Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Němčina
Umíme to
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
ZSV
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Označování
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Můj účet
Odhlásit se- Operace s vektory
Všechny souhrny - Vektory: násobení konstantou, součet, rozdíl
- Vektory: skalární součin
Předcházející
Velikost vektoru, Vektory: násobení konstantou, součet, rozdíl
Navazující
Skalární součin vektorů \vec{u} a \vec{v} označujeme \vec{u}\cdot \vec{v}. Pro vektory \vec{u}, \vec{v} o velikostech \left| \vec{u} \right| a \left| \vec{v} \right|, které spolu svírají úhel \alpha, je skalární součin definován následovně:
\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
Vlastnosti skalárního součinu
- Výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je číslo (neboli skalár).
- Skalární součin nulového vektoru s libovolným jiným vektorem je vždy roven 0.
- Skalární součin vektorů, které jsou na sebe kolmé, je také roven nule.
Výpočet pomocí souřadnic
Máme-li souřadnice vektorů \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), pak hodnota jejich skalárního součinu je:
u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2
Poznámka: další typy součinu vektorů
Kromě skalárního součinu existují i jiné typy součinu vektorů (vektorový, smíšený), proto je důležité psát o jaký součin se jedná.Příklad: skalární součin vektorů
Určete skalární součin vektorů, jestliže platí: \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3 a vektory svírají úhel 60°.
- Vzoreček: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
- Dosadíme známé hodnoty: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6
Určení úhlu svíraného dvěma vektory
S využitím vztahu pro skalární součin můžeme určit úhel vektorů: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}
Příklad: úhel svíraný vektory
Určete úhel vektorů \vec{u}=(3;3) a \vec{v}=(2;0).
- Platí \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
- Pomocí známých souřadnic vektorů umíme spočítat skalární součin \vec{u}\cdot\vec{v} a velikosti vektorů \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
- \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
- \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
- \left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
- Dosadíme tyto hodnoty do vztahu pro výpočet \cos \alpha:
- \cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
- Úhel vektorů je 60°.
