Přejít na cvičení:
Rozhodovačka
Přejít na téma:
Lomené výrazy
Zobrazit na celou obrazovku
Zobrazit shrnutí tématu
EJU
Sdílet
Zobrazit nastavení cvičení

QR kód

QR kód lze naskenovat např. mobilním telefonem a tak se dostat přímo k danému cvičení nebo sadě příkladů.

Kód / krátká adresa

Tříznakový kód lze napsat do vyhledávacího řádku, také je součástí zkrácené adresy.

Zkopírujte kliknutím.

EJU
umime.to/EJU

Nastavení cvičení


Pozor, nastavení je platné pouze pro toto cvičení a předmět.

umime.to/EJU

Lomené výrazy

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz obsahující celočíselné mocniny proměnné). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}.

Podmínky lomených výrazů

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

  • Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (můžou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

Určování podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}

  • Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
  • Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
  • Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
  • Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
  • Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.

Úpravy lomených výrazů

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny.

Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}

  • Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
  • Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.

Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}

  • Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce x^2-y^2=(x+y)(x-y).
  • Dostáváme \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
  • Pokrátíme na \frac{1}{x-y}.
Zavřít

Úpravy lomených výrazů (těžké)

Vyřešeno:

NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence