Úlohy s rovnicemi

Myslím si číslo. Když od něj odečtu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?

Řešení:

• v tomto příkladě můžeme k původnímu myšlenému číslu dojít tak, že postupně odebereme provedené operace (začneme od nejpozdější, tj. dělení dvěma)
• před dělením dvěma jsme měli číslo 2\cdot 2 = 4
• číslo 4 vzniklo jako výsledek odečtení čísla 6 od myšleného čísla ? - 6 = 4
• takže myšlené číslo bylo 10

V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera objevilo 60 tučňáků obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?

Řešení:

• označíme si počet tučnáků císařských x
• počet tučňáků kroužkových je pak 60-x
• napíšeme si rovnici pro celkovou váhu tučňáků na váze v kg: 35 \cdot x + 5 \cdot (60-x) = 840
• levou stranu rovnice upravíme: 30x + 300 = 840
• odečteme od obou stran 300 a potom obě strany vydělíme 30, dostaneme: x = 18
• takže tučňáků císařských je 18 a tučňáků kroužkových je 60-18=42

Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?

Řešení:

• označme si počet minut, který by jim společně trvalo okopat záhon x
• rychlost Nevilla v okopávání záhonů je \frac{1}{40} (1 záhon za 40 minut)
• rychlost Draca v okopávání záhonů je \frac{1}{24} (1 záhon za 24 minut)
• jejich společná rychlost je \frac{1}{40} + \frac{1}{24} (což odpovídá 1 záhonu za x minut)
• máme tedy rovnici: \frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{1}{x}
• na levé straně je po převedení na společného jmenovatele 120 a sečtení zlomek \frac{3+5}{120}, tedy \frac{8}{120}, to je \frac{1}{15}.
• je tedy \frac{1}{15} = \frac{1}{x}, tj. x=15
• společně by Neville a Draco okopali záhon za 15 minut