Výpis souhrnů

Exponenciální a logaritmické funkce

Prohlížíte si souhrny informací k určitým tématům. Systémy Umíme se zaměřují hlavně na jejich procvičování. Ke cvičením k jednotlivým podtématům se dostanete pomocí odkazů níže.

« Zpět na procvičování

Podtémata

Exponenciální funkce
Vlastnosti exponenciálních funkcí
Grafy exponenciálních funkcí
Logaritmické funkce
Vlastnosti logaritmických funkcí
Grafy logaritmických funkcí

Exponenciální funkce

Přejít ke cvičením na toto téma »

Funkce je exponenciální, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru y= a^x, kde a je konstanta. Konstanta a se nazývá základ a může to být jakékoliv kladné reálné číslo kromě hodnoty 1, tedy a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je exponent. Definičním oborem exponenciální funkce je množina všech reálných čísel, oborem hodnot je množina všech kladných reálných čísel. V běžné řeči používáme pojem exponenciální růst, pokud chceme říct, že něco velmi rychle roste, například počty nemocných při epidemii.

Příklad: exponenciální růst

Nakažlivá nemoc se šíří exponenciálně. Budeme-li uvažovat exponenciální funkci se základem a=2, znamená to, že každý nemocný nakazí další dva lidi. Šíření nemoci se dá dobře znázornit obrázkem:

Vlastnosti exponenciálních funkcí

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pro exponenciální funkci f:y =a^x platí:

definiční obor D(f)=\R
obor hodnot H(f)=(0, \infty)
je prostá
není periodická
není sudá ani lichá
nemá maximum ani minimum
je zdola omezená

Další vlastnosti závisí na hodnotě koeficientu a:

pro a>1 je exponenciální funkce rostoucí
pro a\in (0,1) je exponenciální funkce klesající

Příklad: vlastnosti funkce f\!: y =3^x

definiční obor D(f)=\R
obor hodnot H(f)=(0, \infty)
je prostá
je zdola omezená
je rostoucí

Příklad: vlastnosti funkce f\!: y=\left (\frac{1}{2}\right)^x

definiční obor D(f)=\R
obor hodnot H(f)=(0, \infty)
je prostá
je zdola omezená
je klesající

Grafy exponenciálních funkcí

Přejít ke cvičením na toto téma »

Grafem exponenciální funkce je křivka jménem exponenciála. Na obrázku jsou grafy exponenciálních funkcí se základy 2 a e = 2{,}7 182 818 284\ldots. Vidíme také, že grafy funkcí e^x a e^{-x} jsou spolu souměrné podle osy y.

Graf každé exponenciální funkce tvaru f:y =a^x prochází bodem [0,1], protože pro libovolnou konstantu a platí: a^0=1.

Efekt přičtení konstanty k exponenciální funkci

Efekt přičtení konstanty k exponentu

Efekt vynásobení exponenciální funkce konstantou

Efekt vynásobení exponentu konstantou

Logaritmické funkce

Přejít ke cvičením na toto téma »

Funkce je logaritmická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru y=\log_a x, kde a je konstanta. Konstanta a se nazývá základ a může to být jakékoliv kladné reálné číslo kromě hodnoty 1, tedy a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je argument.

Definičním oborem logaritmické funkce je množina všech kladných reálných čísel, oborem hodnot je množina všech reálných čísel.

Vlastnosti logaritmických funkcí

Přejít ke cvičením na toto téma »

Pro logaritmickou funkci y=\log_ax platí:

definiční obor D(f)=(0, \infty)
obor hodnot H(f)=\R
je prostá
není periodická
není sudá ani lichá
nemá maximum ani minimum
není omezená

Další vlastnosti závisí na hodnotě koeficientu a:

pro a>1 je logaritmická funkce rostoucí
pro a\in (0,1) je logaritmická funkce klesající

Příklad: vlastnosti funkce y=\log_2 x

definiční obor D(f)=(0, \infty)
obor hodnot H(f)=\R
je prostá
je rostoucí

Příklad: vlastnosti funkce y=\log_{\frac{1}{2}} x

definiční obor D(f)=(0, \infty)
obor hodnot H(f)=\R
je prostá
je klesající

Příklad: vlastnosti funkce y=\log_3 (x+2)

definiční obor: D(f)=(-2, \infty) … výraz v logaritmu musí být kladný, tedy musí platit: x+2>0\Rightarrow x>-2
obor hodnot H(f)=\R
je prostá
je rostoucí
průsečík grafu s osou x je bod [-1,0] … najdeme jako řešení logaritmické rovnice: 0=\log_3(x+2). Podle pravidel pro počítání s logaritmy musí platit: 3^0=x+2\Rightarrow 1=x+2\Rightarrow x=-1

Grafy logaritmických funkcí

Přejít ke cvičením na toto téma »

Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).

Graf každé logaritmické funkce tvaru y=\log_a x prochází bodem [1,0], protože pro libovolnou konstantu a platí: \log_a 1=0. Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.

Značení některých význačných logaritmických funkcí:

funkce	popis	další možná značení
\log_a x	obecně logaritmus x o základu a pro nějaké a >0, a\neq 1
\ln x	přirozený logaritmus x, tj. logaritmus x o základu e	v angl. textech někdy \log x
\log x	dekadický logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 10	\log_{10}x
\log_2 x	binární logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 2	někdy se objevuje \mathrm{lb}\;x