Výpis shrnutí
Algebraické výrazy a jejich úpravy
Podtémata
Algebraické výrazy a jejich úpravy
Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.
Příklad: počet noh zvířat
- Sedlák Sedloň má na dvorku p prasat a s slepic.
- Výraz 4\cdot p + 2 \cdot s vyjadřuje celkový počet nohou, která zvířata na dvorku mají.
- V tomto výrazu jsou čísla 4 a 2 konstanty, písmena p a s jsou proměnné, jejichž oborem jsou přirozená čísla.
- Výraz můžeme upravit do tvaru 2(2p+s). Tato úprava zachovává hodnotu výrazu pro všechna možná přiřazení hodnot proměnných.
| téma | příklad (zadání) | příklad (výsledek) |
|---|---|---|
| Dosazování do výrazů | dosadit x = 3 do výrazu 2x + 5 | 11 |
| Zápis pomocí výrazů | „O 5 větší než dvojnásobek čísla x“ | 2x + 5 |
| Úpravy výrazů s jednou proměnnou | 3x - 2 \cdot(3+x) | x - 6 |
| Úpravy výrazů s více proměnnými | 2a + 3b - a + 4b | a + 7b |
| Úpravy výrazů se zlomky | \frac{x}{2} + \frac{x}{3} | \frac{5x}{6} |
| Lomené výrazy | \frac{x^2 - 9}{x - 3} | x + 3 pro x \ne 3 |
| Dělení mnohočlenu mnohočlenem | \frac{2x^4 + x + 4}{x^2 + 2} | 2x^2 - 4, zbytek x+12 |
| Výrazy s faktoriálem a kombinačními čísly | \frac{n!}{(n+1)!} | \frac{1}{n+1} |
Dosazování do výrazů
Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor (počítání se zápornými čísly může být užitečné zopakovat před dosazováním těchto čísel do výrazů).
Příklad:
| Výraz | Hodnoty proměnných | Dosazení |
|---|---|---|
| 14-3n | n=2 | 14-3\cdot 2 = 8 |
| 3x-y | x=2, y=4 | 3\cdot2 - 4 = 2 |
| 2a+3b | a=5, b=-1 | 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7 |
| 1-x-2y | x=-5, y=7 | 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8 |
Úpravy výrazů s jednou proměnnou
Úpravou výrazu vytváříme nový, jednodušší zápis, který má pro všechna dosazená čísla stejnou hodnotu (tzv. ekvivalentní výraz).
Přehled základních úprav výrazů
Slučování členů (sčítání a odčítání)
Sčítat a odečítat můžeme pouze členy se stejnou mocninou proměnné.
3x + 4 + 6x = (3x + 6x) + 4 = 9x + 4
Roznásobování závorek
Násobitelnou proměnnou nebo číslem před závorkou vynásobíme každý člen
uvnitř závorky.
3(x + 2) = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3x + 6
Odstranění závorky s mínusem
Mínus před závorkou obrací znaménka u všech členů uvnitř.
1 - (x - 2) = 1 - x + 2 = 3 - x
Vytýkání před závorku
Hledáme společného dělitele členů a napíšeme ho před závorku (opačný
postup k roznásobování).
x^2 + 2x = x \cdot x + 2 \cdot x = x(x + 2)
Umocňování dvojčlenu
Využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2 + 2ab +
b^2, případně roznásobíme závorky mezi sebou. (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + 1x + 1x + 1 =
x^2 + 2x + 1
Časté chyby
- Zapomenuté znaménko při odečítání závorky: Výraz 1 - (x - 2) se nerovná 1 - x - 2. Mínus před závorkou mění i druhé znaménko na plus (+2).
- Špatně umocněná závorka: Neplatí, že (x + 1)^2 = x^2 + 1^2. Vždy vznikne i prostřední člen (2ab), tedy správně x^2 + 2x + 1.
- Sčítání různých mocnin: Výraz x^2 + x nelze sečíst na 2x ani na x^3. Různé mocniny téže proměnné nelze sčítat, pouze vytýkat.
Úpravy výrazů s více proměnnými
Při úpravách výrazů s více proměnnými platí stejná základní pravidla jako u jedné proměnné — výsledný výraz musí mít stejnou hodnotu pro libovolnou kombinaci dosazených čísel.
Příklady úprav
Slučování členů se stejnými proměnnými
Sčítat a odečítat můžeme pouze ty členy, které obsahují naprosto stejné
proměnné ve stejných mocninách. 3x + 2y + 4x
= (3x + 4x) + 2y = 7x + 2y
Roznásobení závorky
Členem před závorkou vynásobíme každý člen uvnitř závorky.
x(y - 2) = x \cdot y - x \cdot 2 = xy - 2x
Vytýkání před závorku
Hledáme proměnnou nebo číslo, které se opakuje ve více členech,
a napíšeme je před závorku. Členy bez této proměnné zůstávají vně.
