Poměry a úměrnosti

Trojčlenka je grafický zápis výpočtu neznámého členu přímé nebo nepřímé úměry.

Na první řádek napíšeme dvě známé hodnoty, na druhý známou hodnotu a neznámou (např. x). První šipka povede od neznámé nahoru. Druhá šipka povede pro přímou úměru stejným směrem jako první a pro nepřímou úměru opačným směrem než první šipka.

Zadání: 10\,000 lumíků má dohromady stejnou hmotnost jako dva medvědi, kolik medvědů má dohromady stejnou hmotnost jako 40\,000 lumíků?

Na první řádek si zapíšeme, že 10\,000 lumíků odpovídá hmotnostně dvěma medvědům. Větší počet lumíků bude odpovídat většímu počtu medvědů, takže jde o přímou úměru. Obě šipky ukazují nahoru.

Zapíšeme dvě strany rovnice jako zlomky podle směru šipek a vypočítáme x.

První šipka vede od 40\,000 k 10\,000, druhá šipka vede od x k 2. Rovnice tedy je \frac{40\,000}{10\,000}=\frac{x}{2}.

Poměr dvou kladných hodnot, např. 2:4, vyjadřuje vztah jejich velikostí.

Dědeček našel 10 hřibů a 1 bedlu. Poměr počtu hřibů ku počtu bedel v dědečkově košíku je 10:1.

Podobně jako u zlomků můžeme poměry krátit a rozšiřovat kladnými čísly.

Poměr počtu hřibů ku počtu bedel 10:1 může být zrovna tak vyjádřen jako 20:2 nebo 1:0{,}1.

Poměr, který je vyjádřen dvěma celými čísly a nejde už víc zkrátit, je v základním tvaru.

Základní tvar poměru 2:4 je 1:2.

Lze zapsat i poměr více než dvou hodnot, pak jde o postupný poměr.

Změna čísla

Změna čísla v zadaném poměru a:b je vynásobení čísla odpovídajícím zlomkem \frac{a}{b}.

• Pokud je a \lt b a tedy \frac{a}{b} \lt 1, budeme číslo zmenšovat.
• Pokud je a > b a tedy \frac{a}{b}>1, budeme číslo zvětšovat.

Změna čísla 10 v poměru 2:5 znamená vynásobení čísla 10 zlomkem \frac{2}{5}. Vyjde nám číslo 4.

Rozdělení čísla

Rozdělení čísla v zadaném poměru a:b znamená rozdělení čísla na dvě části, které jsou v poměru a:b.

Výpočty při znalosti součtu (rozdílu)

Hledáme dvě čísla, když známe jejich poměr a známe jejich součet (případně rozdíl, součin, nebo nějaký jiný výraz). V takovém případě nám většinou pomůže spočítat si nejdříve čemu odpovídá jeden díl v poměru. Pokračujeme obvykle výpočtem hledaných čísel podle toho, kolika dílům v poměru odpovídá první a druhé číslo.

Poměr nabitých a vybitých baterií v Gargamelově detektoru šmoulů je 1:4. Vybitých baterií je přitom o 6 více než nabitých. Jaké jsou počty nabitých a vybitých baterií?

Nejdříve si spočítáme, kolika bateriím odpovídá jeden díl. Víme, že vybitých baterií je o 6 více než nabitých. Vybitých baterií jsou přitom 4 díly a nabitých 1 díl, takže vybitých je o 4-1=3 díly více než nabitých. Takže 3 díly odpovídají 6 bateriím. Jeden díl odpovídá \frac{6}{3}=2 bateriím. Gargamel tedy má 2 nabité baterie a 4 \cdot 2 = 8 vybitých baterií.

Výsledek: Gargamel má dvě nabité a osm vybitých baterií.

Výpočty pomocí rovnic

Pokud už se vyznáme v řešení rovnic, můžeme při řešení využít zápisu pomocí dvou rovnic pro dvě neznámé.

Měřítko mapy, plánku, zmenšeného modelu

Měřítko mapy je speciální případ poměru. Jde o poměr, ve kterém je obraz krajiny na mapě ku krajině ve skutečnosti.

• Mapa s měřítkem 1 : 10\,000. Centimetr na této mapě odpovídá 10\,000\ \text{cm} = 100\ \text{m} ve skutečnosti.
• Nákres, na kterém je délka pětimetrové sochy 2\ \text{cm}, má měřítko 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.

Měřítko zvětšeného modelu

Podobně u zvětšeného modelu hodně malé věci nebo tvora použijeme opět poměr velikosti obrazu ku velikosti ve skutečnosti.

• Model lidského neuronu v kabinetu biologie má šířku 20 \ \text{cm}. Skutečný motoneuron, který byl inspirací pro tento model, má velikost 80\ \mu \text{m} = 0{,}000\,08 \ \text{m}= 0{,}008 \ \text{cm}. Měřítko modelu je 20 : 0{,}008 = 20\,000 : 8 = 2\,500 : 1.
• Pojďme si ještě určit, čemu odpovídá 1\ \text{cm} na tomto modelu neuronu. Centimetr na modelu odpovídá \frac{1}{2\,500}\ \text{cm} ve skutečnosti, tedy 1\ \text{cm} na modelu neuronu odpovídá 0{,}000\,4\ \text{cm} = 0{,}000\,004\ \text{m} = 4\ \mu \text{m} ve skutečnosti.