Logika

Číslo 2 je sudé. (pravdivý výrok)

Číslo 9 je dělitelné dvěma. (nepravdivý výrok)

V ledničce je aspoň 10 mrkví. (výrok, jehož pravdivost neznáme dokud neotevřeme ledničku a nepodíváme se, ale víme, že je pravdivý, nebo není pravdivý)

Je to kočičí stopa? (otázka)

Nezakopni o želvu! (rozkaz)

Špenát je úžasný. (osobní pocit)

Myš je šedá. – Myš není šedá.

Hledané celé číslo je sudé. – Hledané celé číslo je liché.

Mám aspoň dvě koloběžky. – Mám jednu nebo žádnou koloběžku.

Na keři je méně než 15 šípků. – Na keři je aspoň 15 šípků.

Číslo 2 je celé a je to sudé číslo. (pravdivý výrok)

Číslo 2 je celé a je to liché číslo. (nepravdivý výrok – stačí, aby jedna část konjunkce neplatila a konjunkce je nepravdivá)

Brněnská přehrada se nachází na řece Svratce a po jejím severním břehu vede turistická značka. (pravdivý výrok)

Slunce obíhá kolem Země a Měsíc obíhá kolem Země. (nepravdivý výrok – protože první část konjunkce neplatí)

„e“ je souhláska a „f“ je samohláska. (nepravdivý výrok – protože ani jedna část konjunkce neplatí)

• Mějme výrok: Toto kolo není červené a zítra píšeme test z matematiky.
• Konjunkce platí, pokud obě dvě její části jsou pravdivé.
• Hledáme negaci konjunkce. Negace by měla mít opačnou pravdivostní hodnotu.
• Negace by tedy měla platit, pokud aspoň jeden z výroků v konjunkci neplatí (to zahrnuje i případ kdy neplatí ani jeden z nich).
• Negace zadaného výroku: Toto kolo je červené nebo zítra nepíšeme test z matematiky.

Číslo 3 je celé nebo je to liché číslo. (pravdivý výrok)

Číslo 3 je celé nebo je to sudé číslo. (pravdivý výrok – stačí, aby jedna část disjunkce platila a disjunkce je pravdivá)

Dalešická přehrada se nachází na řece Svratce nebo po její hrázi vede turistická značka. (pravdivý výrok – stačí, aby jedna část disjunkce platila a disjunkce je pravdivá – v tomto případě je první výrok nepravdivý, Dalešická přehrada je na řece Jihlavě, a druhý je pravdivý, po její hrázi vede červená turistická značka)

„e“ je souhláska nebo „f“ je samohláska. (nepravdivý výrok – protože ani jedna část disjunkce neplatí)

• Mějme výrok: Za oknem zpívá kos nebo morče má hlodavé zuby.
• Disjunkce platí, pokud aspoň jedna z jejích částí je pravdivá.
• Hledáme negaci disjunkce. Negace by měla mít opačnou pravdivostní hodnotu.
• Negace by tedy měla platit, pokud žádný z výroků v disjunkci neplatí.
• Negace zadaného výroku: Za oknem nezpívá kos a (zároveň) morče nemá hlodavé zuby.

Pokud morče cvaká zuby, je naštvané. (pravdivý výrok, morče necvaká zuby jen tak)

Pokud je ciferný součet čísla dělitelný 3, je původní číslo dělitelné 3. (pravdivý výrok)

Kdyby prase mělo křídla, vyletěl bych na něm do oblak. (pravdivý výrok – implikace s nepravdivým předpokladem platí vždy, z nepravdy vyplývá cokoliv)

Pokud je trojúhelník rovnoramenný, délky jeho stran splňují: a^2 + b^2 = c^2 (nepravdivý výrok – existují rovnoramenné trojúhelníky, která nejsou pravoúhlé a délky jejich stran nesplňují danou rovnost)

• Mějme výrok: Pokud si uklidíš v pokoji, budeš vědět, kde máš knížky.
• Implikace je pravdivá, pokud z platného předpokladu vždy vyplyne platný závěr. Pro nepravdivý předpoklad implikace platí vždy.
• Hledáme negaci implikace, takže chceme výrokem popsat případy, kdy není pravdivá.
• Negace zadané implikace: Uklidil sis v pokoji a přesto nevíš, kde máš knížky.

• Trojúhelník ABC je rovnostranný. - Trojúhelník ABC má velikosti všech vnitřních úhlů 60^{\circ}. (pravdivá ekvivalence)
• Celé číslo je dělitelné čtyřmi právě tehdy, když je sudé. (nepravdivá ekvivalence)
• Celé číslo je dělitelné čtyřmi právě tehdy, když je jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. (pravdivá ekvivalence)
• Pravoúhlost trojúhelníku je ekvivalentní tvrzení, že jeho dva menší vnitřní úhly mají součet velikostí 90^{\circ}. (pravdivá ekvivalence)

Bod X je středem kružnice k nebo bod X není středem kružnice k.

