Přímky

• Přímka $p$ je určená bodem $A$ a vektorem $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, tedy $p:X=A+t\vec{u}$
• Pro hodnotu $t=0$ dostaneme: $X=A+t\vec{u}=A+0\cdot \vec{u}$ … bod $A$
• Pro hodnotu $t=1$ dostaneme: $X=A+t\vec{u}=A+1\cdot \vec {u}$ … bod $B$
• Pro hodnotu $t=2$ dostaneme: $X=A+t\vec{u}=A+2\cdot \vec {u}$ … bod $C$
• Pro hodnotu $t=\frac{1}{2}$ dostaneme: $X=A+t\vec{u}=A+\frac{1}{2}\cdot \vec{u}$ … bod $D$ (střed úsečky $AB$)
• Pro hodnotu $t=-1$ dostaneme: $X=A+t\vec{u}=A-1\cdot \vec{u}$ … bod $E$

• Každá hodnota parametru určuje jeden bod na přímce, pro určení celé přímky tedy potřebujeme všechna reálná čísla, proto píšeme $t\in\mathbb{R}$.
• Body, které leží na úsečce $AB$ (tedy body ležící mezi body $A$ a $B$), vyjádříme parametricky, pokud do rovnice $X=A+t\vec{u}$ dosadíme hodnoty parametru $t$ splňující $0\leq t\leq1$.

1. Pro přímku danou obecnou rovnicí $ax+by+c=0$:
   • $\vec{v}$ je normálový vektor přímky $p$, jeho souřadnice jsou: $\vec{v}=(a;b)$
   • $\vec{u}$ je směrový vektor přímky $p$, protože je to vektor kolmý k vektoru $\vec{v}=(a;b)$, jeho souřadnice jsou: $\vec{u}=(-b;a)$
2. Pro přímku danou parametricky: $\begin{array}{rrl}x&=&a_1+t\cdot u_1\\y&=&a_2+t\cdot u_2\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$
   • $\vec{u}$ je směrový vektor přímky $p$, jeho souřadnice jsou: $\vec{u}=(u_1;u_2)$
   • $\vec{v}$ je normálový vektor přímky $p$, protože je to vektor kolmý k vektoru $\vec{u}=(u_1;u_2)$, jeho souřadnice jsou: $\vec{v}=(-u_2;u_1)$

• Pro všechny body ležící na přímce je druhá souřadnice stejná a to: $y=c$
• Tedy přímka má obecnou rovnici: $y-c=0$

• Pro všechny body ležící na přímce je první souřadnice stejná a to: $x=c$
• Tedy přímka má obecnou rovnici: $x-c=0$

• Přímka prochází bodem $O=[0;0]$, tedy souřadnice počátku splňují její obecnou rovnici $ax+by+c=0$.
• Dosadíme souřadnice bodu $O$ a zkusíme zjistit nějaké informace o konstantách $a,b,c$.
• $a\cdot0+b\cdot0+c=0\Leftrightarrow c=0$
• Proto přímka, která prochází počátkem má obecnou rovnici $ax+by=0$.

• přímka $p$ je určená bodem $A$ a směrovým vektorem $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(2;-1)$
• parametrické rovnice přímky $p$: $\begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2-t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

Určíme souřadnice směrového vektoru a jednoho bodu na přímce:

• například: $\vec{u}=(2;1)$, $A=[1;2]$
• parametrické rovnice přímky $p:$ $\begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&2+t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

Další možnost parametrického vyjádření:

• $\vec{v}=(-4;-2)$, $B=[3;3]$
• parametrické rovnice přímky $p$: $\begin{array}{rrl}x&=&3-4t\\y&=&3-2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

Pro určení parametrických rovnic můžeme vybrat kterýkoliv bod ležící na přímce a jakýkoliv zápis souřadnic směrového vektoru, možností jak parametricky vyjádřit danou přímku je tedy nekonečně mnoho.

• Přímka $p$ je určená bodem $A$ a směrovým vektorem $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=B-A=(1;-2)$.
• Normálový vektor je kolmý k vektoru $\vec{u}=(1;-2)$, tedy například vektor $\vec{n}=(2;1)$.
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty $a$ a $b$ v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: $2x+y+c=0$
• Konstantu $c$ dopočítáme dosazením souřadnic bodu $A=[1;5]$ :
• $2\cdot1+5+c=0\Rightarrow c=-7$
• Obecná rovnice přímky $p$ je: $2x+y-7=0$

Určete obecnou rovnici přímky $p$, která je dána následující parametrickou soustavou rovnic: $\begin{array}{rrl}x&=&1+2t\\y&=&4+6t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

• Přímka $p$ je určená bodem $A=[1;4]$ a směrovým vektorem $\vec{u}=(2;6)$.
• Souřadnice směrového vektoru můžeme upravit na tvar: $\vec{u}=(1;3)$.
• Normálový vektor je kolmý k vektoru $\vec{u}=(1;3)$, tedy například vektor $\vec{n}=(3;-1)$.
• Souřadnice normálového vektoru jsou konstanty $a$ a $b$ v obecné rovnici přímky. Obecná rovnice má tvar: $3x-y+c=0$
• Konstantu $c$ dopočítáme dosazením souřadnic bodu $A=[1;4]$ :
• $3\cdot1-4+c=0\Rightarrow c=1$
• Obecná rovnice přímky $p$ je: $3x-y+1=0$

Určete parametrické vyjádření přímky $p$, která má obecnou rovnici: $3x-2y+4=0$.

