Výrazy a rovnice II

U lomených výrazů je potřeba brát v potaz podmínky, za kterých má smysl. Lomený výraz má smysl pro všechny hodnoty proměnných, pro něž je výraz ve jmenovateli různý od nuly. Příklady:

• Výraz \frac{x+5}{x-3} má smysl pro x \neq 3.
• Výraz \frac{x^3}{x^2-1} má smysl pro x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, protože x^2-1 = 0 pro hodnoty -1 a 1.
• Výraz \frac{x^3}{x^2+1} má smysl pro všechna reálná čísla, protože x^2+1 je vždy větší než nula.

Určit, kdy je výraz různý od nuly nemusí být úplně snadné. Pro ilustraci uveďme těžší příklad výrazu s obecným kvadratickým jmenovatelem (mohou se hodit poznatky z kvadratických rovnic a grafy kvadratických funkcí).

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{x^2+kx+3}

• Výraz má smysl pokud x^2+kx+3 \neq 0.
• Diskriminant kvadratické rovnice x^2+kx+3 = 0 pro proměnnou x je k^2-12.
• Uvedená kvadratická rovnice má jedno nebo dvě řešení x_1=\frac{-k+\sqrt{k^2-12}}{2}, x_2=\frac{-k-\sqrt{k^2-12}}{2} pro k^2-12 \geq 0, tedy pro k \leq -\sqrt{12} nebo k \geq \sqrt{12}.
• Lomený výraz má smysl, když jeho jmenovatel není roven nule, tedy když kvadratická rovnice nemá žádné řešení nebo x není rovno řešení této rovnice.
• Celkově má výraz \frac{1}{x^2+kx+3} smysl pokud k \in (-\sqrt{12},\sqrt{12}) nebo x \notin \{ x_1,x_2\}.

Určení podmínek lomeného výrazu \frac{1}{\frac{x-3}{x}}

• Výraz má smysl, pokud žádný zlomek nemá nulový jmenovatel.
• Jedná se o zlomek \frac{1}{\frac{x-3}{x}} se jmenovatelem \frac{x-3}{x} a také o zlomek \frac{x-3}{x} se jmenovatelem x.
• \frac{x-3}{x} by bylo rovno nule pro x=3.
• x by bylo rovno nule přímo pro x=0.
• Takže celkově podmínky, za kterých má smysl výraz ze zadání, jsou: x \neq 3, x \neq 0

S lomenými výrazy počítáme podobně jako se zlomky, pouze musíme úpravy provádět s mnohočleny. Při úpravách často využíváme úpravy algebraických výrazů.

Krácení lomených výrazů

• Když je čitatel i jmenovatel lomeného výrazu vynásobený stejným výrazem, můžeme tento výraz zkrátit.
• Pozor, krátíme jen při násobení.

Příklad: úprava výrazu \frac{x+y}{x^2-y^2}

• Jmenovatel rozepíšeme pomocí vzorce: x^2-y^2=(x+y)(x-y)
• Dostáváme: \frac{\textcolor{#3498db}{x+y}}{\textcolor{#3498db}{(x+y)}(x-y)}
• Pokrátíme na: \frac{1}{x-y}

Příklad: nesprávná úprava výrazu \frac{x-2}{x^2-4}

• Nesprávným krokem by bylo vykrácení x, tedy například \frac{x-2}{x^{2}-4} nelze upravit na \frac{-2}{x-4}, protože x zde nemůžeme z čitatele a jmenovatele vytknout.
• Správným postupem je rozložení jmenovatele na součin \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} a dále pokrácení \frac{\textcolor{#3498db}{x-2}}{\textcolor{#3498db}{(x-2)}(x+2)}=\frac{1}{x+2}.

Soustava dvou rovnic o dvou neznámých je podobná jako základní rovnice, jen máme místo jedné proměnné x navíc i proměnnou y a rovnice jsou dvě. Podobně jako rovnice o jedné proměnné může mít celou řadu různých typů, i dvě rovnice o dvou neznámých mohou být lineární, kvadratické, logaritmické a jiné. Většinou se však procvičují pouze základní lineární rovnice. Pokud totiž dobře zvládneme jejich řešení, můžeme naučené postupy použít i na složitější rovnice. Základní metody řešení soustavy dvou rovnic jsou dosazovací metoda a sčítací metoda.

Dosazovací metoda

Při řešení dosazovací metodou vyjádříme z jedné rovnice jednu neznámou pomocí druhé. Toto vyjádření pak dosadíme do druhé rovnice, čímž dostaneme obyčejnou jednu rovnici o jedné neznámé. Ukázka postupu na uvedeném příkladě:

Sčítací metoda

Při řešení sčítací metodou sečteme (či odečteme) odděleně levé a pravé strany obou rovnic. Tato úprava vede k cíli, pokud nám při této operaci jedna z proměnných vypadne. V některých případech je proto nutné nejdříve jednu z rovnic vynásobit vhodným číslem. V případě naší ukázkové soustavy stačí rovnice prostě sečíst. Tím dostaneme 3x = 9, odtud x=3 a dosazením pak již dopočítáme y.