Přímky

• Přímka p je určená bodem A a vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}, tedy p:X=A+t\vec{u}
• Pro hodnotu t=0 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u} … bod A
• Pro hodnotu t=1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u} … bod B
• Pro hodnotu t=2 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u} … bod C
• Pro hodnotu t=\frac{1}{2} dostaneme: X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u} … bod D (střed úsečky AB)
• Pro hodnotu t=-1 dostaneme: X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u} … bod E

• Každá hodnota parametru určuje jeden bod na přímce, pro určení celé přímky tedy potřebujeme všechna reálná čísla, proto píšeme t\in\mathbb{R}.
• Body, které leží na úsečce AB (tedy body ležící mezi body A a B), vyjádříme parametricky, pokud do rovnice X=A+t\vec{u} dosadíme hodnoty parametru t splňující 0\leq t\leq1.

1. Pro přímku danou obecnou rovnicí ax+by+c=0:
   • \vec{v} je normálový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(a;b)
   • \vec{u} je směrový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{v}=(a;b), jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(-b;a)
2. Pro přímku danou parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
   • \vec{u} je směrový vektor přímky p, jeho souřadnice jsou: \vec{u}=(u_1;u_2)
   • \vec{v} je normálový vektor přímky p, protože je to vektor kolmý k vektoru \vec{u}=(u_1;u_2), jeho souřadnice jsou: \vec{v}=(-u_2;u_1)

• Pro všechny body ležící na přímce je druhá souřadnice stejná a to: y=c
• Tedy přímka má obecnou rovnici: y-c=0

• Pro všechny body ležící na přímce je první souřadnice stejná a to: x=c
• Tedy přímka má obecnou rovnici: x-c=0

• Přímka prochází bodem O=[0;0], tedy souřadnice počátku splňují její obecnou rovnici ax+by+c=0.
• Dosadíme souřadnice bodu O a zkusíme zjistit nějaké informace o konstantách a,b,c.
• a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0
• Proto přímka, která prochází počátkem má obecnou rovnici ax+by=0.

• přímka p je určená bodem A a směrovým vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Určíme souřadnice směrového vektoru a jednoho bodu na přímce:

• například: \vec{u}=(2;1), A=[1;2]
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Další možnost parametrického vyjádření:

• \vec{v}=(-4;-2), B=[3;3]
• parametrické rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}x&=&3-4t\\y&=&3-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

Pro určení parametrických rovnic můžeme vybrat kterýkoliv bod ležící na přímce a jakýkoliv zápis souřadnic směrového vektoru, možností jak parametricky vyjádřit danou přímku je tedy nekonečně mnoho.

• Přímka p je určená bodem A a směrovým vektorem \vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2).
• Normálový vektor je kolmý k vektoru \vec{u}=(1;-2), tedy například vektor \vec{n}=(2;1).
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty a a b v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: 2x+y+c=0
• Konstantu c dopočítáme dosazením souřadnic bodu A=[1;5] :
• 2\cdot1+5+c=0\Rightarrow c=-7
• Obecná rovnice přímky p je: 2x+y-7=0

Určete obecnou rovnici přímky p, která je dána následující parametrickou soustavou rovnic: \begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&4+6t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Přímka p je určená bodem A=[1;4] a směrovým vektorem \vec{u}=(2;6).
• Souřadnice směrového vektoru můžeme upravit na tvar: \vec{u}=(1;3).
• Normálový vektor je kolmý k vektoru \vec{u}=(1;3), tedy například vektor \vec{n}=(3;-1).
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty a a b v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: 3x-y+c=0
• Konstantu c dopočítáme dosazením souřadnic bodu A=[1;4] :
• 3\cdot1-4+c=0\Rightarrow c=1
• Obecná rovnice přímky p je: 3x-y+1=0

Určete parametrické vyjádření přímky p, která má obecnou rovnici: 3x-2y+4=0.

