Vlastnosti funkcí

umime.to/F2X

Pro zjednodušení popisu uvažujeme v tomto shrnutí pouze funkce, jejichž definiční obor tvoří všechna reálná čísla.

Funkce f se nazývá sudá, právě když pro každé x je f(-x) = f(x). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.

Příklady sudých funkcí

f_1(x) = x^2

f_2(x) = \cos x

f_3(x) = x^4-3x^2+2

Funkce f se nazývá lichá, právě když pro každé x je f(-x) = -f(x). Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

Příklady lichých funkcí

f_1(x) = 3x

f_2(x) = \sin x

f_3(x) = x^3-2x

Funkce f se nazývá periodická, právě když existuje číslo p \neq 0 (perioda funkce) takové, že pro každé x platí f(x+p)=f(x). Typickými příklady periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Naopak třeba polynomy periodické nejsou (s výjimkou konstantní funkce).

Funkce f se nazývá zdola omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \geq k. Funkce f se nazývá shora omezená, právě když existuje takové číslo k, že pro každé x platí f(x) \leq k. Funkce f se nazývá omezená, pokud je současně omezená shora i zdola.

Příklady (ne)omezených funkcí

Funkce f(x) = \sin x je omezená.

Funkce f(x) = x^2 je omezená zdola (protože \forall x: f(x) \geq 0), ale není omezená shora.

Funkce f(x) = 2x není omezená ani shora, ani zdola.

Funkce f se nazývá prostá, právě když pro každou dvojici x_1 \neq x_2 platí f(x_1) \neq f(x_2).

Funkce f se nazývá rostoucí, právě když pro každou dvojici x_1 \lt x_2 platí f(x_1) \lt f(x_2).

Příklad: funkce f(x) = x^3

Funkce f(x)=x^3 s definičním oborem D(f) = \mathbb{R} je prostá a rostoucí.

Funkce f se nazývá klesající, právě když pro každou dvojici x_1 \lt x_2 platí f(x_1) \gt f(x_2).

Příklad klesající funkce

Funkce f(x)=-2x+1 s definičním oborem D(f)=\mathbb {R} je prostá a klesající.

Záludný příklad: funkce f(x) = \frac{1}{x}

Funkce f(x)= \frac{1}{x} s definičním oborem D(f) = (-\infty,0) \cup (0,\infty):

funkce klesá na intervalu (-\infty,0)
funkce také klesá na intervalu (0,\infty)
ale funkce není klesající na celém D(f), např. -1 \lt 1, ale f(-1) \lt f(1)

Funkce f má v bodě x_0 maximum, jestliže pro každé x \in D(f) je f(x) \leq f(x_0). Maximum je tedy bod, ve kterém je funkční hodnota maximální (takových bodů může být i víc než jeden, např. u funkce sinus).

Funkce f má v bodě x_0 minimum, jestliže pro každé x \in D(f) je f(x) \geq f(x_0). Minimum je tedy bod, ve kterém je funkční hodnota minimální (takových bodů opět může být i více než jeden).

Maximum a minimum se nazývají extrémy funkce.

Příklad: maximum funkce f(x)=1-x^2

Funkce f:y=1-x^2 má ze všech reálných čísel nejvyšší hodnotu v bodě x=0, je f(0)=1 a pro libovolné reálné číslo x je f(x) \leq 1.
Funkce tedy nabývá maxima pro x=0. Minimum tato funkce nemá.

Příklad: minimum funkce f(x)=(x-1)^2

Funkce f:y=(x-1)^2 má nejnižší hodnotu v bodě x=1, máme f(1) = 0 a pro libovolné reálné číslo x je f(x) \geq 0.
Funkce tedy má v bodě x=1 minimum. Maximum tato funkce nemá.

Rozhodovačka

Rychlé procvičování výběrem ze dvou možností.

Vlastnosti funkcí

Vlastnosti funkcí: mix