Výpis souhrnů
Grafy funkcí
Prohlížíte si souhrny informací k určitým tématům. Systémy Umíme se zaměřují hlavně na jejich procvičování. Ke cvičením k jednotlivým podtématům se dostanete pomocí odkazů níže.
Podtémata
Grafy funkcí
Graf funkce f zadané předpisem y=f(x) pro všechna x z množiny D(f) je množina bodů v rovině, jejichž kartézské souřadnice x, y splňují následující podmínky:
- souřadnice x je v definičním oboru funkce f (neboli x \in D(f))
- závislost souřadnice y na x je popsaná funkčním předpisem y=f(x) (pro každé x z D(f) je v grafu právě jeden bod, jeho souřadnice jsou x a f(x))
Příklad: graf, definiční obor, obor hodnot funkce
Na obrázku je graf funkce y=2x-1 pro x\in \langle -1;3\rangle. Definiční obor je vyznačen na ose x, obor hodnot na ose y.
Grafy lineárních funkcí
Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a \cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:
- Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
- Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se přímka posune za jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.
Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.
Pracovní list
Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:
NahoruGrafy kvadratických funkcí
Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:
Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.
Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:
- Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
- Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
- Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.
Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.
Komiks pro zpestření
Grafy funkcí s absolutní hodnotou
Na obrázku je graf funkce y=|x|. Tento graf tvoří dvě polopřímky s počátkem v bodě [0;0], protože pro absolutní hodnotu platí:
- absolutní hodnota kladného čísla je rovna tomuto číslu: |x|=x
- absolutní hodnota záporného čísla je rovna opačnému číslu: |x|=-x
- absolutní hodnota čísla nula je rovna nule: |0|=0
x > 0 | Grafem funkce y=|x| je polopřímka s počátkem v bodě [0;0] daná rovnicí y=x. |
x < 0 | Grafem funkce y=|x| je polopřímka s počátkem v bodě [0;0] s rovnicí y=-x. |
x = 0 | Bod [0;0] je počátek polopřímek, které vytvoří graf funkce y=|x|. |
Pokud chceme nakreslit graf funkce y=|f(x)| postupujeme tak, že nakreslíme graf y=f(x) a potom záporné funkční hodnoty nahradíme opačnými. V oblasti, kde jsou funkční hodnoty záporné, se tedy graf překlopí kolem osy x.
Příklad 1: graf funkce y=|x-1|
Pro čísla x < 1 má funkce y=x-1 záporné funkční hodnoty. |
Funkce y=|x-1| má v intervalu (-\infty;1) opačné hodnoty než funkce y=x-1 (graf y=|x-1| je vůči grafu y=x-1 v tomto intervalu překlopený podle osy x). |
V intervalu (1;\infty) jsou grafy funkcí y=x-1 a y=|x-1| stejné. |
Příklad 2: graf funkce y=|x^2-4|
V intervalu (-2;2) má funkce y=x^2-4 záporné funkční hodnoty. |
Funkce y=|x^2-4| má v intervalu (-2;2) opačné hodnoty než funkce y=x^2-4 (graf je překlopený podle osy x). |
V intervalech (-\infty;-2) a (2;\infty) jsou grafy funkcí y=x^2-4 a y=|x^2-4| stejné. |
Grafy lineárních lomených funkcí
Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami x a y.
Asymptota rovnoběžná s osou y prochází bodem, který nepatří do definičního oboru a má tedy rovnici: x =-\frac{d}{c}.
Pro nalezení rovnice asymptoty rovnoběžné s osou x vydělíme čitatele a jmenovatele a funkční předpis y =\frac{ax+b}{cx+d} upravíme na tvar y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}. Asymptota rovnoběžná s osou x má rovnici: y =\frac{a}{c}.
Průsečík grafu s osou x je bod, pro který ax+b=0. V tomto bodě je hodnota funkce nulová, tedy čitatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} je nulový.
Průsečík grafu s osou y je bod, který dostaneme dosazením hodnoty x=0 do funkčního předpisu.
Příklad – funkce y =\frac{2x+3}{x+1}
Rozeberme si graf funkce z obrázku výše:
- definiční obor D(f)=\R - \{-1\}, protože x+1\neq0
- asymptota rovnoběžná s osou y má rovnici x =-1 (pro x=-1 není funkce definovaná, toto číslo neleží v jejím definičním oboru)
- asymptota rovnoběžná s osou x má rovnici y =2, což zjistíme úpravou funkčního předpisu: y =\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}
- průsečík grafu s osou x je bod [0;-\frac{3}{2}] (řešení rovnice: 2x+3=0)
- průsečík grafu s osou y je bod [3;0], dosazením hodnoty x=0 do y =\frac{2x+3}{x+1}
Grafy goniometrických funkcí
Grafy základních goniometrických funkcí intuitivně
Všimněte si
- graf které funkce protíná osu y v bodě x=0, y=0? (\sin, \tan)
- graf které funkce protíná osu y v bodě x=0, y=1? (\cos)
- která funkce je definovaná pro všechna x \in \mathbb{R}? (\sin, \cos)
Grafy goniometrických funkcí s popsanými osami
Funkce sinus y=\sin x:
Funkce cosinus y=\cos x:
Funkce tangens y=\tan x:
Funkce cotangens y=\cot x:
Dopad úprav funkce na graf
Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin x.
\sin(x+1) | posun grafu ve směru osy x |
\sin(x)+1 | graf je posunutý ve směru osy y |
\sin 2x | funkce má změněnou délku periody (v uvedeném příkladu je graf „zmáčknutý“ ve směru osy x, funkce má poloviční délku periody oproti \sin x) |
2\sin x | změní se maximální a minimální funkční hodnota (v uvedeném příkladu je graf „roztažený“ ve směru osy y na dvojnásobnou výšku) |
Zajímavost: fyzikální popis některých úprav
\sin(x+1) | graf má posunutou fázi |
2\sin x | změnila se velikost amplitudy |
Grafy exponenciálních a logaritmických funkcí
Grafy exponenciálních funkcí
Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme také, že grafy funkcí e^x a e^{-x} jsou spolu souměrné podle osy y.
Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Grafy logaritmických funkcí
Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).
Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.
Značení některých význačných logaritmických funkcí:
funkce | popis | další možná značení |
---|---|---|
\log_a x | obecně logaritmus x o základu a pro nějaké a >0, a\neq 1 | |
\ln x | přirozený logaritmus x, tj. logaritmus x o základu e | v angl. textech někdy \log x |
\log x | dekadický logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 10 | \log_{10}x |
\log_2 x | binární logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 2 | někdy se objevuje \mathrm{lb}\;x |
Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci

Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce

Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou

Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou

Souřadnice bodů v rovině
Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy souřadnic v rovině, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Přímky x, y se protínají v bodě [0;0].
Přímky x a y jsou souřadné osy, bod [0;0] je počátek soustavy souřadnic.
Příklad: Souřadnice bodu A
Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=1, y=2, což můžeme zapsat jako A[1;2].

Další příklady souřadnic bodů
