Výpis souhrnů
Úlohy s rovnicemi
Podtémata
Úlohy s rovnicemi
Rovnice jsou velmi obecný nástroj, kterým v matematice řešíme spoustu problémů. V tomto tématu nabízíme procvičení některých obecných dovedností souvisejících s využitím rovnic při řešení problémů. Dále pak nabízíme procvičení na několika klasických typech slovních úloh.
| téma | popis typu úloh / ilustrační příklad |
|---|---|
| Zápis zadání pomocí rovnice | rozcvička na řešení úloh: přepis textu zadání do tvaru rovnice |
| Vyjádření neznámé z rovnice | trénink obecného postupu, jak ze zápisu rovnice dostat to, co nás zajímá |
| Myslím si číslo | Myslím si číslo. Když od něj odečtu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2… |
| Úlohy o směsích | Teta dělá tyčinky vážící 9 gramů a kuličky vážící 6 gramů, celkem udělala 300 kusů vážích 2400 gramů… |
| Společná práce | Petr a Pavel společně natírají plot, Petr by plot sám natřel za 6 hodin… |
| Úlohy s pohybem | Jana vyrazila pěšky za babičkou, Alena o hodinu později na kole… |
Vyjádření neznámé z rovnice
Často máme rovnici s několika neznámými a potřebujeme vyjádřit jednu z nich. Typicky na takovou situaci narazíme ve fyzice. Máme třeba vzorec pro výpočet dráhy na základě času: s = \frac{1}{2}gt^2. Z této rovnice chceme vyjádřit čas v závislosti na dráze, tj. t = \sqrt{\frac{2s}{g}}.
Při řešení tohoto problému používáme stejné postupy jako při řešení rovnic s číselnými koeficienty, pouze místo přímých výpočtů provádíme úpravy výrazů.
Řešený příklad
| Máme vyjádřit a z rovnice: | c-(a+b)=2b |
| Zbavíme se závorky: | c-a-b=2b |
| Převedeme všechny proměnné krom a na druhou stranu: | -a=3b-c |
| Vynásobíme -1: | a=c-3b |
Myslím si číslo
Slovní úlohy typu „myslím si číslo“ spočívají v tom, že si vypravěč myslí tajné číslo, řekne nám o něm informaci a my musíme číslo odhalit.
Příklad: jaké číslo si myslím?
Myslím si číslo. Když od něj odečtu 6 a výsledek vydělím dvěma, dostanu 2. Jaké číslo si myslím?
Řešení:
- v tomto příkladu můžeme k původnímu myšlenému číslu dojít tak, že postupně odebereme provedené operace (začneme od nejpozdější, tj. dělení dvěma)
- před dělením dvěma jsme měli číslo 2\cdot 2 = 4
- číslo 4 vzniklo jako výsledek odečtení čísla 6 od myšleného čísla ? - 6 = 4
- takže myšlené číslo bylo 10
Jednoduché úlohy tohoto typu lze řešit úvahou z hlavy. Pro složitější úlohy se hodí zapsat úlohu pomocí rovnice.
NahoruÚlohy o směsích
Úlohy o směsích jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých pracujeme se směsí dvou (nebo více) typů objektů, které mají trochu jiné vlastnosti. Může jít o směs roztoků, čokolád, zeleniny nebo třeba tučňáků.
Příklad úlohy o směsích: tučňáci
V Antarktidě žijí vedle sebe tučňáci císařští, kteří váží 35 kilogramů, a menší tučňáci kroužkoví, ti váží pouze 5 kilogramů. Včera objevilo 60 tučňáků obrovskou starou váhu ze ztroskotané nákladní obchodní lodi. Když na ni všichni vlezli, váha ukázala 840 kilogramů. Kolik bylo v objevitelské tučňáčí bandě tučňáků kroužkových?
Řešení:
- označíme si počet tučňáků císařských x
- počet tučňáků kroužkových je pak 60-x
- napíšeme si rovnici pro celkovou váhu tučňáků na váze v kg: 35 \cdot x + 5 \cdot (60-x) = 840
- levou stranu rovnice upravíme: 30x + 300 = 840
- odečteme od obou stran 300 a potom obě strany vydělíme 30, dostaneme: x = 18
- takže tučňáků císařských je 18 a tučňáků kroužkových je 60-18=42
Úlohy o směsích řešíme pomocí rovnic.
NahoruSpolečná práce
Úlohy o společné práci jsou speciální typ slovních úloh, ve kterých typicky vystupuje několik pracantů a máme za úkol určit, jak dlouho by jim trvala práce společně.
Příklad: okopávání záhonu
Na hodině bylinkářství v kouzelnické škole v Bradavicích žáci okopávali záhony s mandragorami. Nevillovi trvalo okopání záhonu 40 minut, Draco Malfoy zvládl stejně velký záhon za 24 minut. Kolik minut by jim trvalo okopání záhonu, kdyby na něm pracovali společně?
Řešení:
- označme si počet minut, který by jim společně trvalo okopat záhon x
- rychlost Nevilla v okopávání záhonů je \frac{1}{40} (1 záhon za 40 minut)
- rychlost Draca v okopávání záhonů je \frac{1}{24} (1 záhon za 24 minut)
- jejich společná rychlost je \frac{1}{40} + \frac{1}{24} (což odpovídá 1 záhonu za x minut)
- máme tedy rovnici: \frac{1}{40} + \frac{1}{24} = \frac{1}{x}
- na levé straně je po převedení na společného jmenovatele 120 a sečtení zlomek \frac{3+5}{120}, tedy \frac{8}{120}, to je \frac{1}{15}.
- je tedy \frac{1}{15} = \frac{1}{x}, tj. x=15
- společně by Neville a Draco okopali záhon za 15 minut
Úlohy o společné práci řešíme za využití nepřímé úměry a zlomků.
Nahoru
