
Kvantifikátory

Kvantifikátory
\exists x |
existenční kvantifikátor |
existuje x, takové že… |
\forall x |
obecný (univerzální) kvantifikátor |
pro každé x platí… |
Příklady výroků
s kvantifikátory
Vlastnost Číslo x je sudé.
můžeme vyjádřit jako Existuje celé číslo k takové, že x =
2\cdot k. To můžeme zapsat jako \exists k \in \mathbb{Z}: x = 2\cdot k.
Výrok Ponorky (P) nemohou létat (L). můžeme zapsat jako
\forall x: P(x) \Rightarrow \neg
L(x).
U složitějších výroků s více kvantifikátory musíme dávat na pořadí
kvantifikátorů:
- \exists x\in M\ \forall y \in M: y \leq
x – existuje prvek v množině M,
který je větší roven všem ostatním prvkům v M, tj. výrok říká, že množina má největší
prvek.
- \forall x\in M\ \exists y \in M: y \leq
x – pro každý prvek v množině M
existuje prvek x, který je menší nebo
roven X. Protože klidně můžeme vybrat
y=x, je to splněno pro každou množinu
(pro pokročilé: tedy pouze pokud uvažujeme množiny čísel a \leq jako běžné uspořádání na číslech).
Negace výroků
s kvantifikátory
Při negování výroků s kvantifikátory měníme existenční kvantifikátor
na obecný (a naopak) a posouváme negaci „dovnitř“.
Příklad: negace výroku Všechny kočky (K) jsou černé (C).
Není pravda, že všechny kočky (K) jsou černé (C). |
\neg (\forall x: K(x) \Rightarrow
C(x)) |
Změníme obecný kvantifikátor na existenční a znegujeme výrok: |
\exists x: \neg(K(x) \Rightarrow
C(x)) |
Nyní znegujeme implikaci pomocí pravidla \neg(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \wedge
\neg B): |
\exists x: K(x) \wedge \neg
C(x) |
Existuje kočka, která není černá. |
Zavřít