Grafy funkcí

Graf funkce f zadané předpisem y=f(x) pro všechna x z množiny D(f) je množina bodů v rovině, jejichž kartézské souřadnice x, y splňují následující podmínky:

• souřadnice x je v definičním oboru funkce f (neboli x \in D(f))
• závislost souřadnice y na x je popsaná funkčním předpisem y=f(x) (pro každé x z D(f) je v grafu právě jeden bod, jeho souřadnice jsou x a f(x))

Lineární funkci můžeme vždy zapsat ve tvaru f(x) = a \cdot x + b, kde a a b jsou konstanty. Parametr a je směrnice (též nazývaná sklon), parametr b je absolutní člen. Grafem lineární funkce je přímka, přičemž platí:

• Absolutní člen b udává „svislý posun“. Je to průsečík přímky s osou y. V uvedených příkladech je vyznačen oranžovou barvou.
• Směrnice a udává sklon přímky, což můžeme vyjádřit jako „o kolik jednotek na ose y se přímka posune za jednu jednotku na ose x“. V uvedených příkladech je směrnice vyznačena žlutou barvou.

Důležitá jsou znamínka (naznačená v obrázcích šipkami). Kladný absolutní člen znamená posun nahoru, záporný absolutní člen znamená posun dolů. Kladná směrnice znamená stoupající přímku, záporná směrnice znamená klesající přímku.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

• Grafy lineárních funkcí: zadání
• Grafy lineárních funkcí: řešení

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:

Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Na obrázku je graf funkce y=|x|. Tento graf tvoří dvě polopřímky s počátkem v bodě [0;0], protože pro absolutní hodnotu platí:

• absolutní hodnota kladného čísla je rovna tomuto číslu: |x|=x
• absolutní hodnota záporného čísla je rovna opačnému číslu: |x|=-x
• absolutní hodnota čísla nula je rovna nule: |0|=0

Pokud chceme nakreslit graf funkce y=|f(x)| postupujeme tak, že nakreslíme graf y=f(x) a potom záporné funkční hodnoty nahradíme opačnými. V oblasti, kde jsou funkční hodnoty záporné, se tedy graf překlopí kolem osy x.

Grafem lineární lomené funkce je hyperbola, která má asymptoty rovnoběžné se souřadnými osami x a y.

Asymptota rovnoběžná s osou y prochází bodem, který nepatří do definičního oboru a má tedy rovnici: x =-\frac{d}{c}.

Pro nalezení rovnice asymptoty rovnoběžné s osou x vydělíme čitatele a jmenovatele a funkční předpis y =\frac{ax+b}{cx+d} upravíme na tvar y =\frac{a}{c}+\frac{n}{ax+b}. Asymptota rovnoběžná s osou x má rovnici: y =\frac{a}{c}.

Průsečík grafu s osou x je bod, pro který ax+b=0. V tomto bodě je hodnota funkce nulová, tedy čitatel zlomku \frac{ax+b}{cx+d} je nulový.

Průsečík grafu s osou y je bod, který dostaneme dosazením hodnoty x=0 do funkčního předpisu.

Grafy základních mocninných funkcí y= x^n

• pro n sudé – graf je souměrný podle osy y, D(f)=\R, H(f)=\langle0, \infty)

• pro n liché – graf je souměrný podle počátku, D(f)=\R, H(f)=\R

Grafy mocninných funkcí se záporným exponentem y= x^{-n}

• pro n sudé – graf souměrný podle osy y, D(f)=\R- \{0\}, H(f)=\langle0, \infty)

• pro n liché – graf souměrný podle počátku, D(f)=\R - \{0\}, H(f)=\R - \{0\}

Grafy funkcí y= x^{\frac{1}{n}}:

D(f)=\langle0, \infty), H(f)=\langle0, \infty)

Vliv úprav funkčního předpisu na graf mocninné funkce

Obrázek ukazuje několik úprav funkce y= x^3:

Grafy základních goniometrických funkcí intuitivně

Grafy goniometrických funkcí s popsanými osami

Funkce sinus y=\sin x:

Funkce cosinus y=\cos x:

Funkce tangens y=\tan x:

Funkce cotangens y=\cot x:

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin x.

Grafy exponenciálních funkcí

Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme také, že grafy funkcí e^x a e^{-x} jsou spolu souměrné podle osy y.

Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Grafy logaritmických funkcí

Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).

Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.

Značení některých význačných logaritmických funkcí:

Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci

Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce

Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou

Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou

Souřadnice bodů většinou zapisujeme pomocí kartézské soustavy souřadnic v rovině, která má jako osy dvě kolmé přímky. Vodorovná přímka se tradičně označuje x a souřadnice podél této osy se zapisuje první. Svislá přímka se tradičně označuje y a souřadnice podle této osy se zapisuje druhá. Přímky x, y se protínají v bodě [0;0].

Přímky x a y jsou souřadné osy, bod [0;0] je počátek soustavy souřadnic.

Příklad: Souřadnice bodu A

Bod A na obrázku je v dané soustavě souřadnic určen jako x=1, y=2, což můžeme zapsat jako A[1;2].

Další příklady souřadnic bodů