Úlohy s rovnicemi

Rovnice jsou velmi obecný nástroj, kterým v matematice řešíme spoustu problémů. V tomto tématu nabízíme procvičení některých obecných dovedností souvisejících s využitím rovnic při řešení problémů. Dále pak nabízíme procvičení na několika klasických typech slovních úloh.

Při řešení slovních úloh často potřebujeme matematicky vyjádřit vztahy mezi proměnnými a zapsat textové zadání pomocí rovnice nebo algebraického výrazu. Místo hledání jednoho konkrétního čísla vytváříme vzorec, který popisuje celou situaci.

Klíčem k úspěšnému zápisu je rozložit text na jednotlivé dílčí složky, vyjádřit je pomocí proměnných a následně je spojit odpovídajícími matematickými operacemi.

V zadání slovních úloh typicky nemáme žádné jasně uvedené neznámé – vymyslet vhodné neznámé je většinou důležitou součástí úkolu.

Pro snadnější trénink uvádíme v tomto uzlu úlohy, kde ve formulaci zadání jsou neznámé jasně označeny a úkolem je „jen“ přepsat text do rovnice.

Ukázkové zadání takové úlohy: Napouštění bazénu trvalo 6 hodin, voda přitékala dvěma trubkami. První trubkou přitékalo 300 litrů vody za hodinu, druhou x litrů vody za hodinu. Chceme zapsat rovnici pro celkový objem bazénu y.

Řešení: 6 \cdot (300 + x) = y

Při řešení slovních úloh a fyzikálních vzorců často potřebujeme vyjádřit jednu konkrétní neznámou ze vzorce obsahujícího více proměnných. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.

Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů.

Pokud se hledaná neznámá vyskytuje ve více členech, musíme ji nejprve dostat na jednu stranu rovnice a následně vytknout.

Slovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že vypravěč si myslí tajné číslo, řekne o něm několik podmínek (operací) a úkolem je toto číslo odhalit.

K řešení využíváme dvě základní strategie:

• Zpětný postup – postupujeme od výsledku zpět k začátku a provádíme opačné matematické operace (sčítání měníme na odčítání, násobení na dělení a naopak).
• Sestavení rovnice – neznámé číslo označíme proměnnou (např. x) a podmínky ze zadání zapíšeme jako rovnici.

Příklad úlohy: Myslím si číslo. Když od něj odečtu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?

Úlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých kombinujeme dva typy prvků s různými vlastnostmi (případně i více než dva). Může jít o míchání ořechů s různou cenou, slévání roztoků o různé koncentraci, nebo o skupiny zvířat s různou hmotností.

Základní princip řešení je vždy stejný: součet hodnot jednotlivých složek se rovná hodnotě celé směsi. Pro přehlednost si údaje ze zadání obvykle zapisujeme do tabulky a následně sestavíme rovnici.

Příklad úlohy o směsi: V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera skupina 60 tučňáků objevila obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?

Úlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých vystupuje více „pracantů“ (lidé, stroje, přítoky vody) vykonávajících stejnou práci různou rychlostí. Naším úkolem bývá určit, jak dlouho jim bude práce trvat společně, případně jaký výkon má některý z nich.

Základní princip řešení spočívá ve dvou krocích:

1. Celou hotovou práci vyjádříme jako jeden celek (číslo 1).
2. Určíme, jakou část práce udělá každý jednotlivec za 1 jednotku času – to odpovídá zlomku \frac{1}{t}. Tyto dílčí výkony pak sčítáme.

Příklad úlohy o společné práci: Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?

Úlohy o pohybu jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých zkoumáme vztah mezi dráhou, rychlostí a časem. Základem pro jejich řešení je přirozený vztah, který říká, že uražená dráha je součin rychlosti a času stráveného na cestě. Matematicky to zapisujeme s=v\cdot t, kde s je dráha, v je rychlost a t je čas.

Nejčastěji se potkáváme se dvěma základními situacemi:

• Pohyb proti sobě (setkání): Dvě tělesa vyrazí z různých míst proti sobě. V momentě setkání je součet jimi ujetých drah roven celkové počáteční vzdálenosti (s_1 + s_2 = s).
• Pohyb za sebou (dohánění): Rychlejší těleso dohání pomalejší (které vyrazilo dřív nebo má náskok). V momentě setkání urazila obě tělesa ze stejného startu stejnou dráhu (s_1 = s_2), případně se ujetá dráha liší o původní náskok.

U těchto úloh si musíme vždy dobře hlídat správné jednotky. Pokud je rychlost v km/h, čas musí být v hodinách a dráha v kilometrech.

Úlohy o pohybu řešíme pomocí rovnic. Při řešení složitějších zadání (např. když jedno těleso vyrazí s časovým zpožděním) pomáhá nakreslení náčrtku dráhy.

Příklad: Hrad Stará Hůrka a zámek Nová Dírka jsou od sebe vzdáleny 180 km. Ze Staré Hůrky vyjede rytíř na koni rychlostí 20 km/h. Ve stejný okamžik vyrazí ze zámku naproti němu dračí kurýr rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho se potkají a kolik kilometrů do té doby ujede rytíř?