Čeština
Angličtina
Informatika
Biologie
Němčina
Umíme to
Zeměpis
Chemie
Dějepis
Fyzika
ZSV
Aritmetika
Zlomky, procenta, desetinná čísla
Geometrie
Elementární algebra
Funkce
Jednotky, míry
Diskrétní matematika
Finanční gramotnost
Rozhodovačka
Pexeso
Krok po kroku
Psaná odpověď
Grafař
Porozumění
Označování
Přesouvání
Mřížkovaná
Rozdělovačka
Rozbitá kalkulačka
Roboti
Střílečka
Příšerky
Závody
Územíčka
Tipovačka
Týmovka
Můj účet
Odhlásit seVýpis souhrnů
Logaritmické funkce
Prohlížíte si souhrny informací k určitým tématům. Systémy Umíme se zaměřují hlavně na jejich procvičování. Ke cvičením k jednotlivým podtématům se dostanete pomocí odkazů níže.
Podtémata
Logaritmické funkce
Funkce je logaritmická, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru y=\log_a x, kde a je konstanta. Konstanta a se nazývá základ a může to být jakékoliv kladné reálné číslo kromě hodnoty 1, tedy a\in (0,1)\cup (1,\infty). Výraz x je argument.
Definičním oborem logaritmické funkce je množina všech kladných reálných čísel, oborem hodnot je množina všech reálných čísel.
NahoruVlastnosti logaritmických funkcí
Pro logaritmickou funkci y=\log_ax platí:
- definiční obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnot H(f)=\R
- je prostá
- není periodická
- není sudá ani lichá
- nemá maximum ani minimum
- není omezená
Další vlastnosti závisí na hodnotě koeficientu a:
- pro a>1 je logaritmická funkce rostoucí
- pro a\in (0,1) je logaritmická funkce klesající
Příklad: vlastnosti funkce y=\log_2 x
- definiční obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnot H(f)=\R
- je prostá
- je rostoucí
Příklad: vlastnosti funkce y=\log_{\frac{1}{2}} x
- definiční obor D(f)=(0, \infty)
- obor hodnot H(f)=\R
- je prostá
- je klesající
Příklad: vlastnosti funkce y=\log_3 (x+2)
- definiční obor: D(f)=(-2, \infty) … výraz v logaritmu musí být kladný, tedy musí platit: x+2>0\Rightarrow x>-2
- obor hodnot H(f)=\R
- je prostá
- je rostoucí
- průsečík grafu s osou x je bod [-1,0] … najdeme jako řešení logaritmické rovnice: 0=\log_3(x+2). Podle pravidel pro počítání s logaritmy musí platit: 3^0=x+2\Rightarrow 1=x+2\Rightarrow x=-1
Grafy logaritmických funkcí
Logaritmická funkce je inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Grafy dvou navzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle osy prvního kvadrantu (tj. přímky splňující x=y).
Graf každé logaritmické funkce tvaru y=\log_a x prochází bodem [1,0], protože pro libovolnou konstantu a platí: \log_a 1=0. Na obrázku vidíme grafy logaritmických funkcí s různými základy 2, e, 10.
Značení některých význačných logaritmických funkcí:
| funkce | popis | další možná značení |
|---|---|---|
| \log_a x | obecně logaritmus x o základu a pro nějaké a >0, a\neq 1 | |
| \ln x | přirozený logaritmus x, tj. logaritmus x o základu e | v angl. textech někdy \log x |
| \log x | dekadický logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 10 | \log_{10}x |
| \log_2 x | binární logaritmus x, tj. logaritmus x o základu 2 | někdy se objevuje \mathrm{lb}\;x |
Efekt přičtení konstanty k logaritmické funkci
Efekt přičtení konstanty k argumentu logaritmické funkce
Efekt vynásobení logaritmické funkce konstantou
Efekt vynásobení argumentu logaritmické funkce konstantou
