Moduly: úvod Přehled po ročnících Přehled učiva Přehled pokrytí RVP Přehled výsledků učení

Mocniny a odmocniny

Typický ročník	8.
Interval vhodných ročníků	7.–9.
Učivo	mocniny, odmocniny, výrazy s mocninami, vědecký zápis čísel, použití mocnin
Předcházející modul	Práce s celými čísly II
Navazující moduly	Kruh a kružnice Pythagorova věta a její aplikace
Bezprostřední výsledky učení	Vysvětlí význam druhé mocniny a odmocniny a určí zpaměti jejich hodnoty pro malá čísla. Určí hodnotu číselného výrazu s mocninami a odmocninami. Rozpozná a využije vlastnosti mocnin (např. násobení mocnin se stejným základem). Využije vědecký zápis při práci s velmi malými nebo velmi velkými čísly.
Související RVP výsledky učení	MAT-MAT-001-ZV9-003 Využívá k řešení problémů desetinná čísla, procenta, mocniny a odmocniny v kontextu reálných situací.

Modul se zaměřuje na porozumění pojmům mocniny a odmocniny a jejich využití při výpočtech i v praktických kontextech. Výuka začíná jednoduchými příklady, jako jsou mocniny deseti nebo druhé mocniny a odmocniny malých čísel, a postupně přechází k obecnějším úlohám a práci s výrazy. Součástí modulu je také vědecký zápis čísel pomocí mocnin a využití mocnin při výpočtech největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku. Důkladné porozumění těmto pojmům tvoří důležitý základ pro další oblasti matematiky – bezprostředně navazuje například výpočet obsahu, objemu, povrchu těles nebo práce s Pythagorovou větou.

Bloky a dosažený postup

Seznam Náhledy

1. Mocniny a odmocniny: základní představa Splněno základních cvičení: 0/5

Tento blok doporučujeme řešit.

2. Mocniny Splněno základních cvičení: 1/6

3. Odmocniny Splněno základních cvičení: 0/5

4. Mocniny a odmocniny, těžší příklady Splněno základních cvičení: 0/7

5. Výrazy s mocninami a odmocninami Splněno základních cvičení: 0/7

6. Využití mocnin Splněno základních cvičení: 0/3

7. Opakování Splněno základních cvičení: 0/6

1. Mocniny a odmocniny: základní představa

2. Mocniny

Mocniny

Souhrn tématu

Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:

3^2 = 3\cdot 3 = 9
2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Tabulka druhých mocnin čísel 1 až 20

1^2=12^2=43^2=94^2=165^2=256^2=367^2=498^2=649^2=8110^2=10011^2=12112^2=14413^2=16914^2=19615^2=22516^2=25617^2=28918^2=32419^2=36120^2=400

Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.

(-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
(-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
(-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0?

3. Odmocniny

Odmocniny

Souhrn tématu

Odmocňování v matematice je částečně inverzní (opačnou) operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové nezáporné číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}.

Příklady druhých odmocnin

\sqrt{9} = 3, protože 3^2 = 9
\sqrt{25} = 5, protože 5^2 = 25
\sqrt{100} = 10, protože 10^2 = 100

Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^n = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}.

Příklady obecných odmocnin

\sqrt[3]{125} = 5, protože 5^3 = 125
\sqrt[5]{32} = 2, protože 2^5 = 32
\sqrt[4]{10 000} = 10, protože 10^4 = 10 000

Odmocňování má i geometrický význam. Pokud máme čtverec o obsahu S, pak tento čtverec má délku strany rovnou druhé odmocnině \sqrt{S}. Pokud máme krychli o objemu V, pak tato krychle má délku hranu rovnou třetí odmocnině \sqrt[3]{V}. Odmocniny hojně využijeme například při aplikaci Pythagorovy věty.

Graf funkce odmocnina

Příklady odmocnin ze záporných čísel

4. Mocniny a odmocniny, těžší příklady

5. Výrazy s mocninami a odmocninami

Výrazy s mocninami a odmocninami

Souhrn tématu

Pro mocniny platí následující vztahy:

x^0 = 1
x^a \cdot x^b = x^{a+b}
x^a : x^b = x^{a-b}
(x^a)^b = x^{a\cdot b}
(x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:

7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
(5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
(7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):

\sqrt{0} = 0
\sqrt{1} = 1
\sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
\sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
\sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
\sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Příklady:

6. Využití mocnin

Vědecký zápis čísel

Souhrn tématu

Vědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:

5 5\cdot 10^0 0,4 4\cdot 10^{-1} 8100 8{,}1\cdot 10^{3} 0,032 3{,}2\cdot 10^{-2} 8 713 000 000 8{,}713\cdot 10^{9} 0,000 000 009 52 9{,}52\cdot 10^{-9}

7. Opakování

Mocniny a odmocniny