Úhly

Úhel je část roviny vymezená dvěma polopřímkami. Velikost úhlu měříme nejčastěji ve stupních, přičemž plný úhel má velikost 360°. Úhly využíváme v mnoha oblastech geometrie a mají bohaté praktické využití ve fyzice, navigaci (azimuty) a v podstatě kdekoliv, kde se něco staví.

Při práci s úhly je první krok základní poznávání úhlů – potřebujeme získat základní představu o úhlech a schopnost odhadnout velikost úhlu podle obrázku. Další krok je pak znalost pojmů souvisejících s úhly, mezi které patří třeba úhel ostrý, tupý, pravý, plný, vrcholový či střídavý.

Jakmile zvládneme základy práce s úhly, můžeme se pustit do práce s úhly v rovinných objektech:

• Úhly v trojúhelníku
• Úhly ve čtyřúhelníku
• Úhly a mnohoúhelníky
• Úhly a kružnice

Pokročilejší téma pak jsou radiány, což je alternativní vyjadřování velikosti úhlů, které se často používá ve spojitosti s goniometrickými funkcemi.

Plný úhel je 360°. Často používané úhly ukazuje obrázek:

Při výpočtu velikosti neznámého úhlu v trojúhelníku využíváme základní vlastnosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.

Speciální případy:

• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 60°.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou oba úhly u základny stejné.
• V pravoúhlém trojúhelníku je velikost jednoho úhlu 90°, součet velikostí zbývajících dvou úhlů je také 90°.

Při výpočtu lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Příklad: Určete velikost oranžového úhlu.

Úhel u vrcholu $B$ tvoří s úhlem o velikosti 30° dvojici vrcholových úhlů. Jeho velikost je tedy 30°. Úhel u vrcholu $A$ tvoří s úhlem o velikosti 100° dvojici vedlejších úhlů. Jeho velikost je tedy $180°-100°=80°$. Pro velikost neznámého úhlu u vrcholu $C$ pak platí: $180°-80°-30°=70°$

Součet vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°.

Čtverec, obdélník

• Ve čtverci i obdélníku je velikost všech vnitřních úhlů 90°.
• Ve čtverci svírají úhlopříčky úhel o velikosti 90°.

Rovnoběžník

• Protější úhly mají stejnou velikost.
• Součet velikostí sousedních úhlů je 180°.
• Speciálním případem rovnoběžníku je kosočtverec, jehož úhlopříčky svírají pravý úhel.

Lichoběžník

• Součet velikostí vnitřních úhlů u ramen je 180°.
• V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly u základen shodné.

Při výpočtu neznámého úhlu můžeme také daný čtyřúhelník rozdělit na několik trojúhelníků a lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Součet vnitřních úhlů v obecném mnohoúhelníku s $n$ stranami (tedy $n$-úhelníku) je $180^\circ\cdot(n-2)$. Například v pětiúhelníku je součet vnitřních úhlů $180^\circ(5-2)=540^\circ$. Každý vnitřní úhel pak může mít jinou velikost.

Pravidelné mnohoúhelníky

• Každý vnitřní úhel v pravidelném mnohoúhelníku s $n$ vrcholy má velikost $180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}$. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý vnitřní úhel velikost $180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ$.
• Velikost středového úhlu pravidelného $n$-úhelníku je $\frac{360^\circ}{n}$. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý středový úhel velikost $\frac{360^\circ}{8}=45^\circ$.

Při výpočtu neznámého úhlu v mnohoúhelníku lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Středový úhel

• Úhel s vrcholem ve středu $S$ kružnice $k$, jehož ramena procházejí krajními body $A$, $B$ oblouku kružnice $k$.
• Pro každé dva body na kružnici lze určit dva středové úhly. Každý přísluší tomu oblouku, který v daném úhlu leží.

Obvodový úhel

• Úhel, jehož vrchol $V$ leží na kružnici $k$ a jeho ramena procházejí body $A$, $B$ oblouku kružnice $k$ ($A \neq V \neq B)$
• Všechny obvodové úhly příslušné oblouku $AB$ s vrcholem $V$, který na oblouku neleží, mají stejnou velikost.
• Velikost středového úhlu $\omega$ se rovná dvojnásobku velikosti obvodového úhlu $\varphi$ příslušného ke stejnému oblouku, $\omega = 2\cdot\varphi$.
• Thaletova věta: Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.

Úsekový úhel

• Úhel, jenž svírá tětiva $AB$ kružnice $k$ s tečnou $t$ kružnice v bodě $A$ nebo $B$.
• Velikost úsekového úhlu je stejná jako velikost obvodového úhlu nad obloukem $AB$.