Grafy funkcí

Graf funkce $f$ zadané předpisem $y=f(x)$ pro všechna $x$ z množiny $D(f)$ je množina bodů v rovině, jejichž kartézské souřadnice $x, y$ splňují následující podmínky:

• souřadnice $x$ je v definičním oboru funkce $f$ (neboli $x \in D(f)$)
• závislost souřadnice $y$ na $x$ je popsaná funkčním předpisem $y=f(x)$ (pro každé $x$ z $D(f)$ je v grafu právě jeden bod, jeho souřadnice jsou $x$ a $f(x)$)

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru $f(x) = a \cdot x + b$, kde $a$ a $b$ jsou konstanty. Parametr $a$ je směrnice (též nazývaná sklon), parametr $b$ je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:

• Absolutní člen $b$ udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou $y$. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice $a$ udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose $y$ se přímka posune za jednu jednotku na ose $x$“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Grafy lineárních funkcí: zadání
• Grafy lineárních funkcí: řešení

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru $f(x) = ax^2 + bx + c$, kde $a\neq 0$. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci $0{,}5 x^2 + x - 4$:

Průsečíky s osou $x$ jsou řešení kvadratické rovnice $ax^2 + bx + c = 0$. Pro výše uvedený příklad $0{,}5 x^2 + x - 4$ jsou těmito řešeními $x_1 = -4$ a $x_2 = 2$.

Kvadratický koeficient $a$ ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je $a>0$, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je $a<0$, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu $a$ ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen $c$ ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou $y$.

Na obrázku je graf funkce $y=|x|$. Tento graf tvoří dvě polopřímky s počátkem v bodě [0;0], protože pro absolutní hodnotu platí:

• absolutní hodnota kladného čísla je rovna tomuto číslu: $|x|=x$
• absolutní hodnota záporného čísla je rovna opačnému číslu: $|x|=-x$
• absolutní hodnota čísla nula je rovna nule: $|0|=0$

Pokud chceme nakreslit graf funkce $y=|f(x)|$ postupujeme tak, že nakreslíme graf $y=f(x)$ a potom záporné funkční hodnoty nahradíme opačnými. V oblasti, kde jsou funkční hodnoty záporné, se tedy graf překlopí kolem osy $x$.

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami $x$ a $y$.

Asymptota rovnoběžná s osou $y$ prochází bodem, který nepatří do definičního oboru a má tedy rovnici: $x =-\frac{d}{c}$.

Pro nalezení rovnice asymptoty rovnoběžné s osou $x$ vydělíme čitatele a jmenovatele a funkční předpis $y =\frac{ax+b}{cx+d}$ upravíme na tvar $y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}$. Asymptota rovnoběžná s osou $x$ má rovnici: $y =\frac{a}{c}$.

Průsečík grafu s osou $x$ je bod, pro který $ax+b=0$. V tomto bodě je hodnota funkce nulová, tedy čitatel zlomku $\frac{ax+b}{cx+d}$ je nulový.

Průsečík grafu s osou $y$ je bod, který dostaneme dosazením hodnoty $x=0$ do funkčního předpisu.

Grafy základních goniometrických funkcí intuitivně

Grafy goniometrických funkcí s popsanými osami

Funkce sinus $y=\sin x$:

Funkce cosinus $y=\cos x$:

Funkce tangens $y=\tan x$:

Funkce cotangens $y=\cot x$:

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce $\sin x$.

Grafy exponenciálních funkcí

Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy $2$ a $e = 2{,}7182818284\ldots$. Vidíme také, že grafy funkcí $e^x$ a $e^{-x}$ jsou spolu souměrné podle osy $y$.

Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Grafy logaritmických funkcí

Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující $x=y$).

Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy $2, e, 10$.

Značení některých význačných logaritmických funkcí:

Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci

Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce

Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou

Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou

Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy souřadnic v rovině, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje $x$ a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje $y$ a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Přímky $x, y$ se protínají v bodě $[0;0]$.

Přímky $x$ a $y$ jsou souřadné osy, bod $[0;0]$ je počátek soustavy souřadnic.

Příklad: Souřadnice bodu $A$

Bod $A$ na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako $x=1, y=2$, což můžeme zapsat jako $A[1;2]$.

Další příklady souřadnic bodů