náš trojúhelník takto vepsán:

Obvod trojúhelníku spočítáme jako součet délek jeho stran: o=a+b+c

Obsah trojúhelníku je polovina součinu délky jedné strany a velikosti výšky příslušné k této straně. Vybereme vhodnou dvojici strana a výška a jejich velikosti určíme přímo jako délky úseček na mřížce, pak už můžeme spočítat obsah.

Obvod trojúhelníku je součet délek jeho stran. Délku strany trojúhelníku určíme přímo jako délku úsečky na mřížce nebo se podíváme, jak velký oblouk jsme použili ke konstrukci této strany. Na obrázku je trojúhelník s délkami stran 6 a 2 a 5, tedy jeho obvod je 13.

Pythagorova věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlého trojúhelníku: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma jeho odvěsnami.

Pythagorovu větu můžeme zapsat vztahem c^2 = a^2 + b^2, kde c označuje délku přepony pravoúhlého trojúhelníka a délky odvěsen jsou a, b. Platí i opačný směr: Pokud má trojúhelník strany délek a, b, c, které splňují rovnost c^2 = a^2 + b^2, pak musí jít o pravoúhlý trojúhelník s přeponou c.

Následující obrázek znázorňuje graficky znění věty a také „obrázkový důkaz“ této věty:

Procvičování Pythagorovy věty máme rozdělené do dvou podtémat:

• Základní použití – základní aplikace vzorce a^2+b^2=c^2, výpočty délky strany pravoúhlého trojúhelníku při znalosti zbylých dvou stran
• Aplikace – využití Pythagorovy věty v různých geometrických případech (např. výška trojúhelníku, uhlopříčka kvádru) a slovních úlohách

Pythagorova věta umožňuje dopočítat délku třetí strany pravoúhlého trojúhelníka, u kterého známe délky dvou zbývajících stran:

• Délka přepony c = \sqrt{a^2 + b^2}. Pokud má pravoúhlý trojúhelník odvěsny délky 3 metry a 6 metrů, přepona má délku \sqrt{3^2+6^2} = \sqrt{9+36} = \sqrt{45} \doteq 6{,}41 metrů.

• Délka odvěsny a = \sqrt{c^2-b^2}. Pokud má trojúhelník přeponu délky 8 metrů a jedna z odvěsen má délku 4 metry, druhá odvěsna má délku \sqrt{8^2-4^2} = \sqrt{64-16} = \sqrt{48} \doteq 6{,}93 metrů.

Pythagorejské trojice jsou trojice celých čísel, které splňují a^2+b^2=c^2, tj. trojúhelník s příslušnými délkami stran je pravoúhlý. Typickým příkladem Pythagorejské trojice je (3, 4, 5): 3^2 + 4^2 = 9+16 = 25 = 5^2.

Další příklady Pythagorejských trojic: (5, 12, 13); (8, 15, 17); (7, 24, 25); (20, 21, 29); (9, 40, 41). Mezi Pythagorejské trojice patří také všechny násobky těchto trojic, např. (6, 8, 10); (9, 12, 15); (10, 24, 26). Pokud si zapamatujeme některé základní Pythagorejské trojice, především nejjednodušší trojici (3, 4, 5), tak nám to může usnadnit výpočty.

Pracovní list

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a počítání na papíře:

Pythagorova věta: základ řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Pythagorova věta má v geometrii velice široké využití, protože mnoho složitějších útvarů můžeme rozložit na pravoúhlé trojúhelníky.

Typickým příkladem aplikace Pythagorovy věty je výpočet délky uhlopříčky čtverce nebo výšky rovnostranného trojúhelníku:

Ve čtverci o straně a tvoří uhlopříčka přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky a. Pro délku uhlopříčky u tedy platí u^2 = a^2 + a^2. Po úpravách: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Například čtverec o straně 10 cm tedy má uhlopříčku délky 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 cm.

V rovnostranném trojúhelníku o straně a tvoří výška odvěsnu pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky a a odvěsnou délky \frac{a}{2}. Pro délku výšky v tedy platí v^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po úpravách dostáváme v^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, v = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Například v rovnostranném trojúhelníku o straně 5 metrů má tedy výška délku \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 metru.

