Obsah a obvod

Obvod značíme o. Obvod je součet délek čar, které útvar vymezují. Se základním porozuměním tomu, co obvod vyjadřuje, pomůže téma délka a obvod na mřížce. Obvod se měří v jednotkách délky (např. centimetr, metr).

Obsah značíme S. Obsah vyjadřuje, kolik „místa v rovině“ útvar zaujímá. Se základním porozuměním tomu, co obsah vyjadřuje, pomůže téma obsah na mřížce. Obsah se měří v jednotkách obsahu (např. metr čtvereční, hektar).

Přehled vzorců pro obsah a obvod základních geometrických útvarů:

Přehled vzorců je dispozici také jako Obsah a obvod: pomůcka k vytištění.

Nápovědou pro výpočet délky čar a obvodu rovinných útvarů je jejich umístění na čtvercové nebo jiné mřížce, ze kterého vidíme potřebné velikosti např. úseček. Můžeme též vizuálně zkontrolovat, zda náš výsledek zhruba odpovídá zadanému obrázku. K procvičování jsou k dispozici následující podtémata:

• Délka úsečky (na mřížce) – jednoduché počítání, kolik čtverečků je dlouhá úsečka
• Délka lomené čáry (na mřížce) – počítání délky lomené čáry jako součtu délek úseček
• Obvod čtverce a obdélníku (na mřížce) – strany čtverců a obdélníků jako úsečky na čtvercové mřížce, názorné počítání obvodu
• Obvod trojúhelníku (na mřížce) – počítání obvodu trojúhelníků s jednou stranou na mřížce a zbývajícím vrcholem určeným pomocí dvou oblouků známé délky na mřížce
• Obvod kruhu, délka kružnice (na mřížce) – počítání obvodu kruhu (délky kružnice), poloměr nebo průměr je úsečka na mřížce

Každý čtvereček v mřížce má délku strany 1. Můžeme jednoduše určit délky úseček podobně jako na obrázku:

Lomená čára je složená z několika úseček. Její délku určíme jako součet délek těchto úseček. Na obrázku je například lomená čára složená z úseček o délkách 1, 3 a 1, její celková délka tedy je 5.

Obvod je u čtverce i obdélníku součet délek jeho stran. Čtverec má všechny strany stejně dlouhé, takže jeho obvod je čtyřnásobek délky jedné strany. Obdélník má protější strany stejně dlouhé, takže jeho obvod je dvojnásobek součtu délky kratší a delší strany. Délky stran čtverců a obdélníků určíme jednoduše jako délky úseček na mřížce.

Obvod trojúhelníku je součet délek jeho stran. Délku strany trojúhelníku určíme přímo jako délku úsečky na mřížce nebo se podíváme, jak velký oblouk jsme použili ke konstrukci této strany. Na obrázku je trojúhelník s délkami stran 6 a 2 a 5, tedy jeho obvod je 13.

Obvod kruhu a nebo délku kružnice s poloměrem r spočítáme pomocí vzorce: o = 2 \cdot \pi \cdot r

Průměr d je dvojnásobek poloměru, máme tedy ještě druhý použitelný vzoreček: o = \pi \cdot d

Velikost poloměru nebo průměru určíme jako délku úsečky na mřížce. Kružnice na obrázku má průměr 8 (poloměr 4), tedy její délka je 8 \pi.

Z umístění rovinných útvarů na mřížce určíme jejich rozměry a potřebné velikosti úseček, případně i úhlů. Výsledný obsah lze u příkladů s čtvercovou mřížkou zkontrolovat odhadem počtu políček (čtverců s obsahem 1), které útvar zabírá. Počítání obsahu na mřížce si můžete procvičit na následujících podtématech:

• Obsah čtverce a obdélníku (na mřížce) – počítání obsahu čtverců a obdélníků se stranami na čtvercové mřížce
• Obsah trojúhelníku (na mřížce) – počítání obsahu trojúhelníků s některou stranou a odpovídající výškou určitelnou na mřížce
• Obsah rovnoběžníku (na mřížce) – podobně jako u trojúhelníku počítání obsahu pomocí na mřížce určené délky strany a odpovídající výšky
• Obsah lichoběžníku (na mřížce) – na mřížce určitelné délky základen a výšky lichoběžníku, počítání obsahu pomocí těchto údajů
• Obsah kruhu (na mřížce) – počítání obsahu kruhu s na čtvercové mřížce určitelným poloměrem nebo průměrem
• Obsah kruhové výseče (na mřížce) – obsah výseče na pavučině (soustředné kružnice a vyznačené rozdělení 360° na několik stejných částí pro snadnější určení poloměru a úhlu výseče)

Obsah čtverce určíme tak, že vynásobíme délku jeho strany samu sebou (je to druhá mocnina délky strany). Obsah obdélníku je roven součinu délek jeho dvou sousedních stran (jedné delší a jedné kratší). Délky stran čtverců a obdélníků určíme jednoduše jako délky úseček na mřížce.

Obsah trojúhelníku je polovina součinu délky jedné strany a velikosti výšky příslušné k této straně. Vybereme vhodnou dvojici strana a výška a jejich velikosti určíme přímo jako délky úseček na mřížce, pak už můžeme spočítat obsah.

Pokud známe u rovnoběžníku délku jedné strany a velikost výšky rovnoběžníku příslušné k této straně, můžeme už spočítat obsah rovnoběžníku jako jejich součin. Velikost strany a výšky určíme přímo jako délky úseček na mřížce.

Obsah lichoběžníku je polovina součinu jeho výšky se součtem délek jeho základen. Velikosti základen a výšky určíme přímo jako délky úseček na mřížce.

