Algebraické výrazy a jejich úpravy

Algebraický výraz je tvořen z konstant („čísla“) a proměnných („písmenka“), které jsou dohromady spojeny pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení) a závorek. Proměnná zastupuje čísla z určitého oboru hodnot. Pomocí algebraických výrazů můžeme provádět obecné výpočty.

Základní krok pro práci s algebraickými výrazy je dosazení hodnoty za proměnnou. Častým zdrojem chyb při dosazování jsou „mínuska“, dáváme si na ně tedy obzvlášť pozor (počítání se zápornými čísly může být užitečné zopakovat před dosazováním těchto čísel do výrazů).

Příklad:

Úpravou výrazu vytváříme nový, jednodušší zápis, který má pro všechna dosazená čísla stejnou hodnotu (tzv. ekvivalentní výraz).

Přehled základních úprav výrazů

Slučování členů (sčítání a odčítání)
Sčítat a odečítat můžeme pouze členy se stejnou mocninou proměnné.

3x + 4 + 6x = (3x + 6x) + 4 = 9x + 4

Roznásobování závorek
Číslem nebo proměnnou před závorkou vynásobíme každý člen uvnitř závorky.

3(x + 2) = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3x + 6

Odstranění závorky s mínusem
Mínus před závorkou obrací znaménka u všech členů uvnitř.

1 - (x - 2) = 1 - x + 2 = 3 - x

Vytýkání před závorku
Hledáme společného dělitele členů a napíšeme ho před závorku (opačný postup k roznásobování).

x^2 + 2x = x \cdot x + 2 \cdot x = x(x + 2)

Umocňování dvojčlenu
Využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, případně roznásobíme závorky mezi sebou. (x + 1)^2 = (x + 1)(x + 1) = x^2 + 1x + 1x + 1 = x^2 + 2x + 1

Časté chyby

• Zapomenuté znaménko při odečítání závorky: Výraz 1 - (x - 2) se nerovná 1 - x - 2. Mínus před závorkou mění i druhé znaménko na plus (+2).
• Špatně umocněná závorka: Neplatí, že (x + 1)^2 = x^2 + 1^2. Vždy vznikne i prostřední člen (2ab), tedy správně x^2 + 2x + 1.
• Sčítání různých mocnin: Výraz x^2 + x nelze sečíst na 2x ani na x^3. Různé mocniny téže proměnné nelze sčítat, pouze vytýkat.

Při úpravách výrazů s více proměnnými platí stejná základní pravidla jako u jedné proměnné — výsledný výraz musí mít stejnou hodnotu pro libovolnou kombinaci dosazených čísel.

Příklady úprav

Slučování členů se stejnými proměnnými
Sčítat a odečítat můžeme pouze ty členy, které obsahují naprosto stejné proměnné ve stejných mocninách. 3x + 2y + 4x = (3x + 4x) + 2y = 7x + 2y

Roznásobení závorky
Členem před závorkou vynásobíme každý člen uvnitř závorky.

x(y - 2) = x \cdot y - x \cdot 2 = xy - 2x

Vytýkání před závorku
Hledáme proměnnou nebo číslo, které se opakuje ve více členech, a napíšeme je před závorku. Členy bez tohoto činitele zůstávají vně.

4x - x^2y + 3 = x(4 - xy) + 3

Umocnění dvojčlenu
Při umocňování využíváme vzorec (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Nezapomínáme na smíšený člen 2ab, kde se proměnné násobí mezi sebou.

(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Roznásobení dvou závorek
Roznásobíme každý člen s každým.

(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2

Záludnosti a časté chyby

• Slučování různých proměnných: Výraz 3x + 2y nelze dále sečíst (nestačí napsat 5xy). Pokud jsou proměnné různé, sčítat je nemůžeme.
• Rozdíl v mocninách: Výrazy xy^2 a x^2y nejsou stejné členy a nelze je sečíst. Sčítat můžeme jen stejné mocniny stejných proměnných (např. 2xy^2 + 3xy^2 = 5xy^2).
• Pořadí proměnných v součinu: Součin xy je totéž jako yx. Proto lze sečíst např. 3xy + 2yx = 5xy. Vždy je výhodnější psát proměnné abecedně, abyste tyto dvojice nepřehlédli.

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Krácení zlomku
Dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem. Pokud je v čitateli vícečlen, před krácením z něj nejprve vytkneme společný faktor.

\frac{3x+6}{15} = \frac{3(x+2)}{15} = \frac{x+2}{5}

Součet a rozdíl zlomků
Zlomky nejprve převedeme na společného jmenovatele a následně sečteme nebo odečteme jejich čitatele.

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}

Násobení zlomků
Vynásobíme zvlášť čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

\frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(x+1) \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{x+1}{6}

Dělení zlomků
Dělení nenulovým zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou.

\frac{x}{2} : \frac{3}{4} = \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4x}{6} = \frac{2x}{3}

Lomený výraz je podíl dvou mnohočlenů. Zapisujeme většinou jako zlomek, například \frac{x+2}{x^2-1}. Toto téma dělíme na dvě podtémata:

• Podmínky lomených výrazů – Přesněji řečeno jde o „podmínky, za kterých má daný lomený výraz smysl“. Musíme se jimi zabývat, protože pro takové hodnoty proměnných, pro které výraz ve jmenovateli lomeného výrazu nabývá hodnoty nula, nemá celý lomený výraz smysl.
• Výpočty s lomenými výrazy a jejich úpravy – Ty provádíme podobně, jako když pracujeme se zlomky, jenom musíme mít na paměti, že čitatelé a jmenovatelé jsou u lomených výrazů mnohočleny.