Euklidovy věty jsou dvě tvrzení o vlastnostech pravoúhlého trojúhelníku.

Euklidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony:

v_c^2 = c_a\cdot c_b

Euklidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlého.

• a^2 = c\cdot c_a
• b^2 = c\cdot c_b

Pozn. Přesné definice rovnoramenného trojúhelníku se liší: někteří autoři vyžadují „alespoň“ dvě strany shodné, jiní „právě“ dvě strany shodné. Rozdíl je v tom, zda rovnostranné trojúhelníky považujeme za rovnoramenné.

Při výpočtu velikosti neznámého úhlu v trojúhelníku využíváme základní vlastnosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.

Speciální případy:

• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 60°.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou oba úhly u základny stejné.
• V pravoúhlém trojúhelníku je velikost jednoho úhlu 90°, součet velikostí zbývajících dvou úhlů je také 90°.

Při výpočtu lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Trojúhelníky jsou základní geometrické útvary, s jejichž pomocí často konstruujeme i složitější obrazce. Postup konstrukce trojúhelníku se liší podle toho, jaké informace o trojúhelníku máme:

• Konstrukce trojúhelníků: známé délky stran – základní, nejjednodušší případ
• Konstrukce trojúhelníků: rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky – speciální případy trojúhelníků, při jejichž konstrukci využíváme jejich vlastnosti
• Konstrukce trojúhelníků: věty sss, sus, usu, Ssu – konstrukce na základě znalosti délek stran a velikostí úhlů, využití vět o určenosti trojúhelníků
• Konstrukce trojúhelníků: těžnice, výšky, vepsaná a opsaná kružnice – složitější případy za využití dalších pojmů souvisejících s trojúhelníkem

Nejjednodušší konstrukce trojúhelníku jsou takové, kde známe délky všech tří stran.

Trojúhelníková nerovnost

Nesmíme zapomínat, že platí tzv. trojúhelníková nerovnost, tedy že součet dvou stran je větší než třetí strana. Jednoduše řečeno, jedině pokud je součet dvou nejkratších stran větší než třetí strana, trojúhelník lze sestrojit.

Značení

Při konstrukci trojúhelníků můžeme každou stranu označit dvěma způsoby:

• přímo – strana a
• pomocí vrcholů – strana BC

Při konstrukcích také můžeme zaměňovat označení strany a její délky. Můžeme psát a=|BC|. Je třeba myslet i na pravidlo, že strana je pojmenovaná podle protějšího vrcholu.

Postup

Při konstrukcích trojúhelníků, u kterých známe tři strany, postupujeme tak, že sestrojíme jako první libovolnou stranu, na obrázku například AB. K nalezení posledního vrcholu C použijeme dvě kružnice nebo jejich části. Výsledkem konstrukce jsou dva shodné (stejné) trojúhelníky, proto stačí sestrojit jen jeden.

Pracovní list

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce trojúhelníků: známé délky stran řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Při konstrukci rovnoramenného trojúhelníku využíváme jeho základní vlastnosti:

• Má dvě strany (ramena) shodné. Vrchol proti základně tedy leží na ose základny.
• Shodné (stejně velké) jsou i vnitřní úhly při základně.
• Výška kolmá na základnu leží na ose základny a dělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.

Rovnostranný trojúhelník můžeme chápat jako speciální případ rovnoramenného trojúhelníka. Má všechny strany stejně dlouhé a velikost všech jeho vnitřních úhlů je 60°.

Pracovní list

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce rovnostranných a rovnoramenných …

Konstrukce rovnostranných a rovnoramenných trojúhelníků

řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Při složitějších příkladech využíváme věty o určenosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):

• Věta sss – v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
• Věta sus – v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
• Věta usu – v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhlů k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
• Věta Ssu – známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).

Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.

Pracovní list

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce trojúhelníků podle vět řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Při řešení složitějších příkladů použijeme další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, střední příčka, kružnice opsaná či vepsaná.

Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje každou těžnici v poměru 2 : 1. Delší část těžnice je úsečka mezi vrcholem a těžištěm.

Střední příčka trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy dvou stran v trojúhelníku. Je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině délky této strany.

Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran. To znamená, že střed kružnice opsané je stejně vzdálen od všech vrcholů trojúhelníku.

Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. To znamená, že střed kružnice vepsané je stejně vzdálen od všech tří přímek, na kterých leží strany trojúhelníku.

Pracovní listy

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení jsou k dispozici také pracovní listy k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce trojúhelníků: těžnice, výšky řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Konstrukce trojúhelníků: vepsaná a opsaná kružnice řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Obdélník patří mezi čtyřúhelníky. Je to rovnoběžník, který má všechny vnitřní úhly pravé.

Čtverec je zvláštní případ obdélníku, který má všechny strany stejně dlouhé.

Konstrukce obdélníků

Při řešení konstrukčních úloh s obdélníky využíváme jejich následující vlastnosti:

• Všechny vnitřní úhly obdélníku jsou pravé, sousední strany jsou tedy na sebe kolmé.
• Protější strany jsou rovnoběžné.
• Všechny strany nemusí být stejně dlouhé. Stejně dlouhé jsou vždy dvě protější strany.
• Úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé a navzájem se půlí.
• Každému obdélníku lze opsat kružnici. Nazýváme ji kružnice opsaná, prochází vrcholy obdélníku a má střed v průsečíku úhlopříček.

Konstrukce čtverců

Čtverec můžeme považovat za zvláštní případ obdélníku (nebo rovnostranného rovnoběžníku). Stejně jako obdélník má všechny vnitřní úhly pravé, sousední strany jsou na sebe kolmé a protější strany čtverce jsou rovnoběžné. Úhlopříčky čtverce se protínají v bodě, který nazýváme střed čtverce. Čtverce mají všechny pěkné vlastnosti obdélníků a ještě některé speciální navíc:

• Všechny strany čtverce jsou stejně dlouhé.
• Úhlopříčky čtverce jsou stejně dlouhé, jsou na sebe kolmé, procházejí středem čtverce a navzájem se půlí.
• Každému čtverci lze opsat kružnici. Nazýváme ji kružnice opsaná, prochází vrcholy čtverce a má střed ve středu čtverce.
• Každému čtverci lze také vepsat kružnici. Nazýváme ji kružnice vepsaná, dotýká se stran čtverce a má střed ve středu čtverce.

Pracovní listy

Kromě interaktivního procvičování níže jsou k dispozici ještě pracovní listy k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce čtverce a obdélníku (pro 4. ročník) řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Konstrukce čtyřúhelníků: čtverce a obdélníky řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Obsah čtverce určíme tak, že vynásobíme délku jeho strany samu sebou (je to druhá mocnina délky strany). Obsah obdélníku je roven součinu délek jeho dvou sousedních stran (jedné delší a jedné kratší). Délky stran čtverců a obdélníků určíme jednoduše jako délky úseček na mřížce.

Obvod čtverce o straně délky a je o=a+ a+a+a= 4a.

Obvod obdélníku se stranami o délkách a,b je roven o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obsah čtverce o straně délky a je S=a\cdot a=a^2.

Obsah obdélníku se stranami o délkách a,b je roven S=a\cdot b.

Obvod je u čtverce i obdélníku součet délek jeho stran. Čtverec má všechny strany stejně dlouhé, takže jeho obvod je čtyřnásobek délky jedné strany. Obdélník má protější strany stejně dlouhé, takže jeho obvod je dvojnásobek součtu délky kratší a delší strany. Délky stran čtverců a obdélníků určíme jednoduše jako délky úseček na mřížce.

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné. Dříve se označoval také jako kosodélník.

Speciální případy rovnoběžníku:

• Kosočtverec má všechny strany stejně dlouhé.
• Obdélník má vnitřní úhly pravé.
• Čtverec má vnitřní úhly pravé a všechny strany stejně dlouhé.

Konstrukce rovnoběžníků

Rovnoběžník je speciální případ čtyřúhelníku, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné. Při řešení konstrukčních úloh využíváme následující vlastnosti rovnoběžníků:

• Protější strany jsou rovnoběžné.
• Všechny strany nemusí být stejně dlouhé. Stejně dlouhé jsou vždy dvě protější strany.
• Úhlopříčky rovnoběžníku se navzájem půlí a protínají se ve středu rovnoběžníku. Úhlopříčky mohou být různě dlouhé.
• Každé dva protější úhly jsou stejné.
• Součet vnitřních úhlů u jedné strany je 180°.