4x - x^2y + 3 = x(4 - xy) + 3
Umocnění dvojčlenu
Při umocňování využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2
+ 2ab + b^2. Nezapomínáme na smíšený člen 2ab, kde se proměnné násobí mezi sebou.
(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
Roznásobení dvou závorek
Roznásobíme každý člen s každým.
(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2
Záludnosti a časté chyby
- Slučování různých proměnných: Výraz 3x + 2y nelze dále sečíst (nestačí napsat 5xy). Pokud jsou proměnné různé, sčítat je nemůžeme.
- Rozdíl v mocninách: Výrazy xy^2 a x^2y nejsou stejné členy a nelze je sečíst. Sčítat můžeme jen stejné mocniny stejných proměnných (např. 2xy^2 + 3xy^2 = 5xy^2).
- Pořadí proměnných v součinu: Součin xy je totéž jako yx. Proto lze sečíst např. 3xy + 2yx = 5xy. Vždy je výhodnější psát proměnné abecedně, abyste tyto dvojice nepřehlédli.
Úpravy výrazů se zlomky
Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:
| Popis | Výraz | Upravený výraz |
|---|---|---|
| Krácení zlomku | \frac{3x+6}{15} | =\frac{x+2}{5} |
| Součet zlomků | \frac{x}{2}+\frac{x}{3} | =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} |
| Násobení zlomků | \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} | =\frac{x+1}{6} |
Lomené výrazy
Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Zapisujeme většinou jako zlomek, například \frac{x+2}{x^2-1}. Toto téma dělíme na dvě podtémata:
- Podmínky lomených výrazů – Přesněji řečeno jde o „podmínky, za kterých má daný lomený výraz smysl“. Musíme se jimi zabývat, protože pro takové hodnoty proměnných, pro které výraz ve jmenovateli lomeného výrazu nabývá hodnoty nula, nemá celý lomený výraz smysl.
- Výpočty s lomenými výrazy a jejich úpravy – Ty provádíme podobně, jako když pracujeme se zlomky, jenom musíme mít na paměti, že čitatelé a jmenovatelé jsou u lomených výrazů mnohočleny.
Podmínky lomených výrazů
U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:
- Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
- Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
- Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.
Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}
- Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
- Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
- Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
- Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
- Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.
Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}
- Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
- Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
- \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
- x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
- Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, x \neq 0
Lomené výrazy: úpravy a výpočty
S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny. Při úpravách často využíváme úpravy algebraických výrazů.
Krácení lomených výrazů
- Když je čitatel i jmenovatel lomeného výrazu vynásobený stejným výrazem, můžeme tento výraz zkrátit.
- Pozor, krátíme jen při násobení.
Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}
- Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce: x^2-y^2=(x+y)(x-y)
- Dostáváme: \frac{\textcolor{#3498db}{x+y}}{\textcolor{#3498db}{(x+y)}(x-y)}
- Pokrátíme na: \frac{1}{x-y}
Příklad: nesprávná úprava výrazu \frac{x-2}{x^2-4}
- Nesprávným krokem by bylo vykrácení x, tedy například \frac{x-2}{x^{2}-4} nelze upravit na \frac{-2}{x-4}, protože x zde nemůžeme z čitatele a jmenovatele vytknout.
- Správným postupem je rozložení jmenovatele na součin \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} a dále pokrácení \frac{\textcolor{#3498db}{x-2}}{\textcolor{#3498db}{(x-2)}(x+2)}=\frac{1}{x+2}.
Sčítání a odčítání lomených výrazů
- Při sčítání a odčítání lomených výrazů převedeme jmenovatele výrazů na společného jmenovatele.
- Výhodné je najít nejmenšího společného jmenovatele.
Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}
- Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}
- Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}
Násobení lomených výrazů
Při násobení vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou.
Příklad: násobení \frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x^3}
- vynásobíme čitatele původních lomených výrazů a získáme čitatele výsledku: x \cdot (x-1)
- vynásobíme jmenovatele původních lomených výrazů a získáme jmenovatele výsledku: (x+1) \cdot x^3
- celkově máme: \frac{x}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x^3} = \frac{x (x-1)}{x^3 (x+1)}
- což ještě můžeme zkrátit na: \frac{x-1}{x^2 (x+1)}
Dělení lomených výrazů
Dělení lomeným výrazem převádíme na násobení převráceným lomeným výrazem.
Příklad: úprava výrazu \frac{1-x}{x}:\frac{x-1}{3x^2}
- Dělení převedeme na násobení převrácenou hodnotou \frac{1-x}{x}\cdot\frac{3x^2}{x-1}
- Vykrátíme \frac{1-x}{\textcolor{#3498db}{x}}\cdot\frac{3x^{\textcolor{#3498db}{2}}}{x-1}= \frac{(1-x)\cdot 3x}{x-1}
- A opět vykrátíme, protože výrazy 1-x a x-1 se liší pouze znaménkem
\frac{(1-x) \cdot 3x}{(x-1)}=\frac{\textcolor{#3498db}{(1-x)} \cdot3x}{\textcolor{#3498db}{(1-x)}\cdot(-1)}=-3x
