RozhodovačkaRadián (zkratka rad) je přirozená jednotka úhlu založená na geometrickém poměru délky oblouku a poloměru kružnice.
Úhel má velikost 1 radián, pokud mu na kružnici odpovídá délka kruhového oblouku rovnající se poloměru této kružnice. Protože obvod kružnice o poloměru r je 2\pi r, celý kruh odpovídá úhlu 2\pi\text{ rad}.
Vztah ke stupňům a základní převody
Základním můstkem mezi stupni a radiány je půlkruh: 180° = \pi rad.
- Převod ze stupňů na radiány: \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}
- Převod z radiánů na stupně: \alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
Příklad převodu: \alpha = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120}{180}\pi = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}
Tabulka základních úhlů
| stupně | radiány | význam |
|---|---|---|
| 0° | 0 | nulový úhel |
| 30° | \frac{\pi}{6} | \frac{1}{12} kruhu |
| 45° | \frac{\pi}{4} | polovina pravého úhlu |
| 60° | \frac{\pi}{3} | vnitřní úhel rovnostranného trojúhelníku |
| 90° | \frac{\pi}{2} | pravý úhel |
| 180° | \pi | přímý úhel |
| 360° | 2\pi | plný úhel |
Proč radiány zavádíme?
- Odstranění lidské libovůle: Rozdělení kruhu na 360 stupňů je historická dohoda (původem od Babyloňanů). Radián vychází čistě z matematických vlastností.
- Jednoduchost ve vyšší matematice: V matematické analýze derivace goniometrických funkcí fungují v jednoduchém tvaru pouze v radiánech, např. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x) = \cos(x) (při použití stupňů by ve vzorci přibývaly složité korekční konstanty \frac{\pi}{180^\circ}).
- Přímé vzorce pro geometrii:
- Délka kruhového oblouku: s = r \cdot \alpha
- Obsah kruhové výseče: S = \frac{1}{2} r^2 \alpha
