Objem, povrch

umime.to/FVX

Podtémata
Objem: krychle, kvádr, hranol, jehlan
Objem: krychle, kvádr, hranol, jehlan Vzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa. Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v. Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3. Objem jehlanu je jedna třetina součinu obsahu podstavy a výšky, tj. V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Pro pravidelný čtyřboký jehlan pak tedy V=\frac{1}{3} a^2v. Příklady: Krychle o hraně 4 m má objem V = 4^3 = 64 m³. Kvádr s hranami 3, 6 a 10 cm má objem V = 3\cdot 6 \cdot 10 = 180 cm³. Pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou hrany 6 cm a výškou 4 cm má objem V=\frac{1}{3} 6^2 \cdot 4 = 48 cm³.
Povrch: krychle, kvádr, hranol, jehlan
Povrch: krychle, kvádr, hranol, jehlan Povrch „hranatých“ těles je prostě součet obsahů jednotlivých stran. Hranol má dvě stejné podstavy a plášť, povrch je tedy S=2\cdot S_p+S_{pl}. Jehlan má jednu podstavu a plášť, povrch je tedy S=S_p+S_{pl}. Stěny kvádru jsou obdélníky, přičemž vždy dvě jsou stejně velké. Povrch tedy vypočítáme jako S = 2(ab+ac+bc). Krychle má šest stěn a všechny jsou tvořeny stejným čtvercem. Povrch je S=6a^2.
Objem: koule, válec, kužel
Objem: koule, válec, kužel Objem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce. Objem koule je V = \frac43 \pi r^3. Objem válce je obsah (kruhové) podstavy vynásobený výškou, tedy V = S_p \cdot v = \pi r^2 v. Objem kužele je jedna třetina obsahu podstavy vynásobeného výškou, tedy V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.
Povrch: koule, válec, kužel
Povrch: koule, válec, kužel Povrch „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14159265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy), v výšku válce, s stranu kužele. Povrch koule je S = 4\pi r^2. Povrch válce se skládá z podstavy (dvakrát) a pláště: S = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r v = 2\pi r (r+v). Povrch kužele se skládá z podstavy a pláště: S = \pi r^2 + \pi rs= \pi r(r+s).
Objem, povrch: mix

Cvičení

Kompletní výpis vysvětlení »

Objem tělesa vyjadřuje kolik místa v prostoru těleso zaujímá. Můžeme si jej představit jako množství vody, které bychom potřebovali, kdybychom chtěli těleso „napustit“. Pro vyjádření objemu využíváme jednotky objemu.

Povrch tělesa je součet obsahů všech ploch, které těleso ohraničují. Můžeme si jej představit jako velikost barevného papíru, který potřebujeme na „polepení“ tělesa. Pro vyjádření povrchu využíváme jednotky obsahu.

Značení ve vzorcích

V	objem
S	povrch
S_p	obsah podstavy
S_{pl}	obsah pláště
a, b, c	délky stran
r	poloměr
v	výška
s	strana kužele

Vzorce

Útvar	Objem	Povrch
krychle	V = a^3	S=6a^2
kvádr	V = abc	S = 2(ab+ac+bc)
koule	V=\frac43\pi r^3	S=4\pi r^2
válec	V=S_p\cdot v =\pi r^2 v	S=2S_p+S_{pl} =2\pi r(r+v)
kužel	V=\frac{1}{3}S_p\cdot v =\frac13 \pi r^2 v	S =S_p+S_{pl} =\pi r(r+\sqrt{r^2+v^2})=\pi r^2 +\pi rs
jehlan	V=\frac{1}{3}S_p\cdot v	S=S_p+S_{pl}
pravidelný čtyřboký jehlan	V=\frac{1}{3}S_p\cdot v=\frac{1}{3} a^2v
hranol	V= S_p\cdot v	S=2\cdot S_p+S_{pl}

Vysvětlení mi pomohlo Vysvětlení mi nepomohlo

Přesouvání

Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.

Objem, povrch

Objem: krychle, kvádr, hranol, jehlan

Objem krychle a kvádru

Objem hranolu a jehlanu

Povrch: krychle, kvádr, hranol, jehlan

Povrch krychle a kvádru

Povrch hranolu a jehlanu

Objem: koule, válec, kužel

Povrch: koule, válec, kužel

Objem hranolu a jehlanu

Rozhodovačka

Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.

Objem, povrch

Objem, povrch: mix

Objem, povrch: vzorce, principy

Objem, povrch: kvádr, hranol, jehlan

Objem, povrch: koule, válec, kužel

Objem, povrch: kvádr, hranol, jehlan

Objem tělesa na obrázku je

Krok po kroku

V tomto cvičení doplňujete jednotlivé kroky v rozsáhlejším postupu – například jednotlivé kroky v úpravě výrazů nebo při řešení rovnic. Cvičení je dobrou rozcvičkou na samostatné řešení kompletních příkladů.

Objem, povrch

Objem, povrch: mix

Objem a povrch: koule, válec, kužel

Objem a povrch: kvádr, jehlan, hranol

Určete objem tělesa na obrázku: