Kvadratické funkce

Funkce je kvadratická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0.

Definiční obor kvadratické funkce je celá množina reálných čísel.

Kvadratická funkce nemá žádnou z následujících vlastností: prostá, periodická, rostoucí, klesající.

Další vlastnosti závisí na tom, zda je kvadratický člen kladný či záporný:

• Pro a>0 je funkce zdola omezená, není shora omezaná. V bodě -\frac{b}{2a} má minimum.
• Pro a<0 je funkce shora omezená, není zdola omezaná. V bodě -\frac{b}{2a} má maximum.

Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f(x) = ax^2 + bx + c, kde a\neq 0. Grafem kvadratické funkce je parabola. Tento graf zobrazuje funkci 0{,}5 x^2 + x - 4:

Průsečíky s osou x jsou řešení kvadratické rovnice ax^2 + bx + c = 0. Pro výše uvedený příklad 0{,}5 x^2 + x - 4 jsou těmito řešeními x_1 = -4 a x_2 = 2.

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• Pokud je a>0, „směřuje parabola nahoru“ (přesněji: je to zdola omezená, konvexní funkce).
• Pokud je a<0, „směřuje parabola dolů“ (přesněji: je to shora omezená, konkávní funkce).
• Velikost kvadratického koeficientu a ovlivňuje, jak je parabola „široká“.

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Kvadratická rovnice je rovnice, ve které se vyskytuje jedna neznámá ve druhé mocnině. Základní tvar kvadratické rovnice je: ax^2+bx+c=0, kde a, b, c jsou reálná čísla a a\neq 0. Pro kvadratické rovnice používáme následující názvosloví:

• ax^2 je kvadratický člen,
• bx je lineární člen,
• c je absolutní člen.

Příkladem kvadratické rovnice je 2x^2+6x-20 = 0. V této rovnici je kvadratický člen 2x^2, lineární člen 6x a absolutní člen -20. Kořeny této rovnice jsou 2 a -5.

Speciální typy kvadratických rovnic: - Pokud je b=0 nazýváme rovnici ryze kvadratickou: ax^2+c=0. - Pokud je c=0 mluvíme o rovnici bez absolutního členu: ax^2+bx=0.

Řešení kvadratické rovnice

Každou kvadratickou rovnici lze řešit pomocí výpočtu diskriminantu D. Pro něj platí: D=b^2-4\cdot a\cdot c. Mohou nastat 3 situace:

• D < 0 – rovnice nemá v reálných číslech řešení.
• D=0 – rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
• D > 0 – rovnice má dva různé reálné kořeny.

Pro kořeny rovnice platí:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}

Kvadratické rovnice můžeme řešit i bez počítání diskriminantu za využití Vietových vzorců. Pro kořeny rovnice platí: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. V případě a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Příklad řešení kvadratické rovnice

• Řešíme rovnici x^2+2x-3=0.
• Pro tuto rovnici a=1, b=2, c=-3.
• Diskriminant D=b^2-4ac = 2^2-4\cdot 1\cdot(-3) = 4+12=16.
• D>0, rovnice má tedy dvě řešení.
• x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot 1} = 1
• x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot 1} = -3
• Kořeny rovnice jsou tedy 1 a -3.