Při konstrukci rovnoběžníku potřebujeme znát tři údaje, ze kterých jsme často schopni sestrojit některý trojúhelník určený podle vět s vrcholy ve trojici vrcholů rovnoběžníku. Zbývající vrchol rovnoběžníku pak najdeme pomocí rovnoběžek nebo shodnosti protějších stran.

Konstrukce kosočtverců

Kosočtverec je speciální případ rovnoběžníku. Má všechny strany stejně dlouhé. Proti obecnému rovnoběžníku mají jeho úhlopříčky navíc dvě speciální vlastnosti – jsou na sebe kolmé a půlí vnitřní úhly. Kosočtverci lze (stejně jako čtverci) vepsat kružnici.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování níže je k dispozici ještě pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce čtyřúhelníků: rovnoběžníky a …

Konstrukce čtyřúhelníků: rovnoběžníky a lichoběžníky

řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Obvod rovnoběžníku se stranami o délkách a,b je roven S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obsah rovnoběžníku je roven součinu délky strany a k ní příslušné výšky. Tedy obsah rovnoběžníku ABCD, ve kterém ke straně o délce a přísluší výška v_a spočítáme jako S= a\cdot v_a.

Pokud známe u rovnoběžníku délku jedné strany a velikost výšky rovnoběžníku příslušné k této straně, můžeme už spočítat obsah rovnoběžníku jako jejich součin. Velikost strany a výšky určíme přímo jako délky úseček na mřížce.

Lichoběžník je čtyřúhelník, jehož dvě protější strany jsou rovnoběžné (říkáme jim základny) a zbývající dvě protější strany jsou různoběžné.

Pravoúhlý lichoběžník má dva z vnitřních úhlů pravé (základny lichoběžníku jsou rovnoběžné, je‑li jeden vnitřní úhel pravý, musí být jeho doplněk do 180° u druhé základny také pravý).

Rovnoramenný lichoběžník má ramena stejné délky.

Konstrukce lichoběžníků

Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě rovnoběžné strany – ty se nazývají základny a dvě různoběžné strany – ramena. Vzdálenost základen se nazývá výška. Při konstrukcích budeme využívat následující vlastnosti:

• Základny jsou rovnoběžné.
• Úsečka spojující středy ramen se nazývá střední příčka a je rovnoběžná se základnami.
• Součet vnitřních úhlů u každého ramene je 180°.

Při konstrukci lichoběžníku potřebujeme znát čtyři údaje, ze kterých často dokážeme sestrojit trojúhelník určený podle vět s vrcholy ve třech vrcholech lichoběžníku. Zbývající vrchol lichoběžníku pak najdeme pomocí posledního údaje a rovnoběžnosti základen.

Konstrukce rovnoramenných lichoběžníků

V rovnoramenném lichoběžníku mají obě ramena stejnou délku. Odpovídající vnitřní úhly u těchto ramen jsou pak stejné (dva stejné úhly \alpha = \beta u jedné základny a dva stejné úhly \gamma=\delta=180^\circ - \alpha u druhé základny). Úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku jsou stejně dlouhé. Narozdíl od obecného lichoběžníku mu lze opsat kružnici. Střed této opsané kružnice ale neleží v průsečíku úhlopříček.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování níže je k dispozici ještě pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:

Konstrukce čtyřúhelníků: rovnoběžníky a …

Konstrukce čtyřúhelníků: rovnoběžníky a lichoběžníky

řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Obvod lichoběžníku je součet délek jeho stran. Tedy obvod lichoběžníku ABCD se stranami o délkách a,b,c,d vypočítáme podle vzorečku o=a+b+c+d.

Obsah lichoběžníku se základnami o délkách a,c a výškou v spočítáme podle vzorečku S=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v.

Intuice za tímto vzorečkem je vidět na následujícím obrázku. Obsah lichoběžníku je roven součtu obsahů dvou trojúhelníků.

