Operace a vlastnosti v rovině

Základní intuitivní představa pro jednotlivé operace a vlastnosti:

• Osová souměrnost: děláme „zrcadlový“ obraz útvaru podle přímky.
• Středová souměrnost: překlápíme útvar podle bodu.
• Otočení: otočíme útvar okolo určitého bodu o nějaký úhel.
• Shodnost: dva útvary jsou shodné, pokud „mají stejný tvar a velikost“ (mohou se lišit natočením a umístěním).
• Podobnost: dva útvary jsou podobné, pokud „mají stejný tvar“ (mohou se lišit velikostí, natočením a umístěním).

Téma určení zobrazení v rovině se pak zabývá rozlišování mezi jednotlivými zobrazeními.

Osová souměrnost je dána přímkou o a přiřazuje každému bodu X mimo osu takový bod X', že přímka o je osou úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od osy stejnou vzdálenost jako původní bod a spojnice bodů je kolmá na osu. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně osově souměrné podle osy o:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat osovou a středovou souměrnost.

Osově souměrný útvar

Útvar označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru. Obrázek uvádí příklady útvarů osově souměrných (zelené, s vyznačenými osami souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka je osově souměrná a má v rovině jedinou osu souměrnosti (kolmici v jejím středu).
• Rovnoramenný trojúhelník je osově souměrný.
• Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
• Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníku.
• Kruh je osově souměrný a má nekonečně mnoho os souměrnosti.

Středová souměrnost je dána bodem S a přiřazuje každému bodu X takový bod X', že bod S je středem úsečky XX'. Jinými slovy: obraz má od středu stejnou vzdálenost jako původní bod a leží na polopřímce opačné k SX.

Středová souměrnost zachovává vzdálenosti i úhly, jde tedy o druh shodnosti. Středová souměrnost se středem v bodě S je shodná s otočením o 180 stupňů podle středu S.

Příklady

Modré a oranžové útvary jsou vzájemně středově souměrné podle středu S:

Pro lepší pochopení může být užitečné porovnat středovou a osovou souměrnost.

Středově souměrný útvar

Útvar označujeme za středově souměrný, pokud je v nějaké středové souměrnosti obrazem sebe sama. Střed této středové souměrnosti pak nazýváme středem souměrnosti objektu. Obrázek uvádí příklady útvarů středově souměrných (zelené, s vyznačeným středem souměrnosti) i těch nesouměrných (červené):

Další příklady:

• Úsečka, obdélník, čtverec, kosočtverec, pravidelný šestiúhelník a kruh jsou středově souměrné.

• Žádný trojúhelník není středově souměrný.

Dva geometrické útvary jsou si podobné, pokud oba mají stejný tvar (bez ohledu na velikost). Na následujícím obrázku mají podobné útvary stejnou barvu:

Přesněji řečeno, útvary jsou podobné, pokud jeden můžeme získat z druhého kombinací rovnoměrného zmenšení či zvětšení a následným posunutím, otočením nebo překlopením.

Podobnost zachovává velikost úhlů a poměr délek.

Poměr délek odpovídajících úseček v obou útvarech se nazývá koeficient podobnosti.