Desetinná čísla

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Například v zápisu 154,28 je 154 celou částí a 28 desetinnou částí. Na prvním místě za desetinnou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny.

Pro větší přehlednost dělíme procvičování desetinných čísel na několik dílčích témat:

• Desetinná čísla: základy – slovní vyjádření, porovnávání, zaokrouhlování, umístění desetinných čísel na číselné ose
• Výpočty s desetinnými čísly – základní aritmetické operace s desetinnými čísly (sčítání, odčítání, násobení, dělení), převod na zlomky
• Pokročilé počítání s desetinnými čísly – mocniny a odmocniny, rovnice s desetinnými čísly

Pomocí desetinných čísel vyjadřujeme čísla, která nejsou „celá“. Příklad: Pokud rozdělíme 6 koláčů spravedlivě mezi 4 děti, dostane každé dítě „jeden a půl“ koláče, což zapisujeme jako 1,5.

Toto téma se zabývá základním porozuměním desetinným číslům:

• Desetinná čísla slovně – převod mezi slovním pojmenováním a číselným zápisem
• ⁠⁠⁠Porovnávání desetinných čísel – porovnávání kladných i záporných čísel s desetinnou částí
• Zaokrouhlování desetinných čísel – zaokrouhlování čísel na různé počty desetinných míst
• Desetinná čísla na číselné ose – dobrá představa o umístění čísel na číselnou osu pomáhá i s jinými operacemi (např. zaokrouhlování a porovnání)

Navazující téma pak řeší výpočty s desetinnými čísly.

Desetinná čísla můžeme číst mnoha různými způsoby. První je „přímočaré čtení“, kdy pouze místo „čárka“ říkáme „celá“. Desetinnou část můžeme přečíst jako jedno číslo, nebo vyjmenovat po cifrách:

Dále můžeme desetinné číslo přečíst pomocí desetin, setin, tisícin:

Někdy také desetinné číslo můžeme pojmenovat podle zlomku, který mu přísluší:

Při porovnávání desetinných čísel najdeme tu „nejdůležitější“ část, ve které se liší, a podle ní srovnání provedeme. Tedy nejprve porovnáváme celou část. Pokud jsou celé části shodné, porovnáváme desetiny, následně setiny, tisíciny a tak dále. Nezapomeneme též zkontrolovat znaménko, které má stejný vliv jako u celých čísel. Příklady:

• 15{,}3 \lt 17{,}9987 – liší se celá část, takže pro účely porovnání můžeme desetinná místa zcela ignorovat.

• 0{,}2 \gt 0{,}17 – celá část je stejná, rozhodujeme tedy podle desetin, kde 2 \gt 1. u příkladů tohoto typu se často chybuje, protože to vypadá, že 17 \gt 2, což je ovšem chybná úvaha. Pro lepší představu si můžeme doplnit nulu zprava: 0{,}20 \gt 0{,}17.

• 3{,}21 \gt -3{,}22 – zde vůbec nehrají roli desetinná místa, protože první číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 \lt -4{,}2758 – porovnávání provádíme podle cifer na pozici tisícin (9 a 5), výsledek je „naopak“, protože jde o záporná čísla.

Zaokrouhlování desetinných čísel funguje podobně jako zaokrouhlování celých čísel, pouze pracujeme i s částí za desetinnou čárkou. U desetinných čísel je téma zaokrouhlování obzvlášť důležité, protože se mu občas nemůžeme vyhnout – některá čísla v desítkové soustavě totiž nelze přesně zapsat, například \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Zaokrouhlování na desetiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,1 (tj. číslem s jednou cifrou za desetinnou čárkou). Zaokrouhlování na setiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,01 (tj. číslem s dvěma ciframi za desetinnou čárkou). Podobně zaokrouhlujeme i s vyšší přesností. Stejně jako při zaokrouhlování celých čísel i u desetinných čísel zaokrouhlujeme čísla končící číslicí 5 nahoru. Příklady:

• 3,628 zaokrouhleno na desetiny je 3,6.

