Výpis shrnutí
Pravděpodobnost
Podtémata
Pravděpodobnost: pojmy a značení
Náhodný jev je výsledek náhodného pokusu, o kterém lze po provedení pokusu rozhodnout, zda nastal nebo nenastal. Jeho typickým rysem je, že může, ale nemusí nastat. Pravděpodobnost jevu je míra očekávání, že jev nastane. Pravděpodobnost je číslo mezi 0 a 1. V běžném jazyce vyjadřujeme často pravděpodobnost v procentech, což je stonásobek pravděpodobnosti používané v matematice.
Pojmy a značení
| jev elementární | 0 \leq P(A) \leq 1 | základní výsledek pokusu, který nelze dále rozložit |
| jev jistý | P(A) = 1 | nastane vždy |
| jev nemožný | P(A) = 0 | nenastane nikdy |
| B je jev opačný k jevu A | P(B) = 1-P(A) | B nastane právě, když nenastane A |
| jevy A a B jsou neslučitelné | A\cap B=\emptyset | jevy A a B nemohou nastat současně |
Příklad
- V pytlíku mám pět koulí, z toho dvě jsou červené, dvě modré a jedna žlutá. Koule jsou stejné až na barvu. Pokus spočívá v tom, že z pytlíku poslepu vytáhnu kouli.
- „Vytáhnu červenou kouli.“ je náhodný jev. Jde o jev elementární. Jeho pravděpodobnost je 0,4 (v běžné řeči bychom mohli říct 40 %).
- „Vytáhnu červenou nebo žlutou kouli.“ je složený jev. Jeho pravděpodobnost je 0,6.
- „Vytáhnu kouli.“ je jev jistý.
- „Vytáhnu zelenou kouli.“ je jev nemožný.
Základní pravděpodobnost jevu
V náhodném pokusu, ve kterém jsou všechny jeho výsledky stejně možné, je pravděpodobnost jevu A rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu A a počtu všech výsledků.
Matematicky tento podíl zapíšeme: P(A)=\frac{m}{n}, kde m je počet všech výsledků příznivých jevu A a n je počet všech možných výsledků.
Příklady jednoduchých pravděpodobností
- Pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne číslo větší než 4, je \frac26. Počet příznivých výsledků m, tedy počet čísel větších než 4, je m=2 – jsou to čísla 5 a 6. Počet všech možných výsledků n je 6 – na kostce mohu hodit čísla 1 až 6.
- Pokud si v tombole koupím 5 lístků z celkového počtu 500 lístků, pak moje šance na výhru, tedy pravděpodobnost výhry, je \frac{5}{500}.
Vhodným postupem při řešení úloh z pravděpodobnosti je nejprve určení počtu všech možných výsledků (jmenovatel zlomku) a pak teprve určení počtu příznivých výsledků (čitatel zlomku).
NahoruOpakované pokusy a složené jevy
Při řešení složitějších úloh nemůže využít jen základní pravděpodobnost. Například v situaci, kde se jev, jehož pravděpodobnost chceme určit, skládá z několika jevů.
Pravděpodobnost sjednocení dvou náhodných jevů
- Pravděpodobnost sjednocení dvou neslučitelných jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností. Tedy P(A\cup B)=P(A)+P(B).
- Pokud se jevy navzájem nevylučují, pak od jejich součtu ještě musíme odečíst pravděpodobnost jejich průniku. Tedy P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Oba tyto vztahy si můžeme znázornit i graficky.
Pravděpodobnost sjednocení používáme typicky v situacích, kdy chceme spočítat pravděpodobnost, že nastal jev A nebo jev B.
Příklad: hod kostkou
Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padne liché číslo nebo číslo dělitelné čtyřmi?
- Označme jev A - liché číslo - {1, 3, 5} a jev B- číslo dělitelné 4 - {4}.
- P(A)=\frac36=\frac12, P(B)=\frac16
- Jevy A, B jsou neslučitelné - liché číslo není dělitelné 4.
- P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac12+\frac16=\frac46=\frac23
Pravděpodobnost navzájem nezávislých jevů
Nezávislé jevy jsou takové jevy, kdy skutečnost, že nastane jeden jev nemá žádný vliv na to, zda nastane druhý jev. Například při opakovaném hodu kostkou nemá výsledek jednoho hodu vliv na výsledek dalších hodů.
Pro dva nezávislé jevy A, B platí: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
Pravděpodobnost průniku nezávislých jevů používáme typicky v situacích, kdy chceme spočítat pravděpodobnost, že nastal jev A a zároveň nastal jev B.
Příklad: opakovaný hod kostkou
Jaká je pravděpodobnost, že když dvakrát hodíme kostkou, padne při prvním hodu liché číslo a při druhém hodu sudé číslo?
- Označme jev A - při prvním hodu padlo liché číslo. A označme jev B- při druhém hodu sudé číslo.
- Lichá i sudá čísla jsou vždy tři, proto: P(A)=P(B)=\frac36=\frac12
- Jevy A, B jsou nezávislé.
- P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac12=\frac14
Při opakovaným pokusech také využíváme kombinatorické vztahy s opakováním.
