Moduly: úvod Přehled po ročnících Přehled učiva Přehled pokrytí RVP Přehled výsledků učení

Geometrie v prostoru II

Typický ročník	9.
Interval vhodných ročníků	8.–9.
Učivo	jehlan, kužel, válec, koule, objem a povrch těles, slovní úlohy a aplikace
Předcházející moduly	Zobrazení v rovině a prostorová představivost Kruh a kružnice Pythagorova věta a její aplikace Geometrie v prostoru I
Bezprostřední výsledky učení	Rozpozná a pojmenuje prostorová tělesa (válec, kužel, koule, jehlan) a popíše jejich vlastnosti. Vypočítá objem a povrch těles. Vyřeší praktické slovní úlohy s tělesy, včetně odhadu a interpretace výsledku.
Související RVP výsledky učení	MAT-MAT-002-ZV9-005 Využívá metrické vlastnosti útvarů k řešení problému v kontextu reálných situací. MAT-MAT-003-ZV9-008 Skládá a rozkládá tělesa. MAT-MAT-003-ZV9-010 Popíše polohu objektů v rovině a v prostoru.

Modul navazuje na znalosti z modulů Kruh a kružnice a Geometrie v prostoru I a soustředí se na práci s kulatými prostorovými tělesy: koule, válec, kužel. Z hranatých těles je začleněn jehlan. Modul představuje základní vlastnosti těchto těles a soustředí se především na výpočet jejich objemu a povrchu, včetně aplikace ve slovních úlohách.

Bloky a dosažený postup

Zobrazit i lehčí rozšíření

Zobrazit i těžší rozšíření

Seznam Náhledy

1. Jehlan Splněno základních cvičení: 0/5

Tento blok doporučujeme řešit.

2. Objem a povrch hranatých těles Splněno základních cvičení: 0/7

3. Koule Splněno základních cvičení: 0/5

4. Válec Splněno základních cvičení: 0/7

5. Kužel Splněno základních cvičení: 0/5

6. Objem a povrh kulatých těles Splněno základních cvičení: 0/7

7. Shrnutí, opakování Splněno základních cvičení: 0/4

1. Jehlan

Jehlan

Souhrn tématu

Jehlan je prostorový geometrický útvar, který má jednu podstavu a plášť tvořený trojúhelníky. Podstava jehlanu může být libovolný mnohoúhelník (například čtverec, obdélník nebo trojúhelník) a všechny boční stěny (plášť) se setkávají v jednom společném bodě nazývaném vrchol jehlanu. Příkladem jehlanů jsou pyramidy ze starověkého Egypta, vypadají zhruba jako jehlany se čtvercovou podstavou a čtyřmi trojúhelníkovými bočními stěnami.

Vzorce pro objem a povrch

Objem jehlanu V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška jehlanu, což je vzdálenost vrcholu od roviny podstavy. (Velikost výšky jehlanu získáme jako délku úsečky, která vede od vrcholu k rovině podstavy a je kolmá na tuto rovinu.)

Povrch jehlanu získáme jako součet obsahu podstavy S_p a obsahu pláště S_{pl} (obsah pláště je roven součtu obsahů všech bočních trojúhelníkových stěn jehlanu). Celkově je povrch jehlanu S = S_p + S_{pl}, v případě pravidelného šestibokého jehlanu na obrázku je: S=Sp + 6 \cdot S_{\Delta}

Některé jehlany mají pravidelnou podstavu, vrchol umístěný přímo nad středem podstavy a všechny trojúhelníkové stěny z pláště stejné, ale obecně se může výpočet obsahu každé z těchto trojúhelníkových stěn lišit v závislosti na tvaru podstavy jehlanu.

Povrch pravidelného čtyřstěnu Objem pravidelného čtyřstěnu

2. Objem a povrch hranatých těles

Objem hranatých těles

Souhrn tématu

Vzorce pro objem „hranatých“ těles vychází z obsahu podstavy a výšky tělesa.

Objem libovolného hranolu je součin obsahu podstavy a výšky: V=S_p\cdot v.

Kvádr a krychle jsou speciální případy hranolu, jejich podstava je obdélník (čtverec) a výška je zbývající hrana. Objem kvádru je tedy součin délek jeho hran: V = abc. Objem krychle vypočítáme stejným způsobem. Protože v krychli jsou všechny hrany stejně dlouhé, výraz se zjednoduší na V = a^3.

Příklad: objem krychle

Určete objem krychle o hraně délky 4 m.

Objem krychle o hraně délky a spočítáme jako V=a^3.
Dosadíme za a známou délku hrany.
Takže daná krychle má objem V = 4^3 = 64 m³.

Délka hrany je zadaná v metrech, proto je výsledný objem krychle v metrech krychlových.

3. Koule

4. Válec

5. Kužel

6. Objem a povrh kulatých těles

Objem kulatých těles

Souhrn tématu

Objem „kulatých“ těles vypočítáme za využití konstanty \pi \approx 3{,}14 159 265. Ve vzorcích označuje r poloměr (koule či podstavy) a v výšku válce.

Objem koule je V = \frac43 \pi r^3.
Objem válce je obsah (kruhové) podstavy vynásobený výškou, tedy V = S_p \cdot v = \pi r^2 v.
Objem kužele je jedna třetina obsahu podstavy vynásobeného výškou, tedy V = \frac13 S_p \cdot v = \frac13 \pi r^2 v.

Příklad: objem koule s daným poloměrem

Určete objem koule o poloměru 3 m.

Objem koule o poloměru r spočítáme jako: V = \frac43 \pi r^3
Dosadíme za r známou velikost poloměru.
Takže daná koule má objem: V = \frac43 \pi \cdot 3^3 m³ = 36 \pi m³ \doteq 113 m³

Velikost poloměru je zadaná v metrech, proto je výsledný objem koule v metrech krychlových.

7. Shrnutí, opakování

Náměty na doplňkové aktivity

Skládání těles ze sítí

Žáci vystřihují a skládají papírové sítě těles (např. válec, kužel, jehlan) a pozorují, jak se síť přemění v prostorový objekt.

Experimenty s objemem

Žáci pracují s nádobami různých tvarů, přelévají vodu a měří objem pomocí odměrky. Na základě pozorování odhadují objem běžných předmětů. Dále zkouší aproximovat nepravidelné nádoby (např. kelímek, hrnek) pomocí válce a určovat přibližný objem pomocí vzorce pro objem válce.

Geometrie v prostoru II