Násobení a dělení

Násobení a dělení jsou základní početní operace, které navazují na sčítání a odčítání.

Násobení a dělení malými čísly se vyplatí umět důkladně zpaměti. Je to něco jako znalost základních slovíček v cizím jazyce. Bez hladkého zvládnutí základních výpočtů se v matematice „nedomluvíme“.

• Násobilky čísel 2–10
• Malá násobilka souhrnně
• Dělení jednociferné
• Dělení se zbytkem

Na tyto základy navazuje násobení a dělení vícecifernými čísly. Na tom si dobře procvičíme základní násobilku a důkladné pochopení principu násobení a dělení:

• Násobení víceciferné
• Dělení víceciferné

Pro větší čísla pak používáme písemný zápis:

• Písemné násobení pod sebou
• Písemné dělení jednociferným číslem
• Písemné dělení dvouciferným číslem

Téma násobení, dělení a logické myšlení pak představuje různé zajímavé logické úlohy, u kterých je potřeba nejen dobře počítat, ale také promyslet správný postup řešení.

Výukové moduly

Konkrétní náměty, jakým způsobem učivo procvičovat a v jakém pořadí, poskytují výukové moduly:

Násobení a dělení I	2.–4. ročník	násobení a dělení v rozsahu malé násobilky (jednociferní činitelé), důraz na pamětné počítání
Násobení a dělení II	4.–6. ročník	počítání s vícecifernými čísly, písemné postupy, slovní úlohy

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Slovní úlohy: násobení a dělení řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Násobení nám říká, kolik čtverečků má čokoláda, když víme, kolik má řádků a sloupců:

Násobení využíváme v matematice i v běžném životě velice často. Proto se velmi vyplatí naučit se základní násobky zpaměti.

Malá násobilka zahrnuje vzájemné součiny čísel od 1 do 10. Ty můžeme přehledně vyjádřit tabulkou malé násobilky:

Můžete si procvičit zvlášť Násobilku čísla 2, Násobilku čísla 3, Násobilku čísla 4, Násobilku čísla 5, Násobilku čísla 6, Násobilku čísla 7, Násobilku čísla 8, Násobilku čísla 9 a Násobilku čísla 10.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Slovní úlohy: malá násobilka řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Když mám 8 jablíček a chci je rozdělit rovnoměrně do 4 košíků, kolik jablíček bude v každém košíku? Této otázce v matematice odpovídá dělení:

Zbytek po dělení je početní operace související s celočíselným dělením. Pokud dělíme a:b, pak můžeme psát a = k\cdot b + z, přičemž 0 \leq z \lt b. Číslo k nazýváme podíl, číslo z zbytek. Operace dělení se zbytkem se v matematice nazývá též modulo.

Příklad: 11:4 dává podíl 2 a zbytek 3, protože 11 = 2\cdot 4 + 3. Pokud mám 11 jablek a rozdělím je rovnoměrně do 4 košíků, v každém košíku budou 2 jablka a ještě mi 3 zbydou.

Další příklady:

• 17:5 dává zbytek 2, protože 17 = 3\cdot 5 + 2.
• 21:6 dává zbytek 3, protože 21 = 3\cdot 6 + 3.
• 12:7 dává zbytek 5, protože 12 = 1\cdot 7 + 5.
• 4:6 dává zbytek 4, protože 4 = 0\cdot 6 + 4.

Při násobení víceciferného čísla jednociferným číslem postupujeme takto:

• Násobíme jednociferným číslem postupně nejdříve jednotky, pak desítky, stovky a další řady víceciferného čísla.
• Pokud při násobení např. jednotek získáme číslo větší nebo rovno 10, přičteme desítky k výsledku při násobení desítek.
• Podobně postupujeme také u násobení cifer dalších řádů – pokud výsledek násobení je větší než 10, přičteme nadbytečné cifry při výpočtu u vyšších řádů.

Stejný postup používáme také v jednotlivých krocích při písemném násobení dvou víceciferných čísel.

