Výpis shrnutí
Konstrukční úlohy: trojúhelníky
Podtémata
Konstrukční úlohy: trojúhelníky
Trojúhelníky jsou základní geometrické útvary, s jejichž pomocí často konstruujeme i složitější obrazce. Postup konstrukce trojúhelníku se liší podle toho, jaké informace o trojúhelníku máme:
- Konstrukce trojúhelníků: známé délky stran – základní, nejjednodušší případ
- Konstrukce trojúhelníků: rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky – speciální případy trojúhelníků, při jejichž konstrukci využíváme jejich vlastnosti
- Konstrukce trojúhelníků: věty sss, sus, usu, Ssu – konstrukce na základě znalosti délek stran a velikostí úhlů, využití vět o určenosti trojúhelníků
- Konstrukce trojúhelníků: těžnice, výšky, vepsaná a opsaná kružnice – složitější případy za využití dalších pojmů souvisejících s trojúhelníkem
Konstrukce trojúhelníků: známé délky stran
Nejjednodušší konstrukce trojúhelníku jsou takové, kde známe délky všech tří stran.
Trojúhelníková nerovnost
Nesmíme zapomínat, že platí tzv. trojúhelníková nerovnost, tedy že součet dvou stran je větší než třetí strana. Jednoduše řečeno, jedině pokud je součet dvou nejkratších stran větší než třetí strana, trojúhelník lze sestrojit.
Lze sestrojit trojúhelník se stranami zadané délky?
- 6\ \text{cm}, 5\ \text{cm}, 4\ \text{cm} - součet dvou nejkratších stran je 4 + 5= 9 \ \text{cm}, to je více než 6\ \text{cm}, takže je splněna trojúhelníková nerovnost a trojúhelník lze sestrojit.
- 6\ \text{cm}, 5\ \text{cm}, 1\ \text{cm} – součet dvou nejkratších stran je 1 + 5 = 6\ \text{cm}, to je rovno délce třetí strany, takže není splněna trojúhelníková nerovnost a trojúhelník nelze sestrojit.
- 5\ \text{cm}, 2\ \text{cm}, 1\ \text{cm} – součet dvou nejkratších stran je 1 + 2 = 3\ \text{cm}, to je menší než délka třetí strany 5\ \text{cm}, takže není splněna trojúhelníková nerovnost a trojúhelník nelze sestrojit.
- 7\ \text{cm}, 7\ \text{cm}, 7\ \text{cm} – součet dvou nejkratších stran je 7 + 7= 14\ \text{cm}, to je více než 7\ \text{cm}, takže je splněna trojúhelníková nerovnost a trojúhelník lze sestrojit.
Značení
Při konstrukci trojúhelníků můžeme každou stranu označit dvěma způsoby:
- přímo – strana a
- pomocí vrcholů – strana BC
Při konstrukcích také můžeme zaměňovat označení strany a její délky. Můžeme psát a=|BC|. Je třeba myslet i na pravidlo, že strana je pojmenovaná podle protějšího vrcholu.
Příklad: Je v trojúhelníku na obrázku délka strany a=8 cm?
- Strana a leží proti vrcholu A. Je to tedy strana BC.
- Z obrázku vidíme, že |BC|=6 cm.
- Strana a tedy nemá délku 8 cm.
- Délku 8 cm má v tomto trojúhelníku strana AB, tedy strana c.
Postup
Při konstrukcích trojúhelníků, u kterých známe tři strany, postupujeme tak, že sestrojíme jako první libovolnou stranu, na obrázku například AB. K nalezení posledního vrcholu C použijeme dvě kružnice nebo jejich části. Výsledkem konstrukce jsou dva shodné (stejné) trojúhelníky, proto stačí sestrojit jen jeden.
Pracovní list
Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:
Konstrukce trojúhelníků: rovnoramenné a rovnostranné trojúhelníky
Při konstrukci rovnoramenného trojúhelníku využíváme jeho základní vlastnosti:
- Má dvě strany (ramena) shodné. Vrchol proti základně tedy leží na ose základny.
- Shodné (stejně velké) jsou i vnitřní úhly při základně.
- Výška kolmá na základnu leží na ose základny a dělí rovnoramenný trojúhelník na dva shodné trojúhelníky.
Rovnostranný trojúhelník můžeme chápat jako speciální případ rovnoramenného trojúhelníka. Má všechny strany stejně dlouhé a velikost všech jeho vnitřních úhlů je 60°.
Pracovní list
Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:
Konstrukce trojúhelníků: věty sss, sus, usu, Ssu
Při složitějších příkladech využíváme věty o určenosti trojúhelníků (kde s značí stranu a u úhel):
- Věta sss – v trojúhelníku jsou dány délky všech stran, pro které platí trojúhelníková nerovnost.
- Věta sus – v trojúhelníku jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu, který svírají (menší než 180°).
- Věta usu – v trojúhelníku je dána délka jedné strany a velikosti 2 úhly k ní přiléhající (součet velikostí daných úhlů je menší než 180°).
- Věta Ssu – známe velikosti dvou stran trojúhelníka a velikost úhlu proti větší z těchto stran (velikost zadaného úhlu je menší než 180°).
Tyto věty také používáme při určení shodnosti trojúhelníků.
Pracovní list
Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pracovní list k vytištění a rýsování na papíře:
Konstrukce trojúhelníků: těžnice, výšky, vepsaná a opsaná kružnice
Při řešení složitějších příkladů použijeme další pojmy související s trojúhelníkem, například výška, těžnice, střední příčka, kružnice opsaná či vepsaná.
Těžnice je úsečka, která spojuje vrchol trojúhelníku se středem protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice a jejich průsečík tvoří těžiště trojúhelníku. Těžiště rozděluje každou těžnici v poměru 2 : 1. Delší část těžnice je úsečka mezi vrcholem a těžištěm.
Střední příčka trojúhelníku je úsečka, která spojuje středy dvou stran v trojúhelníku. Je rovnoběžná se stranou, jejíž střed nespojuje a její délka je rovna polovině délky této strany.
Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Její střed leží v průsečíku os stran. To znamená, že střed kružnice opsané je stejně vzdálen od všech vrcholů trojúhelníku.
Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Její střed leží v průsečíku os vnitřních úhlů trojúhelníku. To znamená, že střed kružnice vepsané je stejně vzdálen od všech tří přímek, na kterých leží strany trojúhelníku.
Pracovní listy
Kromě níže uvedených interaktivních cvičení jsou k dispozici také pracovní listy k vytištění a rýsování na papíře:
