Poměry

Poměr dvou nebo více kladných čísel je vztah jejich velikostí.

V úvodním procvičování se setkáme s pojmy jako poměr v základním tvaru, postupný poměr, převrácený poměr a zjistíme, jaký je rozdíl mezi poměrem a zlomkem.

Nejjednodušší použití poměru je rozdělení čísla na části a změna (zmenšení nebo zvětšení) čísla v zadaném poměru. Následují pokročilejší výpočty s poměry, které zahrnují i slovní úlohy vedoucí na řešení rovnic.

Měřítko mapy je speciální případ poměru. S poměry dále souvisí téma podobnost v geometrii.

Poměr dvou kladných hodnot, např. 2:4, vyjadřuje vztah jejich velikostí.

• Dědeček našel 10 hřibů a 1 bedlu. Poměr počtu hřibů ku počtu bedel v dědečkově košíku je 10:1.

Podobně jako u zlomků můžeme poměry krátit a rozšiřovat kladnými čísly.

• Poměr počet hřibů ku počtu bedel 10:1 může být zrovna tak vyjádřen jako 20:2 nebo 1:0{,}1.

Poměr, který je vyjádřen dvěma celými čísly a nejde už víc zkrátit, je v základním tvaru.

• Základní tvar poměru 2:4 je 1:2.

Lze zapsat i poměr více než dvou hodnot, pak jde o postupný poměr.

• Kedlubny, ředkvičky a mrkve nám na zahrádce vyrostly v poměru 2 : 10 : 11.

Převráceným poměrem k poměru a:b myslíme poměr b:a.

• Poměr objemů sirupu a vody v nápoji je 1:10, převrácený poměr 10:1 značí poměr objemů vody ku sirupu.

Jaký je rozdíl mezi poměrem a zlomkem? Poměr popisuje vztah dvou částí. Zlomek je část z celku.

Změna čísla

Změna čísla v zadaném poměru a:b je vynásobení čísla odpovídajícím zlomkem \frac{a}{b}.

• Pokud je a < b a tedy \frac{a}{b}<1, budeme číslo zmenšovat.
• Pokud je a > b a tedy \frac{a}{b}>1, budeme číslo zvětšovat.

Příklad: Změna čísla 10 v poměru 2:5 znamená vynásobení čísla 10 zlomkem \frac{2}{5}. Vyjde nám číslo 4.

Rozdělení čísla

Rozdělení čísla v zadaném poměru a:b znamená rozdělení čísla na dvě části, které jsou v poměru a:b.

Příklad: Rozdělte číslo 30 v poměru 2:3. Celkem budeme rozdělovat na 2+3=5 dílů. Jeden díl je tedy roven \frac{30}{5}=6. Výsledná čísla jsou rovna 2 dílům, tj. 2\cdot 6= 12, a 3 dílům, tj. 3\cdot 6=18. Rozdělili jsme číslo 30 v poměru 2:3 na 12 a 18.

Výpočty při znalosti součtu (rozdílu)

Hledáme dvě čísla, když známe jejich poměr a známe jejich součet (případně rozdíl, součin, nebo nějaký jiný výraz). V takovém případě nám většinou pomůže spočítat si nejdříve čemu odpovídá jeden díl v poměru. Pokračujeme obvykle výpočtem hledaných čísel podle toho, kolika dílům v poměru odpovídá první a druhé číslo.

Příklad: Poměr nabitých a vybitých baterií v Gargamelově detektoru šmoulů je 1:4. Vybitých baterií je přitom o 6 více než nabitých. Jaké jsou počty nabitých a vybitých baterií?

Nejdříve si spočítáme, kolika bateriím odpovídá jeden díl. Víme, že vybitých baterií je o 6 více než nabitých. Vybitých baterií jsou přitom 4 díly a nabitých 1 díl, takže vybitých je o 4-1=3 díly více než nabitých. Takže 3 díly odpovídají 6 bateriím. Jeden díl odpovídá \frac{6}{3}=2 bateriím. Gargamel tedy má 2 nabité baterie a 4 \cdot 2 = 8 vybitých baterií.

Výsledek: Gargamel má dvě nabité a osm vybitých baterií.

Výpočty pomocí rovnic

Pokud už se vyznáme v řešení rovnic, můžeme při řešení využít zápisu pomocí dvou rovnic pro dvě neznámé.

• První rovnici zapíšeme ze známého poměru.
• Druhou rovnici zapíšeme z informace o hodnotě součtu (nebo rozdílu, součinu, atd.).

Příklad (těžší příklad pro ty, kteří už znají rovnice a obvod kruhu): Víme, že poloměry dvou kruhů jsou v poměru 2 : 5 a že součet jejich obvodů je 70 \pi. O jaké poloměry jde?

Označíme si poloměry a a b a zapíšeme si rovnice. Známe poměr a : b = 2 : 5, takže máme první rovnici \frac{a}{b}=\frac{2}{5}. Součet obvodů kruhů o poloměrech a,b je roven 2a\cdot \pi + 2b\cdot \pi. Tento součet známe, takže druhá rovnice zní 2(a+b)\cdot\pi = 70 \pi.

Řešíme soustavu rovnic. První rovnici vynásobíme 5b (má smysl pro b\neq 0) a dostaneme 5a=2b. Vydělíme druhou rovnici kladným číslem 2\pi a dostaneme a+b=35. Vyjádříme a z druhé rovnice a dosadíme do první. 5\cdot(35-b)=2b. Zjednodušíme a vypočítáme b. 175= 7b, tedy b=25. Spočítáme druhý poloměr a=35-b=10.

Výsledné poloměry kruhů jsou a=10,b=25.

Měřítko mapy je speciální případ poměru. Jde o poměr, ve kterém je obraz krajiny na mapě ku krajině ve skutečnosti.

Příklady

• Mapa s měřítkem 1 : 10\,000. Centimetr na této mapě odpovídá 10\,000\ \text{cm} = 100\ \text{m} ve skutečnosti.
• Nákres, na kterém je délka pětimetrové sochy 2\ \text{cm}, má měřítko 2 : (100\cdot 5) = 2 : 500 = 1 : 250.