Při písemném násobení postupujeme následovně:

• Čísla si napíšeme pod sebe, zarovnaná doprava.
• Postupně jednotlivými ciframi spodního čísla pronásobíme celé horní číslo.
• Výsledky dílčích násobení zapisujeme na řádky pod sebe. Výsledky odsazujeme podle pozice cifry, kterou jsme násobili.
• Nakonec všechny dílčí výsledky sečteme (viz postup pro sčítání pod sebou).

Obrázek ukazuje příklad násobení čísel 79 a 68.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Písemné násobení řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Připomenutí označení:

• dělenec – číslo které dělíme, tj. číslo před znakem :
• dělitel – číslo, kterým dělíme, tj. číslo za znakem :

Při písemném dělení jednociferným dělitelem postupujeme následovně:

1. Vybereme zleva z dělence jednu nebo dvě cifry tak, aby vybrané číslo bylo větší nebo rovno děliteli. (Pro přehlednost vybrané cifry zaškrtneme.)
2. Vybrané číslo vydělíme dělitelem, výsledek zapíšeme za rovnítko, zbytek dolů pod vybrané číslo.
3. Opakujeme body 4.–6., dokud je v dělenci ještě nějaká dosud nepoužitá cifra.
4. Za zbytek opíšeme další cifru dělence.
5. Vzniklé číslo budeme opět dělit dělitelem.
6. Výsledek píšeme jako další cifry čísla za rovnítkem, zbytek po dělení napíšeme pod číslo, které jsme právě dělili.
7. Za rovnítkem je výsledek, pod posledním děleným číslem je výsledný zbytek. (Zbytek může být buď nula nebo nenulové číslo menší než dělitel.)

Písemně můžeme například spočítat 3486 : 8. Vyjde podíl 435 a zbytek 6, pomocné výpočty a jejich výsledky jsou znázorněny barevně:

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Písemné dělení jednociferným číslem řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Při písemném dělení dvojciferným dělitelem postupujeme následovně:

1. Vybereme zleva z dělence dvě nebo tři cifry tak, aby vybrané číslo bylo větší nebo rovno děliteli. (Pro přehlednost vybrané cifry zaškrtneme.)
2. Odhadneme první cifru výsledku – podíl vybraného čísla a dělitele (např. tak, že vybrané číslo i dělitel zaokrouhlíme, zaokrouhlená čísla vydělíme).
3. Získanou cifrou výsledku vynásobíme dělitele (násobíme víceciferné číslo jednociferným) a zjistíme, jak dobrý byl náš odhad. Součin píšeme dolů pod vybrané číslo.
4. Odečteme od vybraného čísla dolů zapsaný součin, abychom získali zbytek (číslo menší než dělitel). Pokud by vycházel zbytek větší než dělitel, musíme zvětšit náš odhad z bodu 2. a provést body 3. a 4. s lepším odhadem.
5. Opakujeme body 6.–10., dokud je v dělenci ještě nějaká dosud nepoužitá cifra.
6. Za zbytek opíšeme další cifru dělence.
7. Budeme odhadovat podíl vzniklého čísla a dělitele. Výsledný odhad píšeme jako další cifru čísla za rovnítkem.
8. Takto napsanou poslední cifrou vynásobíme dělitele a zapíšeme pod vybrané číslo.
9. Odečteme.
10. Za rovnítkem je výsledek, pod posledním odečteným číslem je výsledný zbytek. (Zbytek by měl být nezáporný a menší než dělitel, pokud tomu tak není, musíme zlepšit odhad z bodu 7. a provést znova 8. a 9.)

Písemně můžeme například spočítat 9148 : 28. Vyjde podíl 326 a zbytek 20. Pomocné výpočty a jejich výsledky jsou znázorněny barevně.

Pracovní list

Kromě interaktivního procvičování je k dispozici také pracovní list pro tisk:

Písemné dělení dvouciferným číslem řešení

Materiál je dostupný pouze uživatelům s platnou licencí pro daný předmět (učitelům nebo členům rodiny).

🔒

Zde jsou zajímavé úlohy, na kterých si můžete zábavnou formou procvičit operace násobení a dělení a také svou schopnost logicky přemýšlet a naplánovat si správný postup.