Grafy mocninných funkcí

umime.to/G43

Stáhnout QR kód

Grafy základních mocninných funkcí y= x^n

pro n sudé – graf je souměrný podle osy y, D(f)=\R, H(f)=\langle0, \infty)
pro n liché – graf je souměrný podle počátku, D(f)=\R, H(f)=\R

Grafy mocninných funkcí se záporným exponentem y= x^{-n}

pro n sudé – graf souměrný podle osy y, D(f)=\R- \{0\}, H(f)=\langle0, \infty)
pro n liché – graf souměrný podle počátku, D(f)=\R - \{0\}, H(f)=\R - \{0\}

Grafy funkcí y= x^{\frac{1}{n}}:

pro sudé n – funkce y= x^{\frac{1}{n}} definováno na kladných číslech, D(f)=\langle0, \infty), H(f)=\langle0, \infty)
pro liché n – funkce y=x^n je prostá, proto bychom mohli definovat n.tou odmocninu i pro záporná čísla, ale často se (např. jako příprava pro práci s mocninnými funkcemi s obecnějšími racionálními exponenty) všechny n.té odmocniny pro sudá i lichá n definují pro jednoduchost jen na intervalu [0,\infty).

Poznámka: výpočty s mocninami a odmocninami

Při výpočtech s mocninami a odmocninami musíme být obezřetní, hodně pravidel platí pro nezáporný základ (pokud počítáme s odmocninami), případně kladný základ (nulu můžeme odmocňovat, ale nesmíme dělit nulou). Příklady:

součin odmocnin je odmocnina součinu: pro nezáporná čísla jako základy odmocnin pravidlo platí, pokud bychom chtěli použít pro záporný základ, nemusí nám v oboru reálných čísel vycházet smysluplné věci: \sqrt{-2} není definovaná, ale \sqrt{(-2)\cdot(-2)} je \sqrt{4} = 2
racionální exponenty: mělo by x^{\frac{2}{6}} být totéž jako x^{\frac{1}{3}}? Exponent je „stejné racionální číslo“, ale pro záporná x by vycházely u těchto dvou předpisů jiné funkční hodnoty (6. odmocnina ze záporného x není definovaná, 6. odmocnina z druhé mocniny záporného čísla je kladná, a 3. odmocnina z x by pro záporná x byla záporná).
racionální exponenty konkrétněji: čemu by se mělo rovnat (-8)^{\frac{2}{6}}? Máme (-8)^{\frac{1}{3}}=-2, ale zároveň \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2. Můžeme se dostat do potíží, když budeme pravidla, která platí pro mocniny a odmocniny kladných a nezáporných čísel, zkoušet používat i pro záporné základy.

Vliv úprav funkčního předpisu na graf mocninné funkce

Obrázek ukazuje několik úprav funkce y= x^3:

y= (x+2)^3	graf je posunutý ve směru osy x
y=x^3-2	graf je posunutý ve směru osy y
y=\frac{1}{4} x^3	graf bude natažený nebo smrštěný ve směru osy y (v uvedeném grafu se funkční hodnoty zmenší na čtvrtinu, například pro x=2 je hodnota funkce y=\frac{1}{4} \cdot 2^3=2)