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

• Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
• Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
• Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny. Při úpravách často využíváme úpravy algebraických výrazů.

Krácení lomených výrazů

• Když jsou čitatel i jmenovatel lomeného výrazu vynásobeny stejným výrazem, můžeme tento výraz zkrátit.
• Pozor, krátíme jen při násobení.

Sčítání a odčítání lomených výrazů

• Při sčítání a odčítání lomených výrazů převedeme jmenovatele výrazů na společného jmenovatele.
• Výhodné je najít nejmenšího společného jmenovatele.

Násobení lomených výrazů

Při násobení vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou.

Dělení lomených výrazů

Dělení lomeným výrazem převádíme na násobení převráceným lomeným výrazem.

Označení je stejné jako u dělení čísel:

• dělenec – mnohočlen který dělíme
• dělitel – mnohočlen, kterým dělíme

Při dělení mnohočlenu mnohočlenem postupujeme následovně:

1. Člen s nejvyšší mocninou dělence vydělíme členem s nejvyšší mocninou dělitele, výsledek zapíšeme za rovnítko.
2. Výrazem zapsaným za rovnítko vynásobíme celého dělitele, výsledek násobení napíšeme pod dělence (členy se stejnou mocninou proměnné píšeme pod sebe).
3. Mnohočleny zapsané pod sebou odečteme (členy s nejvyšší mocninou jsou stejné a odečtou se na 0, výsledný rozdíl bude mít nižší stupeň než původní dělenec).
4. Opakujeme body 5.–7., dokud po odečtení příslušných polynomů nevznikne mnohočlen menšího stupně než dělitel.
5. Člen s nejvyšší mocninou ve výrazu, který zůstal po odečtení, vydělíme členem s nejvyšší mocninou dělitele, výsledek píšeme za rovnítko (je to další člen výsledného podílu).
6. Nově získaným členem za rovnítkem vynásobíme celého dělitele, výsledek násobení píšeme pod mnohočlen, který vznikl posledním odčítáním.
7. Mnohočleny zapsané pod sebou odečteme (člen s nejvyšší mocninou se opět odečte).
   
8. Za rovnítkem je výsledek, pod posledním odčítaným mnohočlenem je výsledný zbytek. (Zbytek může být buď nula nebo mnohočlen menšího stupně než dělitel.)

Příklad ukazuje dělení mnohočlenu mnohočlenem: (3x^3-2x^2+x+1) : (x^2-1) Vyjde podíl 3x-2 a zbytek 4x-1, pomocné výpočty a jejich výsledky jsou znázorněny barevně:

Pojmy mnohočleny a polynomy znamenají totéž – algebraické výrazy s jednou nebo více proměnnými, které lze zapsat jako součet jednotlivých členů (jednočlenů), tj. součinů mocnin proměnných vynásobených čísly (koeficienty).

Znak násobení \cdot mezi koeficientem a jednočlenem obvykle vynecháváme, takže například kvadratický člen (s exponentem 2 u proměnné, tj. x^2) a koeficientem 20 20\cdot x^2 zapisujeme jako: 20x^2

Jednočleny a jejich stupně

Příklady jednočlenů s jednou proměnnou:

Příklady jednočlenů s více proměnnými:

Mnohočleny s jednou proměnnou

Mnohočlen s jednou proměnnou (např. x) se dá upravit do následujícího tvaru – uspořádat členy podle stupně proměnné od největšího exponentu po nejmenší a posčítat členy se stejným stupněm:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0

Koeficienty a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0 jsou pro naše účely reálná čísla. Exponenty označují, kolikáté mocniny proměnné se v mnohočlenu vyskytují, tj. jde o čísla n, n-1, \ldots, 1, 0. Stupeň mnohočlenu je nejvyšší ze stupňů jeho jednočlenů, které mají nenulové koeficienty.

Mnohočleny s více proměnnými

Mnohočlen s více než jednou proměnnou se také dá upravit do tvaru, kdy jsou členy uspořádané podle stupně. Můžeme ale posčítat jen takové členy, které mají u každé proměnné stejný exponent. Například při úpravě mnohočlenu se dvěma proměnnými x, y: xy + x^2 + 7xy Člen xy můžeme sečíst se členem 7xy, ale nemůžeme sečíst člen xy se členem x^2. Upravený mnohočlen: 8xy + x^2

Pojem faktoriál používáme nejčastěji při řešení kombinatorických úloh. Faktoriál čísla n je součin všech celých kladných čísel od jedné do n. Platí tedy: n!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n

Speciálně: 0!=1

Častou úpravou výrazů s faktoriály je částečný rozklad faktoriálu na součin několika hodnot a faktoriál menšího čísla.

Faktoriál také používáme pro definici kombinačního čísla. Pro n\geq k\geq 0 platí: \dbinom nk=\dfrac{n!}{k!(n−k)!}

Při úpravách výrazů s kombinačními čísly můžeme kromě faktoriálů použít některý z následujících vztahů:

• Je n možností, jak vybrat jeden z n prvků: \dbinom n1=n
• Je jedna možnost, jak vybrat 0 z n prvků, a také je jedna možnost, jak vybrat všech n z n prvků (pro n=0 to jsou dokonce stejná kombinační čísla): \dbinom nn=\dbinom n0=1 \dbinom 00=1
• Máme stejný počet možností, jak vybrat skupinku k prvků z n prvků, jako je počet možností, jak vybrat n-k prvků, které do skupinky nezařadíme: \dbinom nk=\dbinom n{n-k}
• Vybíráme-li k prvků z n+1, máme tolik možností, jako když sečteme počet možností výběru k a k-1 prvků z n prvků: \dbinom {n+1}k=\dbinom nk+\dbinom n{k-1}