• Přímka $p$ má normálový vektor $\vec{n}=(3;-2)$.
• Směrový vektor je kolmý k vektoru $\vec{n}=(3;-2)$, tedy například vektor $\vec{u}=(2;3)$.
• Určíme jeden bod na přímce $p$ : jednu souřadnici můžeme zvolit, například $x=0$, druhou souřadnici dopočítáme: $3\cdot0-2y+4=0\Rightarrow y=2$
• Z obecné rovnice jsme tedy zjistili, že na přímce leží bod $A=[0;2]$.
• Parametrické vyjádření přímky $p$ je: $\begin{array}{rrl}x&=&0+2t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

• Směrnice přímky $p$: $k_1=\tan \varphi_1=\frac{1}{2}$
• Směrnice přímky $q$: $k_2=\tan \varphi_2=\frac{1}{1}=1$
• Směrnice přímky $r$: $k_3=\tan \varphi_3=\frac{2}{1}=2$
• Čím větší odchylka od kladné části osy $x$, tím větší hodnota směrnice $k$.
• Přímka rovnoběžná s osou $x$ svírá s kladnou částí osy $x$ úhel $0^\circ$ a tedy její směrnice je $\tan 0^\circ=0$.
• Přímka rovnoběžná s osou $y$ svírá s kladnou částí osy $x$ úhel $90^\circ$ a pro tuto hodnotu funkce tangens není definována, proto nemůžeme určit směrnici.

Hledáme směrnicový tvar rovnice přímky: $y=kx+q$.

• Pro nalezení konstant $k$ a $q$ určíme směrový vektor přímky $p$ a průsečík s osou $y$.
• směrový vektor přímky: $\vec{u}=(1;-2)$
• směrnice: $k=\tan \varphi=\frac{u_2}{u_1}=\frac{-2}{1}=-2$
• průsečík přímky s osou $y$: $P=[0;5]$
• konstanta $q=y_P=5$
• přímka na obrázku má směrnicový tvar $y=-2x+5$

Určete vzájemnou polohu dvou přímek $p, q$ zadaných parametricky:

$p: \begin{array}{rrl}x&=&-3+3t\\y&=&\hspace{0.25cm}2+t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array}$ $\hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&1-3s\\y&=&2-s\\&&s\in\mathbb{R}\end{array}$

• směrový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(3;1)$
• směrový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-3;-1)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce $p$ leží například bod $A=[-3;2]$.
• Ověříme, že tento bod neleží na přímce $q$ dosazením souřadnic bodu $A$ do rovnic přímky $q$: $\begin{array}{rrl}-3&=&1-3s \Rightarrow s=\frac{4}{3}\\2&=&2-\hspace{0.15cm}s\Rightarrow s=0\end{array}$
• Vyšly různé hodnoty parametru $s$, takže bod $A$ neleží na $q$ $\Rightarrow$ přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu dvou přímek daných obecnými rovnicemi $p: 2x+y-1=0$ a $q:4x+2y+3=0$.

• normálový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)$
• normálový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(4;2)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou rovnoběžné, protože jejich normálové vektory jsou kolineární.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné. Stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce $p$ leží například bod $A=[0;1]$.
• Ověříme, zda $A$ leží na $p$ dosazením souřadnic bodu $A$ do rovnice přímky $p$: $4\cdot0+2\cdot1+3\neq 0$
• $A$ nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce $q$ $\Rightarrow$ přímky nejsou totožné

$p: \begin{array}{rrl}x&=&-1+t\\y&=&\hspace{0.25cm}3+2t\\&&\hspace{0.25cm}t\in\mathbb{R}\end{array}$ $\hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&-4+s\\y&=&\hspace{0.25cm}3-s\\&&\hspace{0.25cm}s\in\mathbb{R}\end{array}$

• směrový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{u}=(1;2)$
• směrový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;-1)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární.

• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy každou z jeho souřadnic lze vyjádřit dvěma způsoby, dostáváme následující soustavu rovnic: $\begin{array}{lrr}-1+t&=&-4+s\\\hspace{0.25cm}3+2t&=&3-s\end{array}$

• Soustavu můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: $2+3t=-1\Rightarrow3+3t=0\Rightarrow t=-1$
• Výsledný parametr $t$ dosadíme do parametrických rovnic kterékoliv z přímek a dostaneme souřadnice $x,y$ průsečíku.

• Průsečík přímek $p$ a $q$ je bod $R=[-2;1]$.