Obsah kruhu a nebo délku kružnice s poloměrem r spočítáme pomocí vzorce: o = \pi \cdot r ^2

Průměr d je dvojnásobek poloměru, takže obsah kruhu lze spočítat i pomocí průměru: o =\frac{1}{4} \pi \cdot d ^2

Velikost poloměru nebo průměru určíme jako délku úsečky na mřížce. Kruh na obrázku má poloměr 4, tedy jeho obsah je 16 \pi.

Obsah kruhové výseče příslušné středovému úhlu \alpha v kruhu s poloměrem r spočítáme jako takovou část obsahu kruhu, jakou částí z plného úhlu 360^{\circ} je úhel \alpha.

Určování obvodu rovinných útvarů a délky kružnic a jejich oblouků, stejně jako počítání rozměrů útvarů ze známého obvodu nebo délky lze procvičovat v následujících podtématech:

• Obvod trojúhelníku – vztah obvodu a délek stran trojúhelníku
• Obvod čtverce a obdélníku – vztah obvodu a délek stran pro čtverce a obdélníky
• Obvod rovnoběžníku – obvod a délky stran rovnoběžníků
• Obvod lichoběžníku – obvod a délky stran lichoběžníků
• Obvod kruhu, délka kružnice – závislost obvodu kruhu a délky kružnice na jejich poloměru nebo průměru
• Délka oblouku – délka oblouku závisí na poloměru původního kruhu a velikosti středového úhlu

Obvod trojúhelníku spočítáme jako součet délek jeho stran: o=a+b+c

Obvod čtverce o straně délky a je o=a+ a+a+a= 4a.

Obvod obdélníku se stranami o délkách a,b je roven o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod rovnoběžníku se stranami o délkách a,b je roven S=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obvod lichoběžníku je součet délek jeho stran. Tedy obvod lichoběžníku ABCD se stranami o délkách a,b,c,d vypočítáme podle vzorečku o=a+b+c+d.

Vzorec pro obvod kruhu

Obvod kruhu (i kružnice) o poloměru r je o=2\pi r. Pro průměr d platí o = \pi d.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obvodu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru r nebo průměru d = 2r. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obvodu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Obvod oranžového čtverce je 8\cdot r. Obvod kruhu je „o trochu menší“ – je to 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Délku oblouku, který na kružnici o poloměru r odpovídá středovému úhlu \alpha spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Obvod u trojúhelníků a čtyřúhelníků je prostě součet délek jejich stran.

Obsah trojúhelníku spočítáme jako součin délky libovolné strany trojúhelníka a výšky příslušné k této straně, takže: S_{\triangle} = \frac12 \cdot a \cdot v_a = \frac12 \cdot b \cdot v_b = \frac12 \cdot c \cdot v_c

Což si můžeme představit jako polovinu obsahu obdélníku, ve kterém je náš trojúhelník takto vepsán:

Obsah čtverce o straně délky a je S=a\cdot a=a^2.

Obsah obdélníku se stranami o délkách a,b je roven S=a\cdot b.

Obsah rovnoběžníku je roven součinu délky strany a k ní příslušné výšky. Tedy obsah rovnoběžníku ABCD, ve kterém ke straně o délce a přísluší výška v_a spočítáme jako S= a\cdot v_a.

Obsah lichoběžníku se základnami o délkách a,c a výškou v spočítáme podle vzorečku S=\frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v.

Intuice za tímto vzorečkem je vidět na následujícím obrázku. Obsah lichoběžníku je roven součtu obsahů dvou trojúhelníků.

• První trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky a. Jeho obsah je S_{ABC}=\frac{1}{2} \cdot a \cdot v.
• Druhý trojúhelník má výšku v příslušnou ke straně délky c. Jeho obsah je S_{ACD}=\frac{1}{2} \cdot c \cdot v.

Součet obsahů těchto dvou trojúhelníků je S = S_{ABC} + S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot v + \frac{1}{2} \cdot c \cdot v = \frac{1}{2} \cdot (a+c) \cdot v

Vzorec pro obsah kruhu

Obsah kruhu o poloměru r je S=\pi r^2. Pro průměr d platí S = \frac{1}{4} \pi d^2.

Konstanta \pi se nazývá též Ludolfovo číslo. \pi je iracionální číslo, což znamená, že nejde vyjádřit zlomkem ani zapsat přesně v desítkové soustavě. Přibližná hodnota \pi je 3,141 592 65.

Při výpočtu obsahu kruhu dáváme dobrý pozor na to, zda vycházíme ze znalosti poloměru nebo průměru. Záměna průměru za poloměr je častou chybou.

Intuice

Základní intuici za vzorcem pro výpočet obsahu kruhu přibližuje níže uvedený obrázek. Žluté čtverce mají obsah r^2. Oranžový čtverec se skládá ze čtyř žlutých čtverců, takže má obsah 4\cdot r^2. Kruh má „o trochu menší“ obsah než oranžový čtverec, což odpovídá tomu, že obsah kruhu je přibližně 3{,}14 \cdot r^2.

Příklady

• Mějme kruh o poloměru 3 cm. Jeho obsah je \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Uvažujme kružnici o průměru 2 cm. Její vnitřní oblast má obsah \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Středový kruh na fotbalovém hřišti má poloměr 9{,}1 metru. Pokud bychom chtěli veškerou trávu v kruhu nabarvit na růžovo, museli bychom nabarvit \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trávy.

Obsah kruhové výseče

Obsah kruhové výseče se středovým úhlem \alpha a poloměrem r spočítáme jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2

Příklady

• Kruhová výseč na obrázku má obsah: \frac{150^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 3^2 = \frac{5}{12} \cdot \pi \cdot 9 = \frac{15}{4} \pi

• Obsah celého kruhu (výseče se středovým úhlem 360^{\circ}) je: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r^2