Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce
Goniometrické funkce (nebo též trigonometrické funkce) je skupina funkcí, které dávají do vztahu úhel v pravoúhlém trojúhelníku a poměr dvou jeho stran. Goniometrické funkce mají široké využití v geometrii a mnoho praktických aplikací (například v navigaci, nebeské mechanice či geodézii). Goniometrické funkce souvisí s mnoha oblastmi matematiky, nejen s geometrií. Můžeme je potkat například u komplexních čísel či nekonečných řad.
Základní goniometrické funkce jsou sinus, kosinus a tangens. Další jsou pak sekans, kosekans a kotangens.
Inverzní funkce k funkcím goniometrickým se nazývají cyklometrické (např. arkus sinus, arkus tangens).
Goniometrické funkce a pravoúhlý trojúhelník
Goniometrické funkce můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vyjádřit následovně:
- Sinus (\sin) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
- Kosinus (\cos) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
- Tangens (\tan) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha.
Pokud si pamatujeme význačné hodnoty goniometrických funkcí (jako např. \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}), nebo aspoň máme k dispozici kalkulačku nebo matematické tabulky, znamená pro nás znát hodnotu \sin, \cos nebo \tan některého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku totéž jako znát velikost samotného úhlu.
Příklad: známe strany pravoúhlého trojúhelníku, dopočítáme úhly
Pravoúhlý trojúhelník ABC má délky stran a=24, b=10, c=26. Jaké jsou velikosti jeho vnitřních úhlů?
- Pokud je trojúhelník pravoúhlý, je velikost úhlu \gamma naproti nejdelší straně c rovna 90^{\circ}.
- Víme, že \sin \alpha je podíl protilehlé strany a přepony, tedy \sin \alpha=\frac{a}{c}.
- Dosadíme známé velikosti stran: \sin \alpha = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Příslušná velikost úhlu je: \alpha \doteq 67^{\circ}
- Z \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ} dopočítáme, že \beta je zhruba 23^{\circ}.
Kontrola:
- Víme, že \cos \beta je podíl strany přilehlé k úhlu \beta a přepony, tedy \cos \beta = \frac{a}{c}.
- Dosadíme známé velikosti stran: \cos \beta = \frac{24}{26}\doteq 0{,}923
- Příslušná velikost úhlu je: \beta \doteq 23^{\circ}
Příklad: známe úhel, dopočítáme délku strany pomocí \sin
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, ve kterém platí \sin \alpha = \frac{1}{2} a délka přepony je c=10. Jaká je délka strany a?
- Víme, že hodnotu \sin \alpha spočítáme jako podíl délky strany protilehlé k úhlu \alpha a délky přepony, tedy \sin \alpha = \frac{a}{c}.
- Dosadíme do této rovnosti za \sin \alpha a za c.
- \frac{1}{2} = \frac{a}{10} \Rightarrow a=5
- Délka strany a je 5.
Příklad: známe úhel, dopočítáme délku strany pomocí \cos
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, ve kterém platí \cos \alpha = \frac{3}{5} a délka přepony je c=15. Jaká je délka strany a?
- Víme, že hodnotu \cos \alpha spočítáme jako podíl délky strany přilehlé k úhlu \alpha a délky přepony, tedy \cos \alpha = \frac{b}{c}.
- Dosadíme do této rovnosti za \cos \alpha a za c.
- \frac{3}{5} = \frac{b}{15} \Rightarrow b=9
- Délka strany b je 9. Chtěli jsme spočítat délku strany a, což zvládneme ze známých hodnot b,c jednoduše pomocí Pythagorovy věty.
- a^2 = c^2-b^2=255-81=144 \Rightarrow a=12
- Délka strany a je 12.
Příklad: známe úhel, dopočítáme délku strany pomocí \tan
Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC s úhlem \alpha = 60^{\circ} a s délkou delší odvěsny 6. Jaká je délka druhé odvěsny?
- Víme, že v pravoúhlém trojúhelníku ABC jsou vnitřní úhly 60^{\circ}, 90^{\circ}, dopočítáme zbývající úhel.
- \beta=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}
- Vidíme, že \beta < \alpha.
- Delší odvěsna bude v trojúhelníku proti většímu úhlu, takže máme a=6.
- \tan \alpha je podíl odvěsny protilehlé úhlu \alpha a odvěsny přilehlé, tedy \tan \alpha = \frac{a}{b}.
- Dosadíme za \tan \alpha hodnotu \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} (zjistíme z tabulek nebo z kalkulačky), dosadíme také b=6.
- \sqrt{3} = \frac{6}{b} \Rightarrow b= \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}
- Délka kratší odvěsny je b=2\sqrt{3}.
Hodnoty goniometrických funkcí
Často používané hodnoty goniometrických funkcí ilustruje tento obrázek jednotkové kružnice – x-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \cos z daného úhlu, y-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \sin z daného úhlu.
Goniometrické funkce: vztahy a vzorce
Pro goniometrické funkce platí celá řada vztahů a vzorců. Výběr těch základních:
- Záporné hodnoty úhlů:
- \sin(-x) = -\sin(x) (lichá funkce)
- \cos(-x) = \cos(x) (sudá funkce)
- \tan(-x) = -\tan(x) (lichá funkce)
- Posuny:
- \sin(x+2\pi) = \sin(x) (perioda 2\pi)
- \sin(x+\pi) = -\sin(x)
- \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x)
- Součtové vzorce goniometrických funkcí:
- \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
- \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)
- \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
- \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)
- Dvojnásobný argument:
- \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
- \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)
- \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}
Vlastnosti goniometrických funkcí
Pro obě funkce \sin(x) a \cos(x) platí:
- definiční obor je množina reálných čísel,
- obor hodnot je interval \langle -1, 1 \rangle,
- funkce je omezená,
- funkce je periodická s periodou 2\pi,
- funkce není prostá.
Pro funkci \sin(x) platí:
- je lichá,
- nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.
Pro funkci \cos(x) platí:
- je sudá,
- nulové hodnoty nabývá v bodech x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.
Pro funkci \tan(x) platí:
- definiční obor je \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
- obor hodnot je množina reálných čísel,
- funkce je lichá,
- funkce je periodická s periodou \pi,
- funkce je neomezená,
- nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.
Grafy goniometrických funkcí
Grafy základních goniometrických funkcí
Dopad úprav funkce na graf
Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).
| \sin(x+1) | graf má posunutou fázi (posun ve směru osy x) |
| \sin(x)+1 | graf je posunutý ve směru osy y |
| \sin(2x) | funkce má změněnou délku periody |
| 2\sin(x) | funkce má změněnou velikost amplitudy |