• Přímka p má normálový vektor \vec{n}=(3;-2).
• Směrový vektor je kolmý k vektoru \vec{n}=(3;-2), tedy například vektor \vec{u}=(2;3).
• Určíme jeden bod na přímce p : jednu souřadnici můžeme zvolit, například x=0, druhou souřadnici dopočítáme: 3\cdot0-2y+4=0\Rightarrow y=2
• Z obecné rovnice jsme tedy zjistili, že na přímce leží bod A=[0;2].
• Parametrické vyjádření přímky p je: \begin{array}{rrl}x&=&0+2t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Směrnice přímky p: k_1=\tan \varphi_1=\frac{1}{2}
• Směrnice přímky q: k_2=\tan \varphi_2=\frac{1}{1}=1
• Směrnice přímky r: k_3=\tan \varphi_3=\frac{2}{1}=2
• Čím větší odchylka od kladné části osy x, tím větší hodnota směrnice k.
• Přímka rovnoběžná s osou x svírá s kladnou částí osy x úhel 0^\circ a tedy její směrnice je \tan 0^\circ=0.
• Přímka rovnoběžná s osou y svírá s kladnou částí osy x úhel 90^\circ a pro tuto hodnotu funkce tangens není definována, proto nemůžeme určit směrnici.

Hledáme směrnicový tvar rovnice přímky: y=kx+q.

• Pro nalezení konstant k a q určíme směrový vektor přímky p a průsečík s osou y.
• směrový vektor přímky: \vec{u}=(1;-2)
• směrnice: k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{1}=-2
• průsečík přímky s osou y: P=[0;5]
• konstanta q=y_P=5
• přímka na obrázku má směrnicový tvar y=-2x+5

Určete vzájemnou polohu dvou přímek p, q zadaných parametricky:

p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[-3;2].
• Ověříme, že tento bod neleží na přímce q dosazením souřadnic bodu A do rovnic přímky q: \begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}
• Vyšly různé hodnoty parametru s, takže bod A neleží na q \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:4x+2y+3=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce p leží například bod A=[0;1].
• Ověříme, zda A leží na p dosazením souřadnic bodu A do rovnice přímky p: 4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0
• A nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce q \Rightarrow přímky nejsou totožné

p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}

• směrový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární.

• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy každou z jeho souřadnic lze vyjádřit dvěma způsoby, dostáváme následující soustavu rovnic: \begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}

• Soustavu můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1
• Výsledný parametr t dosadíme do parametrických rovnic kterékoliv z přímek a dostaneme souřadnice x,y průsečíku.

• Průsečík přímek p a q je bod R=[-2;1].

Určíme vzájemnou polohu dvou přímek zadaných obecnými rovnicemi p: 2x+y-1=0 a q:x-y+1=0.

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)
• normálový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich normálové vektory nejsou kolineární.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice jsou řešením soustavy: \begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}
• Můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: 3x=0\Rightarrow x=0
• Průsečík přímek p a q je bod R=[0;1]

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných takto:

\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)
• Přímky p a q jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární. Proto normálový vektor jedné přímky je kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné: stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce q leží například bod B=[3;2].
• Na přímce p tento bod neleží, což zjistíme dosazením souřadnic bodu B do rovnice přímky: 2\cdot3-2+3\neq 0
• Bod B nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce p \Rightarrow přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu přímek p,q zadaných:

\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} \hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}

• normálový vektor přímky p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)
• směrový vektor přímky q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)
• Přímky p a q jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární. Vyplývá z toho, že normálový vektor jedné přímky není kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice najdeme tak, že parametrické vyjádření přímky q dosadíme do obecné rovnice přímky p: \begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}
• Průsečík přímek p a q je bod R=[3;2]

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}

• Jedno řešení \Rightarrow různoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}

• Žádné řešení \Rightarrow různé rovnoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek p,q zadaných jako: \hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm} a \hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}

• Nekonečně mnoho řešení \Rightarrow totožné přímky

Určete, zda body A=[2;3] a B=[-1;2] leží na přímce p:2x-3y+5=0.

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu A=[2;3]:
• 2\cdot 2-3\cdot3+5=0\Rightarrow bod A leží na přímce p
• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[-1;2]:
• 2\cdot (-1)-3\cdot2+5=-3\Rightarrow bod B neleží na přímce p

Určete, zda body A=[3;1] a B=[4;4] leží na přímce p dané parametricky: \begin{array}{rrl}x&=&2-t\\y&=&3+2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}

• Do rovnic přímky dosadíme souřadnice bodu A=[3;1]:

\begin{array}{rrrr}3&=&2-t&\Rightarrow t=-1\\1&=&3+2t&\Rightarrow t=-1\end{array} \Rightarrow bod A leží na přímce p

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu B=[4;5]:

\begin{array}{rrrl}4&=&2-t&\Rightarrow t=-2\\5&=&3+2t&\Rightarrow t=1\end{array}\Rightarrow bod B neleží na přímce p