Určíme vzájemnou polohu dvou přímek zadaných obecnými rovnicemi $p: 2x+y-1=0$ a $q:x-y+1=0$.

• normálový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;1)$
• normálový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{m}=(1;-1)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou různoběžné, protože jejich normálové vektory nejsou kolineární.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice jsou řešením soustavy: $\begin{array}{rrr}2x+y-1&=&0\\x-y+1&=&0\end{array}$
• Můžeme vyřešit sečtením obou rovnic: $3x=0\Rightarrow x=0$
• Průsečík přímek $p$ a $q$ je bod $R=[0;1]$

Určete vzájemnou polohu přímek $p,q$ zadaných takto:

$\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm}$ $\hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

• normálový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(2;-1)$
• směrový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(-2;-4)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou rovnoběžné, protože jejich směrové vektory jsou kolineární. Proto normálový vektor jedné přímky je kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Ověříme, že přímky nejsou totožné: stačí určit, zda bod, který leží na jedné přímce neleží na přímce druhé.
• Na přímce $q$ leží například bod $B=[3;2]$.
• Na přímce $p$ tento bod neleží, což zjistíme dosazením souřadnic bodu $B$ do rovnice přímky: $2\cdot3-2+3\neq 0$
• Bod $B$ nesplňuje rovnici, takže neleží na přímce $p$ $\Rightarrow$ přímky nejsou totožné

Určete vzájemnou polohu přímek $p,q$ zadaných:

$\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm}$ $\hspace{0.5cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\\&&\hspace{0.28cm}t\in\mathbb{R}\end{array}$

• normálový vektor přímky $p:\hspace{0.25cm}\vec{n}=(1;-3)$
• směrový vektor přímky $q:\hspace{0.25cm}\vec{v}=(1;2)$
• Přímky $p$ a $q$ jsou různoběžné, protože jejich směrové vektory nejsou kolineární. Vyplývá z toho, že normálový vektor jedné přímky není kolmý ke směrovému vektoru druhé přímky.
• Průsečík přímek splňuje rovnice obou přímek, tedy jeho souřadnice najdeme tak, že parametrické vyjádření přímky $q$ dosadíme do obecné rovnice přímky $p$: $\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}$
• Průsečík přímek $p$ a $q$ je bod $R=[3;2]$

Hledáme průsečík(y) přímek $p,q$ zadaných jako: $\hspace{0.25cm}p: x-3y+3=0\hspace{0.25cm}$ a $\hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&\hspace{0.28cm}1+t\\y&=&-2+2t\end{array}$

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

$\begin{array}{rrl}(1+t)-3(-2+2t)+3&=&0\\1+t+6-6t+3&=&0\\10-5t&=&0\\t&=&2\end{array}$

• Jedno řešení $\Rightarrow$ různoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek $p,q$ zadaných jako: $\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm}$ a $\hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3-2t\\y&=&2-4t\end{array}$

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

$\begin{array}{rrl}2(3-2t)-(2-4t)+3&=&0\\6-4t-2+4t+3&=&0\\7&=&0\end{array}$

• Žádné řešení $\Rightarrow$ různé rovnoběžné přímky

Hledáme průsečík(y) přímek $p,q$ zadaných jako: $\hspace{0.25cm}p: 2x-y+3=0\hspace{0.25cm}$ a $\hspace{0.25cm}q: \begin{array}{rrl}x&=&3+t\\y&=&9+2t\end{array}$

• Dosadíme parametrické vyjádření do obecné rovnice a řešíme soustavu rovnic:

$\begin{array}{rrl}2(3+t)-(9+2t)+3&=&0\\6+2t-9-2t+3&=&0\\0&=&0\end{array}$

• Nekonečně mnoho řešení $\Rightarrow$ totožné přímky

Určete, zda body $A=[2;3]$ a $B=[-1;2]$ leží na přímce $p:2x-3y+5=0$.

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu $A=[2;3]$:
• $2\cdot 2-3\cdot3+5=0\Rightarrow$ bod $A$ leží na přímce $p$
• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu $B=[-1;2]$:
• $2\cdot (-1)-3\cdot2+5=-3\Rightarrow$ bod $B$ neleží na přímce $p$

Určete, zda body $A=[3;1]$ a $B=[4;4]$ leží na přímce $p$ dané parametricky: $\begin{array}{rrl}x&=&2-t\\y&=&3+2t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}$

• Do rovnic přímky dosadíme souřadnice bodu $A=[3;1]$:

$\begin{array}{rrrr}3&=&2-t&\Rightarrow t=-1\\1&=&3+2t&\Rightarrow t=-1\end{array} \Rightarrow$ bod $A$ leží na přímce $p$

• Do rovnice přímky dosadíme souřadnice bodu $B=[4;5]$:

$\begin{array}{rrrl}4&=&2-t&\Rightarrow t=-2\\5&=&3+2t&\Rightarrow t=1\end{array}\Rightarrow$ bod $B$ neleží na přímce $p$