Desetinná čísla

Desetinné číslo je způsob zápisu čísla pomocí celé části a desetinné části, která je oddělená desetinnou čárkou. Například v zápisu 154,28 je 154 celou částí a 28 desetinnou částí. Na prvním místě za desetinnou čárkou jsou desetiny, na druhém setiny, na třetím tisíciny.

Pomocí desetinných čísel vyjadřujeme čísla, která nejsou „celá“. Například pokud rozdělíme 6 koláčů spravedlivě mezi 4 děti, dostane každé dítě „jedna a půl“ koláče, což zapisujeme jako 1,5.

Poznámka k zápisu desetinných čísel: V češtině se používá desetinná čárka. V anglosaském světě se používá desetinná tečka, tj. místo 154,28 se píše 154.28. Tento způsob zápisu se používá ve výpočetní technice všude na světě.

V jednotlivých podtématech si můžete procvičit:

• převod mezi slovním pojmenováním a číselným zápisem –⁠⁠⁠⁠⁠ desetinná čísla slovně,
• porovnávání kladných i záporných čísel s desetinnou částí –⁠⁠⁠⁠⁠ porovnávání desetinných čísel,
• zaokrouhlování čísel na různé počty desetinných míst –⁠⁠⁠⁠⁠ zaokrouhlování desetinných čísel,
• umístění desetinných čísel na číselné ose,
• používání speciálních pravidel pro sčítání a odčítání, násobení, dělení a kombinace těchto operací s desetinnými čísly, jakož i jejich mocniny a odmocniny,
• vztah mezi desetinnými čísly a zlomky –⁠⁠⁠⁠⁠ převody mezi těmito dvěma možnostmi matematického zápisu necelých čísel,
• řešení rovnic, ve kterých vystupují desetinná čísla.

Desetinná čísla můžeme číst mnoha různými způsoby. První je „přímočaré čtení“, kdy pouze místo „čárka“ říkáme „celá“. Desetinnou část můžeme přečíst jako jedno číslo, nebo vyjmenovat po cifrách:

Dále můžeme desetinné číslo přečíst pomocí desetin, setin, tisícin:

Někdy také desetinné číslo můžeme pojmenovat podle zlomku, který mu přísluší:

Při porovnávání desetinných čísel najdeme tu „nejdůležitější“ část, ve které se liší, a podle ní srovnání provedeme. Tedy nejprve porovnáváme celou část. Pokud jsou celé části shodné, porovnáváme desetiny, následně setiny, tisíciny a tak dále. Nezapomeneme též zkontrolovat znaménko, které má stejný vliv jako u celých čísel. Příklady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – liší se celá část, takže pro účely porovnání můžeme desetinná místa zcela ignorovat.

• 0{,}2 > 0{,}17 – celá část je stejná, rozhodujeme tedy podle desetin, kde 2>1. u příkladů tohoto typu se často chybuje, protože to vypadá, že 17 > 2, což je ovšem chybná úvaha. Pro lepší představu si můžeme doplnit nulu zprava: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – zde vůbec nehrají roli desetinná místa, protože první číslo je kladné a druhé záporné.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porovnávání provádíme podle cifer na pozici tisícin (9 a 5), výsledek je „naopak“, protože jde o záporná čísla.

Zaokrouhlování desetinných čísel funguje podobně jako zaokrouhlování celých čísel, pouze pracujeme i s částí za desetinnou čárkou. U desetinných čísel je téma zaokrouhlování obzvlášť důležité, protože se mu občas nemůžeme vyhnout – některá čísla v desítkové soustavě totiž nelze přesně zapsat, například \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14159\ldots

Zaokrouhlování na desetiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,1 (tj. číslem s jednou cifrou za desetinnou čárkou). Zaokrouhlování na setiny znamená, že číslo nahradíme nejbližším násobkem čísla 0,01 (tj. číslem s dvěma ciframi za desetinnou čárkou). Podobně zaokrouhlujeme i s vyšší přesností. Stejně jako při zaokrouhlování celých čísel i u desetinných čísel zaokrouhluje čísla končící číslicí 5 nahoru. Příklady:

• 3,628 zaokrouhleno na desetiny je 3,6.

• 3,628 zaokrouhleno na setiny je 3,63.

• 12,25 zaokrouhleno na desetiny je 12,3.

• 4,8975 zaokrouhleno na celé číslo je 5.

• 84,15 zaokrouhleno na desítky je 80 (pozor na rozdíl mezi zaokrouhlováním na „desetiny“ a „desítky“).

Podobně jako na jiných číselných osách, první krok je určit, jaké jsou rozestupy mezi značkami na číselné ose. Při práci s desetinnými čísly bývá často rozestup 0,1 (jedna desetina), ale nemusí to tak být nutně.

Příklad:

Při sčítání a odčítání desetinných čísel postupujeme stejně jako při běžném sčítání a odčítání, pouze musíme mít čísla „zarovnaná“ podle desetinné čárky. Jako vhodná pomůcka (zejména při sčítání a odčítání pod sebou) může být doplnit si nuly zprava, aby obě čísla měla stejný počet cifer za desetinnou čárkou. Příklady:

• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec
• vzorec

Násobení desetinných čísel můžeme udělat následovně: 1) Obě čísla vynásobíme, jako kdyby desetinnou čárku vůbec neměla. 2) Do výsledku umístíme desetinnou čárku tak, aby měl výsledek tolik desetinných míst jako oba činitelé dohromady. Tento postup odpovídá násobení a následnému dělení mocninami desítky. Příklady:

• 5 \cdot 0{,}4 – násobíme 5\cdot 4 = 20, výsledek posuneme o 0+1=1 desetinné místo, dostáváme 2{,}0.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – násobíme 25\cdot 5=125, výsledek posuneme o 1+2=3 desetinná místa, dostáváme 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – násobíme 9\cdot 8=72, výsledek posuneme o 1+1=2 desetinná místa, dostáváme 0,72.

Výsledek je dobré zkontrolovat pomocí rychlého odhadu pomocí zaokrouhlených čísel. Například při násobení 0{,}9 \cdot 0{,}8 jsou oba činitelé „trochu menší než 1“, takže i výsledek by měl být „trochu menší než 1\cdot 1“, při násobení 4{,}92\cdot 3{,}06 můžeme snadno odhadnout, že výsledek by měl být přibližně 5\cdot 3=15.

Při dělení desetinných čísel se můžeme desetinné části snadno zbavit tak, že dělence i dělitele vynásobíme dostatečně velkou mocninou desítky. Následně pak čísla dělíme stejně jako přirozená čísla. Příklady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Převod desetinného čísla na zlomek

Desetinné číslo roznásobíme pomocí mocniny desítky tak, abychom se „zbavili“ desetinné čárky. Následně zlomek vykrátíme (největším společným dělitelem), abychom dostali zlomek v základním tvaru. Příklady:

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Počítání nám může usnadnit, když si zapamatujeme některé užitečné převody, s jejichž pomocí vhodné úvahy vyřešit i další příklady:

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Převod zlomku na desetinné číslo

Význam zlomku je prostě podíl čitatele a jmenovatele. Zlomek tedy vyjádříme jako desetinné číslo prostě tak, že podělíme čitatele jmenovatelem (může se hodit postup pro „dělení pod sebou“). Příklady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15

Rovnice s desetinnými čísly řešíme stejnými postupy jako základní rovnice, pouze při tom máme na paměti pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení desetinných čísel. Často si můžeme řešení usnadnit tím, že celou rovnici vynásobíme deseti (případně vyšší mocninou desítky).

Řešený příklad