Děkujeme za Vaše hodnocení.

Kružnice (kuželosečka)

GNR
Zkopírovat krátkou adresu (umime.to/GNR)
Ukázat QR kód

umime.to/GNR


Stáhnout QR kód
Ukázat/skrýt shrnutí

Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Bod S nazýváme střed kružnice, hodnotu r nazveme poloměr kružnice.

Středová rovnice kružnice

Středová rovnice kružnice o středu S[m;n] a poloměru r je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2

Příklad: Určete středovou rovnici kružnice se středem v bodě S[-1;2] a poloměrem r=3.

  • Středová rovnice je ve tvaru: (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2
  • Dosadíme souřadnice středu a poloměr. Při dosazení si dáme pozor na to, že souřadnice středu ve středové rovnici odečítáme: (x-(-1))^2 +(y-2)^2=3^2
  • Po úpravě: (x+1)^2 +(y-2)^2=9

Obecná rovnice kružnice

Podobně jako existuje několik tvarů rovnic přímky, můžeme i rovnici kružnice zapsat různými způsoby. Obecná rovnice kružnice je ve tvaru: x^2 +y^2-2mx-2ny+p=1.

Každá rovice v tomto tvaru ale nemusí ještě být obecnou rovnicí kružnice. Pro obecnou rovnici kružnice musí platit, že výraz m^2+n^2-p je kladný. Praktické ověření, zda se jedná o kružnici, ale obvykle provádíme převedením na středovou rovnici kružnice.

Příklad: Najděte střed a poloměr kružnice dané obecnou rovnicí x^2+y^2+4x+6y-12=0.

  • Nejprve si uspořádáme členy podle proměnných: x^2+4x+y^2-6y-12=0.
  • Našim dalším cílem je upravit výraz na levé straně jako součet dvou druhých mocnin (čtverců), podle vzorečků a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2.
  • K oběma stranám rovnice přičteme konstanty 4 a 9, abychom součty členů s proměnnými x a y mohli upravit na druhé mocniny (provedeme v obou případech doplnění na čtverec): x^2+4x+4+y^2-6y+9-12=4+9
  • A upravíme: (x+2)^2 +(y-3)^2-12=13
  • Na závěr ještě převedeme -12 na druhou stranu rovnice: (x+2)^2 +(y-3)^2=25
  • Tímto jsme převedli obecnou rovnici kružnice na středovou rovnici kružnice.
  • Poloměr kružnice je r=\sqrt{25}=5.
  • Souřadnice středu S[m,n] odčítáme ve středové rovnici od proměnných x a y, mají tedy opačná znaménka než konstanty v závorkách ve středové rovnici \Rightarrow S[-2;3].

Kružnice a přímka

  • přímka s protíná kružnici ve dvou bodech – sečna kružnice
  • přímka t protíná kružnici v jednom bodě – tečna kružnice
  • přímka v kružnici neprotíná – vnější přímka kružnice

Rovnice tečny kružnice v bodě, který leží na kružnici

Kružnice daná rovnicí (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 má v bodě T[x_0;y_0] tečnu (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2.

Jak si zapamatovat rovnici tečny

  • Středová rovnice je ve tvaru (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2.
  • Závorky rozložíme na součiny dvoučlenů (x-m)(x-m) +(y-n)(y-n)=r^2.
  • V každém součinu zaměníme jedno x za x_0 a jedno y za y_0
  • Dostaneme rovnici tečny (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2

Příklad: Určete rovnici tečny kružnice (x-1)^2+(y+2)^2=13 v jejím bodě T[3;1].

  • Ověříme, zda bod T leží na kružnici: (3-1)^2+(1+2)^2=13 \Rightarrow 4+9=13
  • Tečna má rovnici (x_0-m)(x-m) +(y_0-n)(y-n)=r^2
  • Dosadíme souřadnice bodu T: (3-1)(x-1) +(1+2)(y+2)=13
  • Roznásobíme závorky: 2x-2 +3y+6=13
  • A dostaneme obecnou rovnici tečny 2x+3y-9=0

Polára kružnice

Z bodu R mimo kružnici můžeme sestrojit dvě tečny k dané kružnici. Přímka určená body dotyku tečen se nazývá polára kružnice vzhledem k bodu R.

Rovnice poláry kružnice kružnice (x-m)^2 +(y-n)^2=r^2 vzhledem k bodu R[r_1;r_2] je (r_1-m)(x-m) +(r_2-n)(y-n)=r^2.

K čemu poláru použijeme?

  • Poláru využíváme ke konstrukci tečen ležících z bodu mimo kružnici.
  • Podle vzorce určíme rovnici poláry, tedy přímky.
  • Najdeme průsečíky poláry a kružnice – to jsou body dotyku hledaných tečen.
  • Když známe body dotyku, určíme podle vztahu pro rovnici tečny v bodě kružnice obecné rovnice obou tečen.
Souhrn mi pomohl
Souhrn mi nepomohl
Souhrn je skryt.

Přesouvání

Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.


Kružnice (kuželosečka)  
Zobrazit souhrn tématu
Kružnice: středová rovnice


Rozhodovačka

Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.


Kružnice (kuželosečka)  
Zobrazit souhrn tématu
Kružnice: obecná rovnice
Kružnice: vzájemná poloha přímky a kružnice


Krok po kroku

Doplňování jednotlivých kroků v rozsáhlejším postupu.


Kružnice (kuželosečka)  
Zobrazit souhrn tématu
Kružnice: středová rovnice
Kružnice: obecná rovnice
Kružnice: vzájemná poloha přímky a kružnice


Psaná odpověď

Cvičení, ve kterém píšete odpověď na klávesnici.


Kružnice (kuželosečka)  
Zobrazit souhrn tématu
Kružnice: středová rovnice


NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence