Pokročilé počítání se zlomky

Mezi pokročilejší výpočty se zlomky patří jejich umocňování a použití v algebraických výrazech a rovnicích.

Umocňování a odmocňování zlomku

Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)

Umocňování na zlomek

Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Příklady:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Úpravy výrazů se zlomky provádíme stejnými základními postupy jako ostatní úpravy výrazů, pouze při tom používáme navíc operace specifické pro zlomky, např. krácení zlomků, sčítání a odčítání zlomků, násobení a dělení zlomků. Příklady úprav:

Krácení zlomku
Dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem. Pokud je v čitateli vícečlen, před krácením z něj nejprve vytkneme společný faktor.

\frac{3x+6}{15} = \frac{3(x+2)}{15} = \frac{x+2}{5}

Součet a rozdíl zlomků
Zlomky nejprve převedeme na společného jmenovatele a následně sečteme nebo odečteme jejich čitatele.

\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6}

Násobení zlomků
Vynásobíme zvlášť čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem.

\frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(x+1) \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{x+1}{6}

Dělení zlomků
Dělení nenulovým zlomkem převedeme na násobení jeho převrácenou hodnotou.

\frac{x}{2} : \frac{3}{4} = \frac{x}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4x}{6} = \frac{2x}{3}

Rovnice se zlomky řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom používáme operace se zlomky.

Často se můžeme operacím se zlomky vyhnout tak, že celou rovnici nejprve roznásobíme společným násobkem všech jmenovatelů zlomků.