Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Umíme to
Němčina
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
Aritmetika
Zlomky, procenta
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Grafař
Porozumění
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Lomené výrazy
Krátká adresa: umime.to/FZB
| Nadřazené | Elementární algebra » Algebraické výrazy a jejich úpravy » Lomené výrazy |
| Předcházející | Úpravy výrazů s více proměnnými, Úpravy výrazů se zlomky |
| Navazující | Rovnice s lomenými výrazy, Dělení mnohočlenu mnohočlenem |
Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz obsahující celočíselné mocniny proměnné). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}.
Podmínky lomených výrazů
U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.
Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (můžou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).
Určování podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
- Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Úpravy lomených výrazů
S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny.
Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
- Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.
Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce x^2-y^2=(x+y)(x-y).
- Dostáváme \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
- Pokrátíme na \frac{1}{x-y}.
Přesouvání
Přesouvání kartiček na správné místo. Jednoduché ovládání, zajímavé a neotřelé úlohy.
Lomené výrazy (těžké)
17 zadání
Typicky zabere: 6 min
Rozhodovačka
Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.
Úpravy lomených výrazů (střední)
45 zadání
Typicky zabere: 8 min
Úpravy lomených výrazů (těžké)
63 zadání
Typicky zabere: 11 min
Podmínky lomených výrazů (těžké)
51 zadání
Typicky zabere: 8 min
Pexeso
Hledání dvojic, které k sobě patří.
Lomené výrazy (těžké)
11 zadání
Typicky zabere: 5 min
Krok po kroku
V tomto cvičení doplňujete jednotlivé kroky v rozsáhlejším postupu – například jednotlivé kroky v úpravě výrazů nebo při řešení rovnic. Cvičení je dobrou rozcvičkou na samostatné řešení kompletních příkladů.
Lomené výrazy (lehké)
30 zadání
Typicky zabere: 8 min
Lomené výrazy (střední)
15 zadání
Typicky zabere: 10 min
Lomené výrazy (těžké)
20 zadání
Typicky zabere: 10 min
Podmínky lomených výrazů (lehké)
15 zadání
Typicky zabere: 8 min
Podmínky lomených výrazů (střední)
15 zadání
Typicky zabere: 9 min
Podmínky lomených výrazů (těžké)
15 zadání
Typicky zabere: 8 min
Početní operace s lomenými výrazy (lehké)
10 zadání
Typicky zabere: 7 min
Početní operace s lomenými výrazy (střední)
10 zadání
Typicky zabere: 9 min
Početní operace s lomenými výrazy (těžké)
10 zadání
Typicky zabere: 11 min
Psaná odpověď
Cvičení, ve kterém píšete odpověď na klávesnici.
Lomené výrazy (střední)
30 zadání
Typicky zabere: 7 min
