Úhly

Úhel je část roviny vymezená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Velikost úhlu měříme nejčastěji ve stupních, přičemž plný úhel má velikost 360°. Úhly využíváme v mnoha oblastech geometrie a mají bohaté praktické využití ve fyzice, navigaci (azimuty) a v podstatě kdekoliv, kde se něco staví.

Při práci s úhly je první krok základní poznávání úhlů – potřebujeme získat základní představu o úhlech a schopnost odhadnout velikost úhlu podle obrázku. Další krok je pak znalost pojmů souvisejících s úhly, mezi které patří třeba úhel ostrý, tupý, pravý, plný, vrcholový či střídavý.

Jakmile zvládneme základy práce s úhly, můžeme se pustit do práce s úhly v rovinných objektech:

• Úhly v trojúhelníku
• Úhly ve čtyřúhelníku
• Úhly a mnohoúhelníky
• Úhly a kružnice

Pokročilejším tématem jsou pak radiány – alternativní jednotky pro vyjadřování velikosti úhlů, které se často používají ve spojitosti s goniometrickými funkcemi.

Práci s menšími úhlovými jednotkami než stupeň si můžete procvičit v tématu úhlové stupně a jejich části.

Plný úhel je 360°. Často používané úhly ukazuje obrázek:

Při výpočtu velikosti neznámého úhlu v trojúhelníku využíváme základní vlastnosti, že součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°.

Speciální případy:

• V rovnostranném trojúhelníku mají všechny vnitřní úhly velikost 60°.
• V rovnoramenném trojúhelníku jsou oba úhly u základny stejné.
• V pravoúhlém trojúhelníku je velikost jednoho úhlu 90°, součet velikostí zbývajících dvou úhlů je také 90°.

Při výpočtu lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Součet vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°.

Čtverec, obdélník

• Ve čtverci i obdélníku je velikost všech vnitřních úhlů 90°.
• Ve čtverci svírají úhlopříčky úhel o velikosti 90°.

Rovnoběžník

• Protější úhly mají stejnou velikost.
• Součet velikostí sousedních úhlů je 180°.
• Speciálním případem rovnoběžníku je kosočtverec, jehož úhlopříčky svírají pravý úhel.

Lichoběžník

• Součet velikostí vnitřních úhlů u ramen je 180°.
• V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly u základen shodné.

Při výpočtu neznámého úhlu můžeme také daný čtyřúhelník rozdělit na několik trojúhelníků a lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Součet vnitřních úhlů v obecném mnohoúhelníku s n stranami (tedy n-úhelníku) je 180^\circ\cdot(n-2). Například v pětiúhelníku je součet vnitřních úhlů 180^\circ(5-2)=540^\circ. Každý vnitřní úhel pak může mít jinou velikost.

Pravidelné mnohoúhelníky

• Každý vnitřní úhel v pravidelném mnohoúhelníku s n vrcholy má velikost 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý vnitřní úhel velikost 180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ.
• Velikost středového úhlu pravidelného n-úhelníku je \frac{360^\circ}{n}. Například v pravidelném osmiúhelníku má každý středový úhel velikost \frac{360^\circ}{8}=45^\circ.

Při výpočtu neznámého úhlu v mnohoúhelníku lze využít i vrcholových a vedlejších úhlů.

Středový úhel

• Úhel s vrcholem ve středu S kružnice k, jehož ramena procházejí krajními body A, B oblouku kružnice k.
• Pro každé dva body na kružnici lze určit dva středové úhly. Každý přísluší tomu oblouku, který v daném úhlu leží.

Obvodový úhel

• Úhel, jehož vrchol V leží na kružnici k a jeho ramena procházejí body A, B oblouku kružnice k (A \neq V \neq B)
• Všechny obvodové úhly příslušné oblouku AB s vrcholem V, který na oblouku neleží, mají stejnou velikost.
• Velikost středového úhlu \omega se rovná dvojnásobku velikosti obvodového úhlu \varphi příslušného ke stejnému oblouku, \omega = 2\cdot\varphi.
• Thaletova věta: Obvodový úhel nad průměrem kružnice je pravý.

Úsekový úhel

• Úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice k s tečnou t kružnice v bodě A nebo B.
• Velikost úsekového úhlu je stejná jako velikost obvodového úhlu nad obloukem AB.

Radián (značka rad) je přirozená jednotka úhlu založená na geometrickém poměru délky oblouku a poloměru kružnice.

Úhel má velikost 1 radián, pokud mu na kružnici odpovídá délka kruhového oblouku rovnající se poloměru této kružnice. Protože obvod kružnice o poloměru r je 2\pi r, celý kruh odpovídá úhlu 2\pi\text{ rad}.

Vztah ke stupňům a základní převody

Základním můstkem mezi stupni a radiány je půlkruh: 180° = \pi rad.

• Převod ze stupňů na radiány: \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180^\circ}
• Převod z radiánů na stupně: \alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}

Příklad převodu: \alpha = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{120}{180}\pi = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}

Tabulka základních úhlů

Proč radiány zavádíme?

• Odstranění lidské libovůle: Rozdělení kruhu na 360 stupňů je historická dohoda (původem od Babyloňanů). Radián vychází čistě z matematických vlastností.
• Jednoduchost ve vyšší matematice: V matematické analýze derivace goniometrických funkcí fungují v jednoduchém tvaru pouze v radiánech, např. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x) = \cos(x) (při použití stupňů by ve vzorci přibývaly složité korekční konstanty \frac{\pi}{180^\circ}).
• Přímé vzorce pro geometrii:
  • Délka kruhového oblouku: s = r \cdot \alpha
  • Obsah kruhové výseče: S = \frac{1}{2} r^2 \alpha

Úhlové minuty

Jeden úhlový stupeň odpovídá 60 úhlovým minutám, tedy jedna úhlová minuta je jedna šedesátina úhlového stupně. Zapisujeme: 1^{\circ} = 60'

Úhlové vteřiny

Úhlová vteřina je ještě menší jednotka než úhlová minuta, jde o jednu šedesátinu úhlové minuty. Platí:

• 1' = 60''
• 1^{\circ} = 60' = 3\,600''

Použití úhlových minut a vteřin

Zeměpisné souřadnice – zeměpisná šířka se udává ve stupních severní šířky N, nebo jižní šířky S (podle toho, jestli je místo na severní, nebo jižní polokouli, na rovníku je zeměpisná šířka 0^{\circ}), zeměpisná délka se udává ve stupních východní E, nebo západní W délky (zeměpisná šířka 0^{\circ} je na poledníku procházejícím observatoří v Greenwichi). Místa, která od sebe nejsou příliš vzdálená, se liší v zeměpisných souřadnicích jen o malinké úhly, které můžeme zapsat desetinným číslem nebo pomocí úhlových jednotek menších než 1^{\circ}.

Pozorování vesmíru

• Měsíc nebo Slunce vidíme na obloze cca pod úhlem 0{,}5^{\circ} = 30'.

• Jedna úhlová minuta 1'' odpovídá zhruba úhlu, který je lidské oko ještě schopno rozlišit na obloze.

Úhly zapisujeme pomocí úhlových stupňů a jejich částí, nebo alternativně pomocí radiánů.

Úhly podle velikosti

Pojmy související s dvojicemi úhlů