• 3,628 zaokrouhleno na setiny je 3,63.

• 12,25 zaokrouhleno na desetiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrouhleno na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrouhleno na desítky je 80 (pozor na rozdíl mezi zaokrouhlováním na „desetiny“ a „desítky“).

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad:

Toto téma se zabývá aritmetickými operacemi s desetinnými čísly. Základem je dobré zvládnutí základních aritmetických operací s přirozenými čísly, navíc musíme dávat pozor na správnou práci s desetinnou čárkou, např. při sčítání a odčítání musíme nejdříve zarovnat čísla podle desetinné čárky.

Při sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme stejně jako při běžném sčítání a odčítání, pouze musíme mít čísla „zarovnaná“ podle desetinné čárky. Jako vhodná pomůcka (zejména při sčítání a odčítání pod sebou) může být doplnit si nuly zprava, aby obě čísla měla stejný počet cifer za desetinnou čárkou. Příklady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Sčítání a odčítání desetinných čísel řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Násobení desetinných čísel můžeme udělat následovně: 1) Obě čísla vynásobíme, jako kdyby desetinnou čárku vůbec neměla. 2) Do výsledku umístíme desetinnou čárku tak, aby měl výsledek tolik desetinných míst jako oba činitelé dohromady. Tento postup odpovídá násobení a následnému dělení mocninami desítky. Příklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledek posuneme o 0+1=1 desetinné místo, dostáváme 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledek posuneme o 1+2=3 desetinná místa, dostáváme 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledek posuneme o 1+1=2 desetinná místa, dostáváme 0,72.

Výsledek je dobré zkontrolovat pomocí rychlého odhadu pomocí zaokrouhlených čísel. Například při násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 jsou oba činitelé „trochu menší než 1“, takže i výsledek by měl být „trochu menší než 1\cdot 1“, při násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 můžeme snadno odhadnout, že výsledek by měl být přibližně 5\cdot 3=15.

Při dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části snadno zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla.

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Materiál k tisku

Kromě níže uvedených interaktivních cvičení je k dispozici také pomůcka pro aktivity – kartičky určené k vytištění, rozstříhání a párování (náměty k využití nabízí stránka Aktivity s kartičkami):

Zlomky a desetinná čísla

Při počítání mocnin nebo odmocnin desetinných čísel používáme stejná pravidla jako při práci s výrazy s mocninami a odmocninami. Musíme ale správně určit, kam umístíme desetinnou čárku. Ve složitějších případech, kdy je exponent záporné číslo, použijeme pravidla pro počítání se zápornými mocninami.

Umocňování

• Číslo umocníme, jakoby desetinou čárku vůbec nemělo.
• Počet desetinných míst ve výsledku získáme vynásobením počtu desetinných míst v čísle exponentem (např. u 3. mocniny se počet míst ztrojnásobí).

Druhá odmocnina

• Číslo odmocníme, jakoby desetinou čárku vůbec nemělo.
• Původní číslo musí mít sudý počet desetinných míst. Pokud se stane, že naše číslo má lichý počet desetinných míst, není to problém, stačí za něj napsat ještě jednu nulu (např. 1{,}6=1{,}60).
• Výsledná odmocnina pak bude mít desetinnou čárku oproti odmocnině z čísla bez desetinné čárky posunutou o polovinu tohoto počtu desetinných míst doleva (tj. nesmíme zapomenout zmenšit výsledek, pokud číslo v zadání mělo desetinná místa). \sqrt{1{,}6} = \sqrt{1{,}60} = \sqrt{160} \cdot \sqrt{0{,}01} = =12{,}6 .\,\!.\,\!. \cdot 0{,}1 = 1{,}26 .\,\!.\,\!.

Odmocňování obecně

• Podobně jako u výpočtu druhé odmocniny můžeme počítat n‑tou odmocninu z celého čísla a původní počet desetinných míst vydělit n.
• Např. \sqrt[3]{0{,}008} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{0{,}001} =

= 2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze přitom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).