
Mocniny a odmocniny
Mocniny a odmocniny
Umocňování je opakované násobení. Například 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243. Odmocňování je opačnou operací k umocňování. Například druhá odmocnina z 36 je 6 (\sqrt{36}=6), protože 6^2 = 6\cdot 6 = 36. Mocniny a odmocniny využíváme v mnoha oblastech matematiky, například při práci s mnohočleny, řešení kvadratických rovnic, výpočtu obsahu a objemu nebo při určování délek stran v trojúhelníku.
Prvním krokem pro zvládnutí tohoto tématu jsou základní mocniny a odmocniny, kde pracujeme s malými, přirozenými čísly. Pro tato čísla se vyplatí se naučit základní mocniny a odmocniny zpaměti, protože na ně často v matematice narazíme.
Jako další krok potřebujeme zvládnout pracovat s výrazy s mocninami a odmocninami.
Umocňování je možné definovat i pro záporný mocnitel. Tento způsob umocňování se využívá pro vědecký zápis čísel, který nám umožňuje přehledně pracovat s velmi velkými či velmi malými čísly, díky čemuž má hojné využití ve fyzice.
Umocňování a odmocňování můžeme přirozeně používat i ve spojitosti se zlomky a desetinnými čísly.
Mocniny jsou zkráceným zápisem opakujícího se násobení. Příklady:
- 3^2 = 3\cdot 3 = 9
- 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
- 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625
Při umocňování záporných čísel je výsledek kladný pro sudé mocniny, záporný pro liché mocniny.
- (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
- (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
- (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81
Nultá mocnina jakéhokoliv čísla je 1 (např. 5^0=1, 564^0=1). Nula umocněna na libovolné číslo je 0 (např. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). Což vede na zajímavou otázku: Čemu se rovná 0^0?
Odmocniny
Odmocňování v matematice je částečně inverzní (opačnou) operací k umocňování. Druhá odmocnina z čísla x je takové nezáporné číslo a, pro které platí a^2 = x. Druhou odmocninu značíme \sqrt{x}. Příklady:
- \sqrt{9} = 3, protože 3^2 = 9
- \sqrt{25} = 5, protože 5^2 = 25
- \sqrt{100} = 10, protože 10^2 = 100
Obecně pak n-tá odmocnina z x je takové číslo a, pro které platí a^n = x, n-tou odmocninu značíme \sqrt[n]{x}. Příklady:
- \sqrt[3]{125} = 5, protože 5^3 = 25
- \sqrt[5]{32} = 2, protože 2^5 = 32
- \sqrt[4]{10000} = 10, protože 10^4 = 10000
Odmocňování má i geometrický význam. Pokud máme čtverec o obsahu S, pak tento čtverec má délku strany rovnou druhé odmocnině \sqrt{S}. Pokud máme krychli o objemu V, pak tato krychle má délku hranu rovnou třetí odmocnině \sqrt[3]{V}. Odmocniny hojně využijeme například při aplikaci Pythagorovy věty.
Graf funkce odmocnina

Odmocnina a záporná čísla
Když hledáme odmocninu třeba z 25, tak hledáme číslo, které po umocnění dá 25. To splňuje 5\cdot 5, ale také (-5)\cdot (-5). Odmocnina je však definována jako nezáporné číslo, takže \sqrt{25} = 5.
Druhou odmocninu můžeme počítat pouze z kladných čísel, protože jakékoliv číslo umocněné na druhou je kladné. Odmocnina ze záporných čísel není definována. Nebo vlastně je, ale to musíme zavést komplexní čísla (což je velice zajímavý a užitečný nástroj, ale trochu pokročilý a ten tu nebudeme rozebírat).
Pro běžná reálná čísla můžeme počítat odmocniny za záporných čísel pro liché stupně n. Například:
- \sqrt[3]{-8} = -2, protože (-2)^3 = -8
- \sqrt[5]{-100000} = -10, protože (-10)^5 = -100000
Výrazy s mocninami a odmocninami
Pro mocniny platí následující vztahy:
- x^0 = 1
- x^a \cdot x^b = x^{a+b}
- x^a : x^b = x^{a-b}
- (x^a)^b = x^{a\cdot b}
- (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a
Konkrétní příklady, která názorně ilustrují, proč uvedené vztahy platí:
- 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
- 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
- (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
- (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3
Pro odmocniny platí následující vztahy (předpokládáme x, y > 0):
- \sqrt{0} = 0
- \sqrt{1} = 1
- \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
- \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
- \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
- \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
- \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}
Příklady:
- \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
- \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
- \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25
Záporné mocniny
Mocnina se záporným exponentem odpovídá převrácené hodnotě příslušné mocniny s kladným exponentem. Tedy vzorec. Toto pravidlo je důsledkem vlastnosti násobení vzorec. Musí tedy platit vzorec.
Konkrétní příklady:
- vzorec
- vzorec
- vzorec
- vzorec
Vědecký zápis čísel
Vědecký zápis čísel je zápis čísel pomocí součinu m\cdot 10^n, kde m je reálné číslo (mantisa) a 10^n je mocnina desítky. Tento zápis čísel je užitečný zejména při práci s velmi velkými nebo velmi malými čísly. Například hmotnost Země je přibližně 5970000000000000000000000 kg, což je daleko přehlednější v zápisu 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Příklady:
5 | 5\cdot 10^0 |
0,4 | 4\cdot 10^{-1} |
8100 | 8{,}1\cdot 10^{3} |
0,032 | 3{,}2\cdot 10^{-2} |
8713000000 | 8{,}713\cdot 10^{9} |
0,00000000952 | 9{,}52\cdot 10^{-9} |
Zlomky, mocniny, odmocniny
Umocňování a odmocňování zlomku
Při umocňování (odmocňování) zlomku prostě umocníme (odmocníme) čitatele i jmenovatele:
\large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}
\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
\large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (umocňování na -1 odpovídá prohození čitatele a jmenovatele)
Umocňování na zlomek
Umocňování na zlomek odpovídá tomu, že vezmeme mocninu podle čitatele a odmocninu podle jmenovatele, tj. x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Příklady:
2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots
4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2
81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27