Přejít na cvičení:
Krok po kroku
Přejít na téma:
Lomené výrazy
Zobrazit na celou obrazovku
Procvičujte neomezeně

Váš denní počet odpovědí je omezen. Pro navýšení limitu či přístup do svého účtu s licencí se přihlaste.

Přihlásit se
Zobrazit shrnutí tématu
ENE
Sdílet

QR kód

QR kód lze naskenovat např. mobilním telefonem a tak se dostat přímo k danému cvičení nebo sadě příkladů.

Kód / krátká adresa

Tříznakový kód lze napsat do vyhledávacího řádku, také je součástí zkrácené adresy.

Zkopírujte kliknutím.

ENE
umime.to/ENE

umime.to/ENE

Lomené výrazy

Lomený výraz má tvar zlomku, v jehož jmenovateli je mnohočlen (výraz obsahující celočíselné mocniny proměnné). Příkladem lomeného výrazu je \frac{x+2}{x^2-1}.

Podmínky lomených výrazů

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

  • Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
  • Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}

  • Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
  • Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
  • Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
  • Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
  • Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}

  • Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
  • Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
  • \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
  • x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
  • Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, x \neq 0

Úpravy lomených výrazů

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny.

Příklad: úprava výrazu \frac{3}{4x} + \frac{2}{3x}

  • Převedeme oba výrazy na společný jmenovatel: \frac{9}{12x} + \frac{8}{12x}.
  • Sečteme: \frac{9+8}{12x} = \frac{17}{12x}.

Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}

  • Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce x^2-y^2=(x+y)(x-y).
  • Dostáváme \frac{x+y}{(x+y)(x-y)}.
  • Pokrátíme na \frac{1}{x-y}.
Zavřít

Lomené výrazy (těžké)

Vyřešeno:



NAPIŠTE NÁM

Děkujeme za vaši zprávu, byla úspěšně odeslána.

Napište nám

Nevíte si rady?

Nejprve se prosím podívejte na časté dotazy:

Čeho se zpráva týká?

Vzkaz Obsah Ovládání Přihlášení Licence