• První trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky a. Jeho obsah je S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot v.
• Druhý trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky c. Jeho obsah je S_{ACD}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot v.

Součet obsahů těchto dvou trojúhelníků je S = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v + \frac{1}{2} \cdot c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v

Obsah lichoběžníku je polovina součinu jeho výšky se součtem délek jeho základen. Velikosti základen a výšky určíme přímo jako délky úseček na mřížce.

Kružnice s daným středem S a poloměrem r je tvořena všemi body v rovině, které jsou od středu vzdáleny přesně o r. U každého bodu v rovině pak můžeme určit, kde leží:

• na kružnici (jejich vzdálenost od S je rovna r)
• ve vnitřní oblasti kružnice (jejich vzdálenost od S je menší než r, tyto body neleží na kružnici)
• ve vnější oblasti kružnice (jejich vzdálenost od S je větší než r, tyto body také neleží na kružnici)

Kruh s daným středem S a poloměrem r je tvořen všemi body v rovině, které jsou od středu vzdáleny nejvýše o r. Kruh s daným středem a poloměrem je tedy sjednocení kružnice se stejným středem a poloměrem a její vnitřní oblasti. Střed S kruhu je bod, který patří do kruhu. (Zatímco střed kružnice neleží na kružnici, ale v její vnitřní oblasti.)

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Pojmy související s kružnicí řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Vzorec pro obvod kruhu

Obvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru r nebo průměru d = 2r. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Vzorec pro obsah kruhu

Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obsahu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obsahu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Uvažujme kružnici o průměru 2 cm. Její vnitřní oblast má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud bychom chtěli veškerou trávu v kruhu nabarvit na růžovo, museli bychom nabarvit \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Obsah kruhu a nebo délku kružnice s poloměrem r spočítáme pomocí vzorce: o = \pi \cdot r ^2

Průměr d je dvojnásobek poloměru, takže obsah kruhu lze spočítat i pomocí průměru: o =\frac{1}{4} \pi \cdot d ^2

Velikost poloměru nebo průměru určíme jako délku úsečky na mřížce. Kruh na obrázku má poloměr 4, tedy jeho obsah je 16 \pi.

Obvod kruhu a nebo délku kružnice s poloměrem r spočítáme pomocí vzorce: o = 2 \cdot \pi \cdot r

Průměr d je dvojnásobek poloměru, máme tedy ještě druhý použitelný vzoreček: o = \pi \cdot d

Velikost poloměru nebo průměru určíme jako délku úsečky na mřížce. Kružnice na obrázku má průměr 8 (poloměr 4), tedy její délka je 8 \pi.

Středový úhel

• Úhel s vrcholem ve středu S kružnice k, jehož ramena procházejí krajními body A, B oblouku kružnice k.
• Pro každé dva body na kružnici lze určit dva středové úhly. Každý přísluší tomu oblouku, který v daném úhlu leží.

Obvodový úhel

• Úhel, jehož vrchol V leží na kružnici k a jeho ramena procházejí body A, B oblouku kružnice k (A \neq V \neq B)
• Všechny obvodové úhly příslušné oblouku AB s vrcholem V, který na oblouku neleží, mají stejnou velikost.
• Velikost středového úhlu \omega se rovná dvojnásobku velikosti obvodového úhlu \varphi příslušného ke stejnému oblouku, \omega = 2\cdot\varphi.
• Thaletova věta: Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.

Úsekový úhel

• Úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice k s tečnou t kružnice v bodě A nebo B.
• Velikost úsekového úhlu je stejná jako velikost obvodového úhlu nad obloukem AB.

Obsah kruhové výseče

Obsah kruhové výseče se středovým úhlem \alpha a poloměrem r spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Příklady

• Kruhová výseč na obrázku má obsah: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Obsah celého kruhu (výseče se středovým úhlem 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2

Délku oblouku, který na kružnici o poloměru r odpovídá středovému úhlu \alpha spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Obsah kruhové výseče příslušné středovému úhlu \alpha v kruhu s poloměrem r spočítáme jako takovou část obsahu kruhu, jakou částí z plného úhlu 360^{\circ} je úhel \alpha.