Pokud je 7 sudé číslo, každé celé číslo je dělitelné 3.

x < 10 nebo x \geq 10

x je nezáporné a zároveň x je záporné.

Úhel \alpha je pravý právě tehdy, když úhel \alpha není pravý.

Dokažte: Obsah pravoúhlého trojúhelníku, který má odvěsny o délkách a a b, má obsah: \dfrac{a \cdot b}{2}

• Pravoúhlý trojúhelník má odvěsny a,b.
• Doplněním druhého shodného trojúhelníku dostaneme slepením přepon k sobě obdélník o stranách a a b.
• Obsahy trojúhelníků jsou stejné a jejich součet je obsah obdélníku. Obsah obdélníku je roven a\cdot b.
• Obsah daného trojúhelníku je polovina z obsahu vzniklého obdélníku: \dfrac{a \cdot b}{2}

Dokažte: Přirozené číslo n, které je druhou mocninou nějakého lichého přirozeného čísla, dává zbytek 1 po dělení čtyřmi.

• Předpokládejme, že n je druhou mocninou nějakého lichého přirozeného čísla m. n= m^2
• Z toho, že je m liché, vyplývá, že můžeme m zapsat jako 2k+1 pro nějaké nezáporné celé číslo k.
• Potom můžeme n zapsat jako: n = (2k+1)^2
• Potom bude rovnost platit, i když pravou stranu upravíme (umocníme závorku podle vzorce (a+b)^2=a^2 +2ab+b^2 pro a=2k a b=1): n = 4k^2+4k+1
• Z toho vyplývá (vytkneme čtyřku): n= 4(k^2+k) + 1
• Proto má n zbytek 1 po dělení čtyřmi.

Dokažte: Je-li součet m a n lichý, pak aspoň jedno z čísel m,n je sudé.

• Obměna tohoto tvrzení je: „Jsou-li m, n obě lichá čísla, pak jejich součet je sudý.“
• Předpokládejme, že m, n jsou lichá čísla. Můžeme napsat jako: m=2k+1, n=2p+1
• Součet takovýchto čísel je roven: m+n=2k+1+2p+1=2k+2p+2
• Vytknutím dvojky získáme ekvivalentní vyjádření: m+n=2(k+p+1)
• Součet m+n je tedy sudé číslo.

Dokažte: Prvočísel je nekonečně mnoho.

• Předpokládejme pro spor, že zadané tvrzení není pravda. Tedy, předpokládejme, že prvočísel je konečně mnoho. Označme si počet prvočísel n.
• Můžeme si prvočísla uspořádat podle velikosti a označit p_1<p_2< \ldots < p_n.
• Všechna větší čísla než p_n by tedy měla být složená čísla.
• Vezměme si následující číslo: k = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n + 1
• k dává nenulový zbytek 1 po dělení libovolným z čísel p_1, p_2 \ldots p_n.
• Takže k není dělitelné žádným prvočíslem a zároveň je větší než p_n.
• Našli jsme číslo k, které má také vlastnost prvočísel, ale není to žádné z p_1, \ldots, p_n. To je spor s předpokladem, že p_1,\ldots, p_n jsou všechna prvočísla.
• Ke každé konečné množině prvočísel dokážeme najít další prvočíslo, které v této množině ještě není, celkově tedy prvočísel nemůže být konečně mnoho. Je jich nekonečně mnoho.

Dokažte: Pro každé přirozené číslo n platí, že n prvková množina má 2^n podmnožin.

• Báze indukce: Pro n=1 víme, že každá jednoprvková množina má dvě podmnožiny – prázdnou množinu a sebe samu, to odpovídá 2^1, takže báze indukce platí.
• Indukční krok:
  • Předpokládejme, že každá nprvková množina má 2^n podmnožin.
  • Vezměme si nějakou n+1 prvkovou množinu M a označme si jeden její prvek x.
  • Kromě x je v množině M ještě n jiných prvků. Víme tedy, že množina M \setminus \{x\} má 2^n podmnožin.
  • Podmnožiny M jsou dvojího typu – podmnožiny M \setminus \{x\} (neobsahují prvek x, je jich 2^n) a podmnožiny M, které obsahují prvek x.
  • Podmnožiny, které obsahují prvek x získáme přesně z podmnožin M \setminus \{x\} přidáním tohoto jednoho prvku ke každé z nich. Je jich tedy také 2^n.
  • Proto má (n+1)prvková množina M celkem 2^n+2^n = 2^{n+1} podmnožin.
• Dokázali jsme bázi i indukční krok, takže zadané tvrzení platí pro každé přirozené číslo n.