Goniometrické funkce (Trigonometrické funkce)

Goniometrické funkce můžeme v pravoúhlém trojúhelníku vyjádřit následovně:

• Sinus (\sin) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Kosinus (\cos) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha a délky přepony.
• Tangens (\tan) úhlu \alpha je poměr délky odvěsny protilehlé úhlu \alpha a délky odvěsny přilehlé úhlu \alpha.

Často používané hodnoty goniometrických funkcí ilustruje tento obrázek jednotkové kružnice – x-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \cos z daného úhlu, y-ová souřadnice bodu odpovídá hodnotě \sin z daného úhlu.

Pro goniometrické funkce platí celá řada vztahů a vzorců. Výběr těch základních:

• Záporné hodnoty úhlů:
  • \sin(-x) = -\sin(x) (lichá funkce)
  • \cos(-x) = \cos(x) (sudá funkce)
  • \tan(-x) = -\tan(x) (sudá funkce)
• Posuny:
  • \sin(x+2\pi) = \sin(x) (perioda 2\pi)
  • \sin(x+\pi) = -\sin(x)
  • \sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos(x)
• Součtové vzorce goniometrických funkcí:
  • \sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
  • \sin(x-y) = \sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)
  • \cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)
  • \cos(x-y) = \cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)
• Dvojnásobný argument:
  • \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)
  • \cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)
  • \tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}

Pro obě funkce \sin(x) a \cos(x) platí:

• definiční obor je množina reálných čísel,
• obor hodnot je interval \langle -1, 1 \rangle,
• funkce je omezená,
• funkce je periodická s periodou 2\pi,
• funkce není prostá.

Pro funkci \sin(x) platí:

• je lichá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.

Pro funkci \cos(x) platí:

• je sudá,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.

Pro funkci \tan(x) platí:

• definiční obor je \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
• obor hodnot je množina reálných čísel,
• funkce je lichá,
• funkce je periodická s periodou \pi,
• funkce je neomezená,
• nulové hodnoty nabývá v bodech x=k\pi.

Grafy základních goniometrických funkcí

Dopad úprav funkce na graf

Obrázek ukazuje grafy několika úprav funkce \sin(x).